2023年高中数学平面向量知识点总结.doc
高中数学必修4之平面向量知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设，则+=（1）；（2）向量加法满足互换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，作图法：可以表达为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6、平面向量的基本定理：假如是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任历来量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表达这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表达1平面向量的坐标表达：平面内的任历来量可表达成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=·cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ；(第1题)6平面向量数量积的运算律：互换律成立：对实数的结合律成立：分派律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：假如与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：·O平面向量数量积的性质一、选择题1在ABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )A与共线B与共线 C与相等 D与相等2下列命题对的的是( )A向量与是两平行向量 B若a，b都是单位向量，则abC若，则A，B，C，D四点构成平行四边形D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(1，3)，若点C满足a b ，其中 a，bR，且ab1，则点C的轨迹方程为( )A3x2y110 B(x1)2(y1)25 C2xy0Dx2y504已知a、b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是ABCD5已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不涉及端点A，C)，则A()，(0，1)B()，(0，)C()，(0，1)D()，(0，)6ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则( )AB C D7若平面向量a与b的夹角为60°，|b|4，(a2b)·(a3b)72，则向量a的模为( )A2B4C6D128点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足···，则点O是ABC的( )A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点9在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )A平行四边形B矩形C梯形D菱形(第10题)10如图，梯形ABCD中，|，则相等向量是( )A与B与C与D与二、填空题11已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k 12已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中M(1，3)，N(1，3)，则x 13已知平面上三点A，B，C满足|3，|4，|5，则···的值等于 14给定两个向量a(3，4)，b(2，1)，且(amb)(ab)，则实数m等于 15已知A，B，C三点不共线，O是ABC内的一点，若0，则O是ABC的 16设平面内有四边形ABCD和点O，a，b，c, d，若acbd，则四边形ABCD的形状是 三、解答题17已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足(R)，试求 为什么值时，点P在第三象限内？(第18题)18如图，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求19如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AFDE(运用向量证明)(第19题)20已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，则|2ab|的最大值一、选择题(第1题)1B解析：如图，与，与不平行，与共线反向2A解析：两个单位向量也许方向不同，故B不对若，也许A，B，C，D四点共线，故C不对两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对3D解析：提醒：设(x，y)，(3，1)，(1，3)，a (3a，a)，b (b，3b)，又ab (3ab，a3b)， (x，y)(3ab，a3b)， ，又ab1，由此得到答案为D4B解析：(a2b)a，(b2a)b，(a2b)·aa22a·b0，(b2a)·bb22a·b0， a2b2，即|a|b|a|22|a|b|cos 2|a|2cos解得cos a与b的夹角是5A解析：由平行四边形法则，又，由 的范围和向量数乘的长度，(0，1)6D解析：如图， 7C解析：由(a2b)·(a3b)72，得a2a·b6b272而|b|4，a·b|a|b|cos 60°2|a|， |a|22|a|9672，解得|a|68D解析：由 ···，得··, 即·()0，故·0，同理可证， O是ABC的三条高的交点9C解析：8a2b2，且| 四边形ABCD为梯形10D解析：与，与，与方向都不相同，不是相等向量二、填空题11解析：A，B，C三点共线等价于，共线，(4，5)(k，12)(4k，7)，(k，10)(4，5)(k4，5)，又 A，B，C三点共线， D(第13题) 5(4k)7(k4)， k121解析： M(1，3)，N(1，3)， (2，0)，又a， 解得 x11325解析：思绪1： 3，4，5， ABC为直角三角形且ABC90°，即，·0， ······()()225思绪2： 3，4，5，ABC90°， cosCAB，cosBCA根据数积定义，结合图(右图)知·0，··cosACE4×5×()16，··cosBAD3×5×()9 ···01692514解析：amb(32m，4m)，ab(1，5)(第15题) (amb)(ab)， (amb)·(ab)(32m)×1(4m)×50m15答案：重心解析：如图，以，为邻边作AOCF交AC于点E，则，又 ， 2O是ABC的重心16答案：平行四边形解析： acbd， abdc， 四边形ABCD为平行四边形三、解答题171 解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2，3)(x2，y3)(5，4)(2，3)(7，10)(2，3)(3，)(5，7)(第18题)(35，7) ， (x2，y3)(35，17) 即要使点P在第三象限内，只需解得 118(，2)解析： A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，(4，3)，(3，5)又 D是BC的中点， ()(43，35)(7，8)(，4)又 M，N分别是AB，AC的中点， F是AD的中点， (，4)(，2)19证明：设a，b，则ab，ba ·(ab)·(ba)b2a2a·b(第19题)又，且， a2b2，a·b0 ·0，本题也可以建平面直角坐标系后进行证明 20分析：思绪1：2ab(2cos ，2sin 1)， |2ab|2(2cos )2(2sin 1)284sin 4cos 又4sin 4cos 8(sin coscos sin)8sin()，最大值为8， |2ab|2的最大值为16，|2ab|的最大值为4思绪2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2ab|表达2a，b终点间的距离|2a|2，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4
