2023年中考解直角三角形知识点整理复习.doc
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表达如下：C=90°A+B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 假如直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的鉴定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般环节是：（1）拟定最大边（不妨设为c）；（2）若c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）运用勾股定理，作出长为的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在ABC中，C=90° 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为cotA，即2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30° 45° 60°sincostan1cot14、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A) ；（2）平方关系：（3）倒数关系：tanAtan(90°A)=1（4）商（弦切）关系：tanA=5、锐角三角函数的增减性当角度在0°90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在RtABC中，C=90°，A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90°（3）边角之间的关系：正弦sin，余弦cos，正切tan(4) 面积公式： （hc为c边上的高）考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表达，即。坡度一般写成的形式，如等。 把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。3、从某点的指北方向按顺时针转到目的方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法三角 类型已 知 条 件解 法 步 骤 RtABC B c aA b C 两边两直角边（如a，b）由tan A，求A；B90°A，c斜边，一直角边（如c，a）由Sin A，求A；B90°A，b一边一角一角边和一锐角锐角，邻边（如A，b）B90°A，ab·Sin A，ccosA锐角，对边（如A，a）B90°A，b，c斜边，锐角（如c，A）B90°A，ac·Sin A， bc·cos A2、测量物体的高度的常见模型1）运用水平距离测量物体高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理x2x1a侧倾器皮尺、水平距离atan，tana·直角三角形的边角关系axtan tana·2)测量底部可以到达的物体的高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理h镜子皮尺镜子目高a1水平距离a2水平距离a3，h反射定律h皮尺标杆标杆高a1标杆影长a2物体影长a3,h同一时刻物高与影长成正比h皮尺侧倾器侧倾器高a1水平距离a2倾斜角tan,ha1a2tan矩形的性质和直角三角形的边角关系h仰角俯角水平距离a1tan, tanhh1h2a1（tantan）矩形的性质和直角三角形的边角关系3）测量底部不可到达的物体的高度（1）数学模型所用工具应测数据数量关系根据理论xh皮尺侧倾器仰角俯角高度atan ，tanhah1aaa(1)矩形的性质和直角三角形的边角关系axh俯角俯角高度tan, tanx ha测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型所用工具应测距离数量关系根据原理Axh皮尺侧倾器仰角，仰角水平距离a1侧倾器高a2tan tanh1ha2h1a2矩形的性质和直角三角形的边角关系xah仰角仰角高度atan, tanhtan, tan、hxah仰角仰角高度atan, tanh第三部分 真题分类汇编详解2023-2023（2023）19（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°，tan21.3°， sin63.5°，tan63.5°2）（2023）19（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表达窗户，且米，表达直角遮阳蓬，已知本地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角为，最大夹角为请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中的长是多少米？（结果保存两个有效数字）CGEDBAF第19题图AB（参考数据：，）（2023）19（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度他们一方面从A处安顿测倾器，测得塔顶C的仰角，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度（参考数据：，）A（2023）19（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保存整数）（参考数据：）解：D37°C48°B 第19题图40º35ºADBC（2023）19(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由本来的40º减至35º已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？(结果精确到0.1m参考数据：sin40º0.64，cos40º0.77，sin35º0.57，tan35º0.70)（2023）20.（8分）附历年真题标准答案：（2023）19（本小题满分6分）BCDA解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到RtACD与RtBCD设BDx海里，在RtBCD中，tanCBD，CDx ·tan63.5°在RtACD中，ADABBD(60x)海里，tanA，CD( 60x ) ·tan21.3° x·tan63.5°(60x)·tan21.3°，即 解得，x15答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近 6（2023）19（本小题满分6分）解：设CD为x ，在RtBCD中， ， 2CGEDBAF第19题图在RtACD中， ， ， 答：CD长约为1.14米 （2023）19（本小题满分6分）解：由题意知，设，在中，则；在中，则， ，（米）答：古塔的高度约是39米6分B37°48°DCA第19题图（2023）19（本小题满分6分）解：设CD = x在RtACD中，则，.在RtBCD中，tan48° = ，则，. 4分ADBD = AB，解得：x43答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米 6分（2023）19（本小题满分6分）（2023）20.（8分）
