2023年经济数学微积分函数的知识点及结论.doc

集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳 定义：一组对象的全体形成一个集合特性：拟定性、互异性、无序性表达法：列举法1,2,3,、描述法x|P韦恩图分类：有限集、无限集 、空集数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集关系：属于、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等运算：交运算ABx|xA且xB；并运算ABx|xA或xB;补运算x|xA且xU，U为全集性质：AA； A； 若AB，BC，则AC；AAAAA； A；AA；ABAABBAB；ACA； ACAI；C ( CA)A；C (AB)(CA)(CB)方法： 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽也许地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后运用数形结合的思想方法解决2、注意： 区别与、与、a与a、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是空集是指不含任何元素的集合、和的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦·凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳 1绝对值不等式不等式的解集是;不等式的解集是不等式ax+b<c, c>0的解集为 ;不等式ax+b>c c>0的解集为 两边都为非负数（或式）时，可两边平方具有多个绝对值不等式时，可用零点分段法具有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。2分式不等式重要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来解决。注意分母不为零的情况。3高次不等式重要运用“序轴标根法”解奇穿偶不穿4运用函数的图象或单调性5一元二次不等式的解法环节方程的根函数草图观测得解，对于a<0的情况可以化为a>0情况解决注意：含参数的不等式axbxc>0恒成立问题含参不等式axbxc>0的解集是R；其解答分a0(验证bxc>0是否恒成立)、a<0 a>0三种情况不等式的无解有解恒成立问题：a<f(x) 恒成立 a<f(x)mixa>f(x) 恒成立 a>f(x)max 另：二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为实根的正负问题：a0两个正根，则需满足，两个负根，则需满足，一正根和一负根，则需满足则：此外根的分布以a0为例根的情况只需条件根的情况只需条件三、简易逻辑1、知识点归纳 命题 可以判断真假的语句； 逻辑联结词 或、且、非； 简朴命题 不含逻辑联结词的命题； 复合命题 由简朴命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式 p或q、p且q、非p真假判断 p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真, 否则为假；非p，真假相反四种命题：原命题 若p则q；逆命题 若q则p；否命题 若p则q；逆否命题 若q则p；三种关系：互为逆命题，互为否命题，互为逆否关系命题，互为逆否的两个命题是等价的 反证法环节 假设结论不成立推出矛盾假设不成立矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。反证法合用与待证命题：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，合用与待证命题的结论涉及“不也许”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。充要条件 条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充足条件，结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件， 规定： 1当判断一个命题的真假有困难时，可转化为其等价命题（如逆否命题）来判断真假2判断复合的真假关键是对“或”的对的理解正面词语等于大于小于否认不等于小于或等于大于或等于正面词语是都是且否认不是不都是或注意：“非P”和“P的否命题”是不同的，“非P”只否认命题的结论，“P的否命题”则是分别否认命题的条件和结论；如P：两直线平行内错角相等，“非P”：两直线平行内错角不相等，“P的否命题”：两直线不平行内错角不相等。3对于一个给定的命题：（1）若原命题对的，而逆命题不对的，则原命题的条件是结论的充足不必要条件；（2）若原命题不对的，而逆命题对的，则原命题的条件是结论的必要不充足条件（3）若原命题对的，而逆命题对的，则原命题的条件是结论的充要条件，此时原命题的结论也是条件的充要条件（4）若原命题不对的，而逆命题不对的，则原命题的条件是结论的既不充足又不必要条件证明p是q的充要条件：充足性，把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q 必要性，把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p证明命题的充要关系有三种方法：定义法等价命题法运用集合间的包含关系若AB，则A是B的充足条件或B是A的必要条件，若 A=B则A是B的充要条件四、函数1、函数的概念重要知识：相应、映射、象和原象、函数的定义；函数的三要素及表达法重要方法：对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是解决函数问题的关键；理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系二、函数的解析式及定义域（一）重要知识：1函数解析式的求解；2函数定义域的求解（二）重要方法：1求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外尚有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用函数性质如单调性、奇偶性、周期性等（6）赋值法（7）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等2求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式故意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式故意义外，还应考虑使实际问题故意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：掌握基本初等函数（特别是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出三、函数的值域（一）重要知识：1函数的值域的定义；2拟定函数的值域的原则；3求函数的值域的方法（二）重要方法： 求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，转化为二次函数，运用二次函数的特性来求值；常转化为型如：的形式；判别式法，分子分母形如二次三项式且自变量的取值为R换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，形如的用三角换元有界法：如转化为只含、等，运用函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，运用均值不等式公式来求值域；分离常数法 单调性、奇偶性法：函数为单调性、奇偶性函数，可根据函数的单调性、奇偶性求值域。数形结合：根据函数的几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；运用数型结合的方法来求值域导数法；函数的最值 （一）重要知识：1函数最值的意义； 2求函数最值的常用方法：（1）配方法：重要合用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：重要合用于可化为关于的二次方程的函数在由及二次项系数不为零，求出的值后，要检查这个最值在定义域内是否有相应的的值；（3）不等式法：运用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法有代数换元和三角换元：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）运用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值（7）有界法（8）分离常数法（9）导数（二）重要方法：1函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异； 2无论用什么方法求最值，都要考察“等号”是否成立，不等式法及判别式法特别如此五、函数的奇偶性 （一）重要知识： 1函数的奇偶性的定义； 2性质：奇偶函数定义域关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；为偶函数若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0函数是奇函数又是偶函数=0设f(x)，g(x)的定义域分别是D1D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶 偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（二）重要方法：1定义法：判断函数的奇偶性，一方面要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：， 2图象法牢记奇偶函数的图象特性，有助于判断函数的奇偶性；3性质法六、函数的单调性 （一）重要知识： 1函数单调性的定义； 2判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间； 3复合函数单调性的判断（二）重要方法：1讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2判断函数的单调性的方法有：（1）用定义（作差（商），变形，判断，下结论；（2）用已知函数（涉及复合函数）的单调性；（3）运用函数的导数若在某个区间A内有导数，则假如，则f(x)在A内为增函数；假如，则在A内为减函数.（4）图象3求单调区间方法：定义法图象法导数法 环节：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f(x)>0以及f(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。4复合函数y=fg(x)在公共定义域上的单调性（同性则增，异性则减）：若f与g的单调性相同，则y=fg(x)为增函数；若f与g的单调性相反，则y=fg(x)为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集注意：单调区间的端点问题。5一些结论： 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数f(x)+增函数g(x) 和的结果是增函数；减函数(x)+减函数g(x) 和的结果是减函数；增函数(x)-减函数g(x) 和的结果是增函数；减函数(x)-增函数g(x) 和的结果是减函数 函数在上单调递增；在上是单调递减时与具有相同的单调性解抽象不等式依据 如： ，若在（a,b）上为增函数，则有七、函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，碰到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期；函数周期的鉴定：定义法（试值） 图像法 公式法（运用（2）中结论）与周期有关的结论：f(x+a)= 则T=2a f(x+a)=­f(x) 则T=2af(x+a)= 则T=2a f(x+a)=f(x+b) 则T=a-bf(x+a)=则T=2a f(x+a)= 则T=4a八、函数的图象的对称性:函数图象的对称性 函数图象的对称性分为两大类型来考虑。 一、函数f(x)的图象自身的对称关系。 、若函数y=f(x)的图象自身关于直线y=x对称，则f(x)=f-1(x)；反之亦然。 、函数的图象关于直对称.、若函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x)，则该函数的图象关于原点对称；反之亦然。（也就是说该函数为奇函数）。 、若函数y=f(x)满足f(-x)=f(x)，则该函数的图象关于轴对称；反之亦然。（也就是说该函数为偶函数）。 、若函数y=f(x)满足f(x)=-f-1(-x)，则该函数图象关于直线y=-x对称，反之亦然。6、函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称7、函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称二、两个函数图象的对称关系。对称变换、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；反之亦然。 、函数yf(x)和y=f(2a-x)图象关于直线x=a对称；反之亦然。 、函数y=f(x)和y=-f(-x)的图象关于原点对称；反之亦然。 、函数y=f(x)和y=f(-x)的图象关于轴对称；反之亦然。 、函数y=f(x)满足y=-f-1(-x)的图象关于直线y=-x对称，反之亦然。平移变换水平平移：y=f(x+a)的图象，将f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可.竖直平移：y=f(x)+b的图象，将f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移b个单位即可. “翻折”变换y=f(x)y=f|x|,把轴上方的图象保存，轴下方的图象关于轴对称y=f(x)y=|f(x)|把轴右边的图象保存，然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数） (3) 伸缩变换y=f(ax)(a0)的图象，可将y=f(x)的图象上每点的横坐标伸长(0a1)、缩短(a1)到本来的 而得到；y=Af(x)(A0)的图象，可将f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(A1)、缩短(0A1)到本来的A倍而得到.关于函数： c0的问题： 定义域： x；值域： y 中心（ 对称轴：x y （渐近线） 单调性 用分离常数后考察的图象关于直线y=x对称则定义域=值域且a+d=0八、1根式的运算性质：当n为任意正整数时，()=a当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=2分数指数幂的运算性质： （，且）.（，且）. 九、幂函数指数函数与对数函数幂函数： （ ；的图象和性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.（5）在 R上是增函数（5）在R上是减函数对数函数（一）重要知识：1对数函数的概念、图象和性质； 2同底的指数函数与对数函数互为反函数；（二）重要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；.3比较几个数的大小的常用方法有：以和为桥梁；运用函数的单调性；作差，对数恒等式4对数的运算法则假如有5对数换底公式：( a > 0 ,a ¹ 1 ，m > 0 ,m ¹ 1,N>0) 6两个常用的推论:， （ a, b > 0且均不为1）7注意：取对数法的应用十函数零点的求法：直接法（求的根）；图象法；二分法.(4)零点定理：若y=f(x)在a,b上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。十一导数 导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是常见函数的导数公式: ； 。导数的四则运算法则：导数的应用： 运用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？ 运用导数判断函数单调性： 是增函数； 为减函数； 为常数； 运用导数求极值：求导数；求方程的根；列表得极值。运用导数求最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（假如有）；得最值。瞬时速度.