2023年高三数学一轮复习知识点归纳与总结直线的倾斜角与斜率直线的方程.doc
备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3.掌握拟定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.1.对直线的倾斜角和斜率概念的考察，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解2.对两条直线平行或垂直的考察，多与其他知识结合考察，如2023年浙江T3等3.直线方程一直是高考考察的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考察形式多与其他知识结合，以选择题为主(2)重要是涉及直线方程和斜率.归纳·知识整合1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围为0，)(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90°，则斜率ktan_.计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)拟定的直线不垂直于x轴，则k.探究1.直线的倾角越大，斜率k就越大，这种说法对的吗？提醒：这种说法不对的由ktan 知，当 时，越大，斜率越大且为正；当时，越大，斜率也越大且为负但综合起来说是错误的2两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系探究2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为1，这句话对的吗？提醒：不对的，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在3直线方程的几种形式名称条件方程合用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式斜率k与截距bykxb不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式截距a与b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都合用探究3.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表达？提醒：当x1x2，或y1y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表达自测·牛刀小试1(教材习题改编)若直线x2的倾斜角为，则()A等于0B等于C等于 D不存在解析：选C由于直线x2垂直于x轴，故其倾斜角为.2(教材习题改编)过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4解析：选A由题意知，1，解得m1.3过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为()Axy30 Bxy30Cxy30 Dxy30解析：选B直线斜率为1，其方程为yx3，即xy30.4直线l的倾斜角为30°，若直线l1l，则直线l1的斜率k1_；若直线l2l，则直线l2的斜率k2_.解析：l1l2，kl1tan 30°.l2l，kl2.答案：5已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三点共线，则x等于_解析：由于kAB2，kAC.A，B，C三点共线，所以kABkAC，即2，解得x3.答案：3直线的倾斜角和斜率例1(1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，)B.C. D.(2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(mn)，则直线AB的倾斜角为_；(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为_自主解答(1)设直线的倾斜角为，则有tan sin ，其中sin 1,1又0，)，所以0 或 <.(2)设直线AB的倾斜角为，斜率为k，则ktan 1.又0，)，所以.(3)如右图，kAP1，kBP，k(， 1，)答案(1)B(2)(3)(， 1，)若将P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围 解：P(1，0)，A(2，1)，B(0，)，kPA，kPB.借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为. 斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率；(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率1直线l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A. B.C D解析：选A设直线l的斜率为k，则k.2若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. BC D.解析：选B设P(x,1)，Q(7，y)，则x72,1y2，解得x5，y3，从而kl.直线的平行与垂直的判断及应用例2若直线ax2y60与x(a1)ya210平行，则a_.自主解答由于两直线平行，所以有a(a1)2，即a2a20，解得a2或a1.答案2或1用一般式拟定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充足条件(A2B2C20)l1与l2相交的充足条件(A2B20)l1与l2重合的充足条件(A2B2C20)3已知l1的倾斜角为45°，l2通过点P(2，1)，Q(3，m)，若l1l2，则实数m_.解析：k1tan 45°1，k2，l1l2，k21，解得m6.答案：64已知过点A(2，m)，B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为_解析：由题意知，kAB2，解得m8.答案：8直 线 方 程例3(1)在等腰三角形AOB中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3)By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)(2)直线l通过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点OAB的面积为12，则直线l的方程是_自主解答(1)由于AOAB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kABkOA3，所以直线AB的点斜式方程为：y33(x1)(2)法一：设直线l的方程为1(a>0，b>0)则有1，且ab12.解得a6，b4.所以所求直线l的方程为1，即2x3y120.法二：设直线l的方程为y2k(x3)(k<0)，令x0，得y23k>0；令y0，得x3>0.所以SOAB(23k)12，解得k，故所求直线方程为y2(x3)，即2x3y120.答案(1)D(2)2x3y120求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程5ABC的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程解：(1)由于直线BC通过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.(3)BC的斜率k1，则BC的垂直平分线DE的斜率k22，由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.1个关系直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率(2)直线的倾斜角和斜率k之间的相应关系：0°0°<<90°90°90°<<180°k0k>0不存在k<03个注意点与直线方程的合用条件、截距、斜率有关问题的注意点(1)明确直线方程各种形式的合用条件点斜式斜截式方程合用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表达垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表达垂直于坐标轴和过原点的直线在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊规定下一般化为一般式(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论. 易误警示有关直线方程中“极端”情况的易误点典例(2023·常州模拟)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_解析当截距不为0时，设所求直线方程为1，即xya0.点P(2,3)在直线l上，23a0，a1，所求直线l的方程为xy10.当截距为0时，设所求直线方程为ykx，则有32k，即k，此时直线l的方程为yx，即3x2y0.综上，直线l的方程为xy10或3x2y0.答案xy10或3x2y01因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x2y0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解2在选用直线方程时，常易忽视的情况尚有：(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为_解析：当m2时，直线l的方程为x2；当m2时，直线l的方程为，即2x(m2)ym60.由于m2时，方程2x(m2)ym60，即为x2，所以直线l的方程为2x(m2)ym60.答案：2x(m2)ym60一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2023·秦皇岛模拟)直线xy10的倾斜角是()A.B.C. D.解析：选D由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，所以.2已知点A(1，2)，B(m,2)，且线段AB垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是()A2 B7C3 D1解析：选C由已知kAB2，即2，解得m3.3若直线通过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有()A4条 B3条C2条 D1条解析：选B作图易得在第一、二、四象限各能围成一个4(2023·银川模拟)已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a等于()A3 B1C1 D3或1解析：选C由题意知，l1l2，即a1.5直线2xmy13m0，当m变化时，所有直线都过定点()A. B.C. D.解析：选D原方程可化为(2x1)m(y3)0，令解得x，y3，故所有直线都过定点.6设a，b，c分别是ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin Aayc0与直线bxysin Bsin C0的位置关系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析：选C由已知得a0，sin B0，所以两条直线的斜率分别为k1，k2，由正弦定理得k1·k2·1，所以两条直线垂直二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_解析：当时，ktan ；当时，ktan ，0)综上k，0).答案：，0)8已知直线xky10与直线ykx1平行，则k的值为_解析：若两直线平行，则k，解得k±1.答案：±19(2023·皖南八校联考)已知直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则|ab|的最小值为_解析：两直线互相垂直，a2b(a21)0且a0，a2ba21，aba，|ab|a|2(当且仅当a±1时取等号)答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10设直线l的方程为xmy2m60，根据下列条件分别拟定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为3.解：(1)由于直线l的斜率存在，所以m0，于是直线l的方程可化为yx.由题意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由题意得2m63，解得m.法二：直线l的方程可化为xmy2m6.由题意得2m63，解得m.11已知两点A(1,2)，B(m,3)(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m，求直线AB的倾斜角的取值范围解：(1)当m1时，直线AB的方程为x1，当m1时，直线AB的方程为y2(x1)(2)当m1时，.当m1时，m1，即k(， ，所以.综合知，直线AB的倾斜角的取值范围为.12如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解：由题意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(， )又P(1,0)，所以kABkAP.所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.1直线l过点(1,2)且与直线3y2x1垂直，则l的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：选A法一：设所求直线l的方程为3x2yC0，则3×(1)2×2C0，得C1，即l的方程为3x2y10.法二：由题意知，l的斜率是k，则直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.2直线l通过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是()A1<k< Bk>1或k<Ck>或k<1 Dk>或k<1解析：选D设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，令y0，得直线l在x轴上的截距为1，则3<1<3，解得k>或k<1.3已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于_解析：线段AB的方程为1(0x3)，y4x，代入xy得xyx24x·23，由二次函数性质知，当x时，xy的最大值等于3.答案：34已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解：法一：设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为1，l过点P(3,2)，1，b.从而SABOa·ba·.故有SABO(a3)62 612，当且仅当a3，即a6时，(SABO)min12，此时b4.故所求直线l的方程为1，即2x3y120.法二：设直线方程为1(a>0，b>0)，代入P(3,2)，得12 ，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时，等号成立，此时k，故所求直线l的方程为2x3y120.法三：依题意知，直线l的斜率存在设直线l的方程为y2k(x3)(k<0)，则有A，B(0,23k)，则SAOB(23k)(1212)12，当且仅当9k，即k时，等号成立故所求直线l的方程为2x3y120.法四：如右图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N.设PAMBPN，则SAOBSPBNS四边形NPMOSPMA×3×3×tan 6×2×2×6tan 62 12，当且仅当tan ，即tan 时，SAOB12，此时直线l的斜率为，其方程为2x3y120.
