2022年解三角形教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高一数学必修 5 第一章解三角形教学设计 教学过程 懂得定理 正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即abcsinAsinBsinC（1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使aksin aA,b bksinB,cc k sin C；a等价于 sin AbBc, sinCbBa, sinAcB；（2）sinAsinBsinCsinsinsinC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如absinA；sinBa bsin已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sinA一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 ； 例题分析 例题 . 在ABC 中 , 已知a3, b2, B=450. 求 A、 C和 c. 600或A1200解:B0 450 90且ba ,A 有两解 . 由正弦定理 , 得sinAasinB3sin4503Ab221当 A=60 0 时,C=1800-A-B=750, cbsinC2 sin750622sinB0 sin 452当 A=1200 时,C=1800-A-B=150, cbsinC2 sin150622sinB0 sin 45练习： 1ABC中,c6,A450 a23,求 B、C、b. k k0； 2 ABC中,c6,A450 a2 ,求 B、C、b. 3）已知ABC中, sinA :sinB :sinC1:2:3,求a b c小结 （由同学归纳总结）（1）定理的表示形式：aAbBcCsinAabcsinsinsinsinsinBC或aksinA,bksinB,cksinCk0（2）正弦定理的应用范畴：已知两角和任一边,求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角,求另一边的对角；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题 : § 1.1.2余弦定理学习必备欢迎下载授课类型：新授课 懂得定理 余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍；即a2b2c22 bccosAb2a2c22 accosBc2a2b22 abcosC摸索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量,可求出第四个量,能否由三边求出 一角？（由同学推出）从余弦定理,又可得到以下推论：cosAb22 ca2,cosBa2c2b2,cosCb2a2c22bc2ac2 ba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角；摸索：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理就指出了一般三角形中三边平 方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系？（由同学总结）如ABC中, C=0 90 ,就 cosC0,这时c2a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例； 例题分析 例 1在ABC中,已知a2 3,c62,B600,求 b 及 A 2 cos450解：b2a2c22accos B =2 32 6222 2 3 6=12 6224 3 3 1 =8b2 2.A0 60 .求 A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理：2 2 2 2解法一：cos A b2 cbc a 2 22 2 2 6 6 2 22 322 1,2解法二： sinAasinB2 30 sin45 ,b2 2又62 2.4 1.4 3.8,2 3 2 1.8 3.6, a c ,即0 0 A0 90 ,A0 60 .评述：解法二应留意确定A 的取值范畴；练习： 在ABC中,如a2b2c2bc ,求角 A（答案： A=1200 ）小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范畴：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角,求第三边；课题 : § 113 解三角形的进一步争论 授课类型：新授课 教学过程 探究争论 名师归纳总结 例 1在 ABC中,已知 a b A,争论三角形解的情形分析：先由 sin B b sin A可进一步求出 B；就 Ca1800AB ,从而casinC第 2 页,共 5 页A1当 A 为钝角或直角时,必需ab才能有且只有一解；否就无解；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2当 A 为锐角时,假如 a b ,那么只有一解；假如 a b,那么可以分下面三种情形来争论：（1）如 a b sin A,就有两解； （2）如 a b sin A,就只有一解； （ 3）如 a b sin A,就无解；（以上解答过程详见课本第 9-10 页）评述：留意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A为锐角且 b sin A a b时,有两解；其它情形时就只有一解或无解；练习 : （1）在ABC中,已知a80,b100,A450,试判定此三角形的解的情形；x 的取值1,C 22 cm,400,就符合题意的b 的值有 _个；（2）在ABC中,如a1,c（3）在bB0 45,假如利用正弦定懂得三角形有两解,求ABC中, axcm ,范畴；（答案：（1）有两解；（2） 0；（3） 2x2 2）利用正弦定理、余弦定理判定三角形的外形例 2依据所给条件, 判定ABC的外形 . aAbBcC1）在ABC中,已知a7,b5,c3；2）acosAbcosB ; 3 ）coscoscos分析：由余弦定理可知a aa2b bb2c cc2A 是直角A 是钝角A 是锐角ABC是直角三角形222ABC是钝角三角形222ABC是锐角三角形（留意：A 是锐角ABC是锐角三角形）1）解：2 7522 3 ,即2 ab22 c ,ABC是钝角三角形；2）解 : 解法一 化边 名师归纳总结 由余弦定理得acosAbcosBab2c2a2ba2c2b2sinC第 3 页,共 5 页2bc2aca2c2a4b2c2b40, a2b2c2a2b20a2b20或c2a2b20a2b2c2或ab故ABC是直角三角形或等腰三角形解法二 化角 由acosAbcosB;可得2 RsinAcosA2RsinBcosB即sin2Asin2B2A2B或2A2B1800,即AB0 或 A+B=90故ABC是直角三角形或等腰三角形aBcsinA, b, csinBAsinB3）解： 化角 解法一 : 由正弦定理得sinCsin Csin代入已知等式得csinACcsinccosAsincosBsinCcosCcosAcosBcosC即tanAtanBtanCA ,B,C0,ABC故ABC 是等边三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 化边 解法二 : 由已知等式得2学习必备欢迎下载RsinA2 RsinB2RsinCcosAcosBcos C即tanAtanBtanCA ,B,C0,ABC故ABC 是等边三角形练习：1）在 ABC中,已知 sin A :sin B :sin C 1:2:3,判定 ABC的类型；02）在 ABC中,A 60,a 1,b c 2,判定 ABC的外形；3）判定满意以下条件的三角形外形, sinC = sin A sin Bcos A cos B提示：利用正弦定理或余弦定理,“ 化边为角” 或“ 化角为边”三角形面积公式,S= 1 absinC , S= 1 bcsinA, S= 1 acsinB 2 2 2例 3、在 ABC中,求证：（1）a 2c 2 b 2 sin 2sin A2 sinC 2 B ;（2）a + 2b + 2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ）2分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观看式子左右两边的特点,联想到用正弦定理来证明证明：（1）依据正弦定理,可设a = b = c = k 明显 k 0,所以sin A sin B sin C左边 = a 2c 2 b 2 k 2 sink 22 Asin k2 2C sin 2 B = sin 2sin A2 sinC 2 B =右边（2）依据余弦定理的推论,2 2 2 2 2 2 2 2 2右边 =2bc b c a +ca c a b +ab a b c 2 bc 2 ca 2 ab =b 2 +c 2 - a 2 +c 2 +a 2 -b 2 +a 2 +b 2 -c 2 =a 2 +b 2 +c 2 =左边变式练习 1：已知在 ABC中,B=30 ,b=6,c=6 3 , 求 a 及 ABC的面积例 4在 ABC中,A 60 0,b 1,面积为2 3,求sin A asin bB csin C 的值分析：可利用三角形面积定理 S 12 ab sin C 12 ac sin B 12 bc sin A以及正弦定理a b c a b csin A sin B sin C sin A sin B sin C解：由从而 S 12 bc sina b Ac 2 3 得 c 2,就a a 22 b 2c 22 bc cos A=3,即 a 3,sin A sin B sin C sin A练习：（1）在ABC中,如a55,b16,且此三角形的面积S220 3,求角 C 2 2 2a b c,求角 C 4a、b、c,且三角形的面积S（2）在ABC中,其三边分别为（答案：（1）0 60 或0 120 ；（2）0 45 ）小结： 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载并考察边或角的关系,从而确定三角形的外形；特殊是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用；（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形；名师归纳总结 （2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用；第 5 页,共 5 页- - - - - - -