2022年近世代数前两章知识总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 近世代数论文师范学院 14 级数学与应用数学 2 班景羡林学号： 12147139213 一、 上半学期学习总结第一章基本概念或 n 21、集合的幂集： 以集合 A的一切子集为元素构成的集合, 记为 2 A；（含 n 个元素的集合的子集有 2 n 个,即幂集中的元素共有个）2、积（笛卡尔积）：A× B=（a,b）|a× B B× A）A,b B叫 A 与 B 的积；（A3、A 到 B 的对应法就 为 A 到 B 的映射 ,有象 ,的象唯独 ,x 的象在 B 中；4、如 A 是含 n 个元素的集合,就 A 的映射共有 个,一一映射共有n！个；5、代数运算： 一个 A× B 到 D的映射叫做一个 A× B 到 D的代数运算；（o 为 A× B 到 D的代数运算 a b 唯独,属于 D）；（a,b） A× B,a b 有意义,且6、满射：y,设 y= （x）,求出 x（x 为 y 的函数）,如 x 存在且x A,就 为满射；（ 中的每一个元素都有原象） ；单射： a,b A,如 a b,就（a）（b）；（元素不同象不同）；一一映射：即单又满；（一一映射都有逆映射,如 有限且元素个数相同）A与 B间是一一映射,就 A、B7、一个 A到 A的映射叫做 A的一个变换；有限集 A的一个一一变换,叫做 A的一个置换；8、一个 A 到 的映射,叫做一个对于代数运算 o 和 来说的,A 到的同态映射,假如满意：a,b A,a,b 就 aob（运算的象 =象的运算）；A 与 同态 A 与 存在同态满射；9、一个 A 到 的一一映射,叫做一个对于代数运算 o 和 来说的,A 到 的同构映射；（同构映射的逆映射也是同构映射） ；10、 如 R为法就,如 R满意a,b A,要么 aRb,要么 a b,唯独确定,就称 R为 A的元间的一个关系； 集合 A 的元间的一个关系 叫做一个等价关系,假如满意反射律（推移律a A,有 a a）对称律名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11、 A 的一个分类即为A 的一 些 子集、满意 ： =A. = （i j ）（不相交）；（集合 A 的元间的一个等价关系 打算 A 的一个分类）12、 模 n 的同余关系（ ab（n）读作 a 同余 b 模 n）：如 n （ a-b ）其次章就 ab（a 与 b 同除 n 后余数相同）；如=就 ab（n）即 n|a-b ；群论1、群的定义：一个非空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如：乘法封闭；结合律成立；存在单位元；逆元存在；2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得 =e 成立的最小正整数 m,记为,如这样的 m不存在,就说 a 是无限阶的；（单位元的阶为 1）3、元素的阶的性质：设 a 的阶为 m,如 =e 就 m n；任何元素与它的逆元同阶；设 G为一个群,a G,如 a 的阶为 2,就 a=；在一个有限群 G中,阶大于 2 的元素的个数肯定是偶数；4、交换群：a,b G,ab=ba 5、如一个有乘法的有限集满意乘法封闭；结合律成立；消去律成立（如 ax=a,那么 x=；如 ya=a 就 y=）；就必能做成一个群；（无限集不适用）6、群同态：假定 G与 对于它们的乘法来说同态, 如 G是群,那么 也是一个群（具有相同的特性） ；但是反之却不成立；7、设（ G,· ）和（,· ）是两个群,假如存在 G 和 的同态满射,就称 G和 同态,记为 G；假如存在 G和 的同构映射,就称 G和 同构,记为 G；8、A 的一个变换就是一个 A 到 A 自己的映射；9、一个集合 A 的全部一一变换作成一个变换群 G；（变换群是非交换群）；变换群不唯独,变换做成群只有一一映射,10、 任何一个群都同一个变换群同构；11、 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的如干个置换做成的一个群叫做一个置换群；置换群是非交换群）（置换群的表示不唯独,12、 一个包含 n 个元的集合的全体置换作成的群叫做 n 次对称群； n次对称群 的阶是 n！；13、 每一个有限群都与一个置换群同构；14、 循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂；（循环群的生成元a不唯独,不同的元可以生成同一个群）15、 假定 G是一个由元 a 生成的循环群, 那么 G的构造完全可以由的阶来打算： a 的阶如是无限,那么G与整数加群同构； a 的阶如是一个有限整数 n,那么 G与模 n 的剩余类加群同构；16、 一个循环群肯定是一个交换群；名师归纳总结 17、 设 H为群 G的非子集,假如 H按 G中的运算作成一个群,就称H第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为 G 的一个子群,记为 HG；G 的一个非空子集H 作成 G18、 子群的判法：定义法；一个群的一个子群的充要条件是乘法封闭； 逆元成立（a H H）；充要条件是： a、b H a H；充要条件是：a、b H a H；19、 群 G中由等价关系 ab a H 打算 G 的一个分类,其中的每一个类,叫做子群H的右陪集,用 Ha表示；20、 群 G中由等价关系 abH打算 G 的一个分类,其中的每一个类,叫做子群H的右陪集,用 aH表示；21、 一个子群 H的右陪集个数和左陪集个数相等； （一般的, a,Ha aH,a 为单位元时才相等）22、 一个群 G的一个子群 H的右陪集（或左陪集）的个数叫做 H在 G里的指数,记为；（陪集个数 =H中元素个数）23、 子群的阶能整除大群的阶；一个有限群 都整除 G的阶；G 的任一个元 a 的阶 n24、 一个群 G的一个子群 N叫做一个不变子群, 假如对于 G的每一个 元 a 来说,都有 Na=aN（指 Na与 aN这两个集合一样）；25、 一个交换群 G的每一个子群 H都是不变子群；26、 不变子群的判法： 定义法： a,有 Na=aN； a,aN=N；a,n anN 27、 一个群 G的一个不变子群 N的陪集所作成的群叫做一个商群, 用G/N表示；的阶 的阶=G/N的阶；（每一个不变子群都可产生一个商群）N28、 一个群 G同它的每一个商群G/N同态；29、 假定 G与是两个群,并且 G与 同态,那么这个同态满射的核是 G的一个不变子群,并且G/N30、 一个群 G和它的每一个商群同态； 群的同态满射的核是一个不变 子群；二、 下半学期学习方案l 时间支配问题1 在学习前确定明确的目标,比如要在多少时间里完成多少内容；2 按时完成作业；（3）充分利用课余时间来提高自己；2留意力问题上课用心听讲,做到留意力高度集中名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3学习爱好问题 要想学好近世代数这门课程, 第一必需要对这门学科有爱好, 爱好是最好的老师；4. 学习方法问题1 多做题,在做题中体会做题的方法,思想,步骤；2 敢于不耻下问,与同学们共同提高；（3）敢于向老师请教问题；4 合理利用课余时间,多在图书馆看一些课外帮助读物,提升自己的才能；（5）课前提前预习,课后准时复习；（6）每隔一段时间就要复习一下以前学过的东西,做到温故而知新；（7）多做一下以前的考试题,明白考试题型；5、学会总结学问将课本上的概念理论用便于自己懂得的话总结起来,类型的内容总结到一起,一并懂得记忆；三、 学习看法、建议学会比较记忆, 把相同期望老师能把之前发的那些题认真讲一下,近世代数这门课理论概念太多,这也是同学们上课听着浮躁的主要缘由,数学专业的同学自然对运算之类的东西比较敏锐, 而像短篇小说一样的概念理论,无疑是对数学专业同学的煎熬,至少对我来说如此, 我感觉这门课的概念理论不难记忆,好地学习近世代数这门课程,现提一点建议如下：但是不简单懂得； 为了能更1、假如能把枯燥的理论概念融入到习题讲解中,我感觉成效可能会更好；2、在课堂上积极调动同学学习,比如多叫同学在黑板上做题,对同学上课 留意力高度集中以及更好地懂得学习内容都大有好处；近世代数是一门比较抽象的学科,但作为数学专业的同学, 它是我们必需要攻克的难关,只要方法得当,并认真去学,我信任,学好名师归纳总结 近世代数不是难事, I firmly believe that I can make it！第 4 页,共 4 页- - - - - - -