2023年离散数学集合论部分综合练习.doc
离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检查学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。一、单项选择题1若集合A=a，b，B= a，b， a，b ，则（ ） AAÌB，且AÎB BAÎB，但AËB CAÌB，但AÏB DAËB，且AÏB2若集合A2，a， a ，4，则下列表述对的的是( )Aa， a ÎA B a ÍA C2ÎA DÎA3若集合A a，a，1，2，则下列表述对的的是( ) Aa，aÎA B2ÍACaÍA DÆÎA4若集合A=a，b， 1，2 ，B= 1，2，则（ ） AB Ì A，且BÎA BBÎ A，但BËA CB Ì A，但BÏA DBË A，且BÏA 5设集合A = 1, a ，则P(A) = ( ) A1, a B,1, a C,1, a, 1, a D1, a, 1, a 6若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ） A1024 B10 C100 D17集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系R=<x，y>|x+y=10且x, yA，则R的性质为（ ） A自反的 B对称的 C传递且对称的 D反自反且传递的 8设集合A = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系R =a , bêa , bA , 且a +b = 8，则R具有的性质为（ ）A自反的 B对称的C对称和传递的 D反自反和传递的9假如R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1-R2中自反关系有（ ）个 A0 B2 C1 D3 10设集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4，S = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4，则S是R的（ ）闭包 A自反 B传递 C对称 D以上都不对 24135图一 11设集合A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如图一所示，若A的子集B = 3 , 4 , 5，则元素3为B的（ ） A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不对12设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( ) A8、2、8、2 B无、2、无、2 C6、2、6、2 D8、1、6、113设A=a, b，B=1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1=<a，2>, <b，2>，R2=<a，1>, <a，2>, <b，1>，R3=<a，1>, <b，2>，则（ ）不是从A到B的函数 AR1和R2 BR2 CR3 DR1和R3二、填空题1设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 2设集合Aa，b，那么集合A的幂集是 应当填写：Æ,a,b,a,b 3设集合A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 4设集合A=0, 1, 2，B=0, 2, 4,R是A到B的二元关系，则R的关系矩阵MR 5设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=<a, b>,<c. a>，S=<a, a>,<a, b>,<c, c>则(R·S)1=6设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>，则二元关系R具有的性质是7若A=1,2，R=<x, y>|xÎA, yÎA, x+y=10，则R的自反闭包为 8设集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的双射函数是 9设A=a，b，c，B=1，2，作f：AB，则不同的函数个数为 三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由） 图一1设A、B、C为任意的三个集合，假如AB=AC，判断结论B=C 是否成立？并说明理由2假如R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1R2、R1ÇR2是自反的” 是否成立？并说明理由 3 若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在 4若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在图二 5设N、R分别为自然数集与实数集，f：NR，f (x)=x+6，则f是单射四、计算题1设集合Aa, b, c，B=b, d, e，求（1）BÇA； （2）AÈB； （3）AB； （4）BÅA2设A=a, b, 1, 2，B= a, b, 1, 1，试计算（1）（A-B） （2）（AB） （3）（AB）-（AB）3设集合A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，试计算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）A×B 4设A=0，1，2，3，4，R=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0，S=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£3，试求R，S，R·S，R-1，S-1，r(R)5设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6（1）写出关系R的表达式； （2）画出关系R的哈斯图；adbc图三（3）求出集合B的最大元、最小元 6设集合Aa, b, c, d上的二元关系R的关系图如图三所示（1）写出R的表达式； （2）写出R的关系矩阵； （3）求出R2 7设集合A=1，2，3，4，R=<x, y>|x, yÎA；|x-y|=1或x-y=0，试（1）写出R的有序对表达； （2）画出R的关系图；（3）说明R满足自反性，不满足传递性五、证明题 1试证明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)2试证明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC) 3设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aÎA，存在bÎA，使得<a, b>ÎR，则R是等价关系 4若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：也是A上的偏序关系参考解答一、单项选择题1A 2B 3C 4B 5C 6A 7B 8B9B 10C 11C 12B 13B二、填空题12n2Æ,a,b,a,b 3<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<3, 3>4 5<a. c>, <b, c> 6反自反的7<1, 1>, <2, 2>8<1, a >, <2, b >，<1, b >, <2, a >98三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1解：错 设A=1, 2，B=1，C=2，则AB=AC，但B¹C 2解：成立 由于R1和R2是A上的自反关系，即IAÍR1，IAÍR2。 由逆关系定义和IAÍR1，得IAÍ R1-1； 由IAÍR1，IAÍR2，得IAÍ R1R2，IAÍ R1ÇR2。所以，R1-1、R1R2、R1ÇR2是自反的。3解：对的 对于集合A的任意元素x，均有<x, a>ÎR（或xRa），所以a是集合A中的最大元按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元4解：错误集合A的最大元不存在，a是极大元5解：对的 设x1，x2为自然数且x1¹x2，则有f(x1)= x1+6¹ x2+6= f(x2)，故f为单射 四、计算题1解：（1）BÇA=a, b, cÇb, d, e= b （2）AÈB=a, b, cÈb, d, e=a, b, c, d, e （3）AB=a, b, cb, d, e=a, c（4）BÅA= AÈBBÇA=a, b, c, d, e b =a, c, d, e 2解：（1）（A-B）=a, b, 2 （2）（AB）=a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（AB）-（AB）=a, b, 2, a, b, 1 3解：（1）A-B =1,2 （2）AB =1,2 （3）A×B=<1,1>，<1,2>，<1,1,2>，<2,1>，<2,2>，<2,1,2>，<1,1>，<1,2>，<1, 1,2>，<2,1>，<2,2>,<2, 1,2> 4解：R=Æ, S=<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0> R·S=Æ， 123469578101112图四：关系R的哈斯图R-1=Æ， S-1= S， r(R)=IA 5解：（1）R=IÈ<1,2>, <1,3>, , <1,12> ,<2,4>, <2,6>, <2,8>, <2,10>, <2,12>, <3,6>, <3,9> ,<3,12>, <4,8>, <4,12>, <5,10>, <6,12> （2）关系R的哈斯图如图四 （3）集合B没有最大元，最小元是：2 6解：R<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d,d> R2 = <a, a>, <a, c>, <b, c>, <d, d>·<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d, d>°°°°1234图五 =<a, a>, <a, c>, <d,d>7解：（1）R=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3> （2）关系图如图五（3）由于<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的。 因有<2,3>与<3,4>属于R，但<2,4>不属于R，所以R在A上不是传递的。五、证明题 1证明：设，若xAÈ (BÇC)，则xA或xBÇC，即 xA或xB 且 xA或xC即xAÈB 且 xAÈC ，即 xT=(AÈB) Ç (AÈC)，所以AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC) 反之，若x(AÈB) Ç (AÈC)，则xAÈB 且 xAÈC， 即xA或xB 且 xA或xC，即xA或xBÇC，即xAÈ (BÇC)，所以(AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC) 因此AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)2证明：设S=A(BC)，T=(AB)(AC)， 若xS，则xA且xBC，即 xA且xB 或 xA且xC， 也即xAB 或 xAC ，即 xT，所以SÍT 反之，若xT，则xAB 或 xAC， 即xA且xB 或 xA且xC 也即xA且xBC，即xS，所以TÍS 因此T=S 3设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aÎA，存在bÎA，使得<a, b>ÎR，则R是等价关系 证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系 "aÎA，$bÎA，使得<a, b>ÎR，由于R是对称的，故<b, a>ÎR； 又R是传递的，即当<a, b>ÎR，<b, a>ÎR Þ<a, a>ÎR；由元素a的任意性，知R是自反的所以，R是等价关系 4若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：也是A上的偏序关系证明：. ，所以有自反性；由于R，S是反对称的， 所以，RÇS有反对称性 ，由于R，S是传递的， 所以，有传递性 总之，R是偏序关系
