2023年高中数学知识点总结.doc

高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“拟定性、互异性、无序性”。 注重借助于数轴解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质： 4.用补集思想解决问题（排除法、间接法） 的取值范围。 6. 命题的四种形式及其互相关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中与之相应元素的唯一性，哪几种相应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、相应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 11. 反函数存在的条件是什么？（一一相应函数） 求反函数的环节掌握了吗？原函数中的自变量X与反函数中的函数值Y是等价的；原函数中的函数值Y与反函数中的自变量X是等价的。（反解x；互换x、y；注明定义域） 12. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线yx对称； 保存了本来函数的单调性、奇函数性； 13,. 如何用定义证明函数的单调性（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？ 同增异减 ）14. 如何运用导数判断函数的单调性？ 一般地，设函数yf(x)在某个区间内可导假如f (x)0，则f(x)为增函数；假如f (x)0，则f(x)为减函数（1）分析yf(x)  的定义域； （2）求导数y'f'(x)  ； （3）解不等式f (x)0 ，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 f (x)0，解集在定义域内的部分为减区间15. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充足）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 16. 你熟悉周期函数的定义吗？ 函数，T是一个周期。） 17. 你掌握常用的图象变换了吗？ 注意如下“翻折”变换： 18. 你纯熟掌握常用函数的图象和性质了吗？ 的双曲线。 ； 应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程 求闭区间m，n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 由图象记性质！ （注意底数的限定！） 运用它的单调性求最值与运用均值不等式求最值的区别是什么？ 19. 你在基本运算上常出现错误吗？ 20. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 21. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，运用函数单调性法，导数法等。） 22. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ 23. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 24. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ （x，y）作图象。 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再鉴定角的范围。 28. 在解具有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 29. 纯熟掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式： 图象？ 30. 纯熟掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ “奇”、“偶”指k取奇、偶数。 31. 纯熟掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系： 常见的 应用以上公式对三角函数式化简。（化简规定：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽也许求值。） 具体方法： （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式 （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） 33. 不等式的性质有哪些？ 34. 运用均值不等式： 值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论： 35. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38 解具有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 证明： （按不等号方向放缩） 42. 不等式恒成立问题，常用的解决方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题） 43. 等差数列的定义与性质 0的二次函数） 项，即： 44. 等比数列的定义与性质 练习 1 （2）叠乘法 解： （3）等差型递推公式 （4）等比型递推公式 （5）倒数法 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 （2）错位相减法： （3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与本来顺序的数列相加。 练习 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和计算模型： 若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： 若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款分期等额归还本息的借款种类） 若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。假如每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 p贷款数，r利率，n还款期数 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？ 的和（并）。 （5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 （6）对立事件（互逆事件）： （7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做互相独立事件。 53. 对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等也许事件的概率（常采用排列组合的方法，即 （5）假如在一次实验中A发生的概率是p，那么在n次独立反复实验中A恰好发生 55. 对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的盼望（平均值）和方差去估计总体的盼望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法： （2）决定组距和组数；（3）决定分点；4）列频率分布表； （5）画频率直方图。 56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量既有大小又有方向的量。 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 （7）向量的加、减法如图： （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） 的一组基底。 （9）向量的坐标表达 表达。 57. 平面向量的数量积 数量积的几何意义： （2）数量积的运算法则 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思绪清楚吗？ 平行垂直的证明重要运用线面关系的转化： 线面平行的鉴定： 线面平行的性质： 三垂线定理（及逆定理）： 线面垂直： 面面垂直： 60. 三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角，0°90° （2）直线与平面所成的角，0°90° （三垂线定理法：A作或证AB于B，作BO棱于O，连AO，则AO棱l，AOB为所求。） 三类角的求法： 找出或作出有关的角。 证明其符合定义，并指出所求作的角。 计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质 正棱柱底面为正多边形的直棱柱 正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： 它们各包含哪些元素？ 63. 球有哪些性质？ （2）球面上两点的距离是通过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，为纬度角，它是线面成角；为经度角，它是面面成角。 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四周体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r3：1。 64. 熟记下列公式了吗？ （2）直线方程： 65. 如何判断两直线平行、垂直？ 66. 如何判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时注意运用圆的垂径定理 定义：假如圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线通过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC等于弧BC 67. 如何判断直线与圆锥曲线的位置？ 68. 分清圆锥曲线的定义 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在0下进行。） 73. 如何求解“对称”问题？ （1）证明曲线C：F（x，y）0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。 重心三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。外心三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是ABC的外心，则BOC=2A（A为锐角或直角）或BOC=360°-2A（A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向此外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等垂心三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OGGH=12。3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 内心三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的一半。 3、P为ABC所在平面上任意一点，点0是ABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、点O是平面ABC上任意一点，点I是ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0