2023年经济数学基础积分学之不定积分.doc

第一单元 原函数的概念一、学习目的通过本节课的学习，理解原函数的概念二、内容讲解这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数已知 求总成本函数 边际成本C(x) C¢(x)（ ） MC( )¢ = MC求 已知已知总成本C(x)，求边际成本C¢(x)，就是求导数反之假如已知边际成本，用MC表达，规定总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC我们引进一个概念：定义1.1原函数若对任何xÎD，F¢(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数我们来看具体的问题：例如Q(x3)¢ =3x2 F(x) f(x)；x3是3x2的原函数大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了先考虑这样一个问题：的原函数是哪个？由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是，即它使得成立，我们在下列函数中进行选择：经验证知和是2x的原函数通过这个过程应当弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数此外，2x的原函数不唯一它告诉我们原函数不止一个再从另一方面提出问题：为哪个函数的原函数？，说明是的原函数同样，说明是的原函数事实上，都是的原函数，说明原函数有无穷多个那如何求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的若都是的原函数，则证：设可知，即这个结论非常重要，我们已经知道，若是的原函数，则都是的原函数而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数所以只规定出一个原函数，就能得到所有原函数问题思考1：假如一个函数有原函数，它也许有多少个原函数？答案有无穷多个原函数问题思考2：是的原函数，是否包含了的所有原函数？答案是，由于的任一原函数都可表达为的形式三、例题讲解例1求的全体原函数分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数求原函数就是看哪个函数的导数是解：由于，所以是的一个原函数故的全体原函数为+c。例2判断是哪个函数的原函数分析：看的导函数是哪个函数 解：由于，所以是的原函数四、课堂练习求的全体原函数先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数求原函数就是看哪个函数的导数是由于 ，所以是的一个原函数五、课后作业1求下列函数的一个原函数：（1）；（2）；（3）；（4）2求下列函数的全体原函数：（1）；（2）；（3）；（4）1（1）；（2）；（3）；（4）2（1）；（2）；（3）；（4）第二单元 不定积分的定义一、学习目的通过本节课的学习，理解不定积分的概念二、内容讲解定义1.2不定积分的所有原函数的全体称为不定积分记作，其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分符号问题思考：在的积分曲线族中，过原点的曲线是哪一条？答案过原点的曲线是三、例题讲解例1求的全体原函数解：全体原函数就是的不定积分例2 求通过点的曲线，使它在点处的切线斜率为解：得到一族曲线曲线过点，即，得到所求曲线为三、课堂练习练习1求的全体原函数就是求的不定积分，先求一个原函数，再加任意常数即得看哪个函数的导函数是由于，所以练习2求过点的曲线，使它在点处的切线斜率为先求的积分曲线族（即的不定积分），再看曲线族中哪条曲线过点由不定积分求出的积分曲线族由于，切线斜率为的曲线族是五、课后作业1求的不定积分.2已知曲线在任一点处的切线斜率为，试求过点的曲线方程.1；2第三单元 导数与不定积分的关系一、学习目的通过本节课的学习，理解导数运算与不定积分运算之间的互逆关系二、内容讲解我们来讨论两个问题，一方面有两个答案给我们选择；规定的不定积分，也就是要看哪个函数的导函数是，答案当然是但另一方面不定积分是规定全体原函数，所以对的的选择是 ´； Ö即再讨论第二个问题有三个答案给我们选择；不定积分是被积函数的原函数，所以它的导数应当是被积函数，而导函数如存在应是唯一的，所以对的的选择是´；´Ö即请大家自己考虑一个问题由这两个问题我们了解到，导数和不定积分是两种互逆的运算求导数求不定积分求导公式积分公式求导公式反过来就是积分公式问题思考：在等式和中，为什么前式不加而后式加？答案由于前式是先求原函数后求导函数，导函数唯一，所以不加； 而后式是先求导函数后求原函数，原函数不唯一，所以加三、例题讲解例求分析：由微分定义有解：由微分定义有；即求四、课堂练习求由微分定义有，已知所以=f(x)dx五、课后作业1求；2求. 1；2第四单元 积分基本公式一、学习目的通过本节课的学习，熟悉积分基本公式二、内容讲解正由于求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式先让我们回顾一下导数基本公式：；将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式：；以上这些积分基本公式都是需要牢记的此外，有一种方法可以检查不定积分计算的对的与否，那就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数由此可见，积分基本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式再来说明积分公式当时，；当时，将两个结果统一起来就得到积分公式三、例题讲解说明在积分基本公式中为什么没有的公式分析：从不定积分运算和导数运算的关系加以说明说明：在导数公式中是由定义及相关法则直接求得的而的不定积分需要找一个函数，使该函数的导函数是，我们无法在导数基本公式中得到这样的结果，并且即使通过其它方法找到这个结果，一般来说也不是一个实用的公式所以在积分基本公式中没有公式，类似地因素也没有和我们所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系四、课后作业运用积分基本公式求下列不定积分：（1）；（2）.（1）；（2）第五单元 不定积分的性质一、学习目的通过本节课的学习，记住不定积分的性质，熟悉不定积分的直接积分法二、内容讲解先介绍不定积分的性质积分基本性质：1.若是可积函数，则有2.若是可积函数，为非0常数，则有，有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来例如这种运用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为直接积分法三、例题讲解例1求解：例2求解：例3求解：例4 已知边际成本为，固定成本为30，求总成本函数解：由于，有，将代入，得，总成本函数为例5求解：由变量替换得注意到，即若直接计算左端有用变量替换的方法显然简朴得多四、课堂练习求不定积分可以运用函数的四则运算及幂函数的性质，将被积函数化为运用积分性质和积分基本公式直接计算的积分五、课后作业求下列不定积分：（1）；（2）；（3）（1）   （2）   （3）第六单元 换元积分法一、学习目的通过本节课的学习，掌握不定积分的第一换元积分法（凑微分法）知道第二换元积分法二、内容讲解我们再介绍两种计算不定积分的方法1第一换元积分法：这种方法是将被积函数凑成的形式或是将凑成的形式（凑微分）就是说将被积表达式凑成某个中间变量的函数乘以这个中间变量的微分 而的原函数是已知的或是容易求得的此时就有这种方法的关键是将凑出，且容易计算我们称这种方法为第一换元积分法（也称为凑微分法）2第二换元积分法：这种方法是将积分变量作变量替换将被积函数变成的形式或即将被积表达式凑成某个中间变量的函数乘以这个中间变量的微分而的原函数是已知或是容易求得的此时就有这种方法的关键是容易计算我们称这种方法为第二换元积分法将-2x看作一个整体，可以运用积分公式      三、例题讲解例1求解：将3x-4看作一个整体，可以运用积分公式    例2求解： 例3 求将x3+1看作一个整体，可以运用积分公式   解：例4 求解：例5 求解：例6 计算分析： 设法去掉被积函数的根号，将根式表达式用新变量替换解：令，即有,得例7 计算分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方用三角公式替换解：令，得（三角公式）（三角公式）四、课堂练习练习1 求不定积分把看作一个整体，用凑微分法运用，或练习2 求不定积分把看作一个整体，用凑微分法五、课后作业求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）第七单元 分部积分法一、学习目的通过本节课的学习，掌握不定积分的分部积分法二、内容讲解分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式我们来导出分部积分公式对于这个问题，由导数运算法则容易得到上式两端积分，得由积分与导数运算的关系及积分的性质得到整理后得到它的另一种形式是于是就得到分部积分公式：分部积分的关键在于被积函数的一个乘积项是某个函数的导函数，即（或），可知是的一个原函数运用分部积分公式它的意义在于将的计算转化为的计算，假如后者的计算比前者简朴，这种方法就获得了成功它将一个较难的积分化为一个较简朴的积分三、例题讲解例1求解：令，（或），（或），例2 求解：令，（或）（或），例3求解：令，（或），（或），例4 求解：设，（或），（或），例5 求解：令，（或），（或），四、课堂练习练习1 求不定积分（，再运用运用分部积分法，当被积函数是幂函数和三角函数的乘积时，用三角函数凑微分）练习2求不定积分运用分部积分法，当被积函数是幂函数和对数函数的乘积时，用幂函数凑微分运用分部积分法，再运用五、课后作业求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）