2023年电大离散数学作业答案集合论部分.doc
姓 名： 学 号： 得 分： 教师署名： 离散数学作业3离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容重要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检查学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完毕集合论部分的综合练习作业。规定：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，笔迹工整，解答题要有解答过程，规定2023年11月7日前完毕并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完毕并上交任课教师。一、填空题 1设集合，则P(A)-P(B )= 1,2,2,3,1,3,1,2,3 ，A´ B= <1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2> 2设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 3设集合A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 <2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>4设集合A=1, 2, 3, 4 ，B=6, 8, 12， A到B的二元关系R那么R1 <6,3>,<8,4> 5设集合A=a, b, c, d，A上的二元关系R=<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>，则R具有的性质是反自反性6设集合A=a, b, c, d，A上的二元关系R=<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>，若在R中再增长两个元素<c, b>, <d, c>，则新得到的关系就具有对称性7假如R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1-R2中自反关系有 2 个8设A=1, 2上的二元关系为R=<x, y>|xÎA，yÎA, x+y =10，则R的自反闭包为 <1,1>,<2,2> 9设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素10设集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的双射函数是 <1,a>,<2,b>或<1,b>,<2,a> 二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1若集合A = 1，2，3上的二元关系R=<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>，则(1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系 解：(1) 结论不成立 由于关系R要成为自反的，其中缺少元素<3, 3> (2) 结论不成立 由于关系R中缺少元素<2, 1> 2假如R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1R2、R1R2是自反的” 是否成立？并说明理由 解：结论成立 由于R1和R2是A上的自反关系，即IAÍR1，IAÍR2 由逆关系定义和IAÍR1，得IAÍ R1-1； 由IAÍR1，IAÍR2，得IAÍ R1R2，IAÍ R1ÇR2所以，R1-1、R1R2、R1ÇR2是自反的ooooabcd图一ooogefho3若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在 错误，按照定义，图中不存在最大元和最小元。 4设集合A=1, 2, 3, 4，B=2, 4, 6, 8，判断下列关系f是否构成函数f：，并说明理由(1) f=<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>； (2)f=<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>；(3) f=<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,> (1) 不构成函数，由于它的定义域Dom(f)A(2) 也不构成函数，由于它的定义域Dom(f)A(3) 构成函数，一方面它的定义域Dom(f) =1, 2, 3, 4= A，另一方面对于A中的每一个元素a，在B中都有一个唯一的元素b，使<a,b>Îf三、计算题1设，求：(1) (AÇB)ÈC； (2) (AÈB)- (BÇA) (3) P(A)P(C)； (4) AÅB解：(1) (AÇB)ÈC=1È1,3,5=1,3,5(2) (AÈB)- (BÇA)=1,2,4,5-1=2,4,5(3) P(A) =,1,4,1,4P(C)= ,2,4,2,4P(A)P(C)=1,1,4(4) AÅB= (AÈB)- (BÇA)= 2,4,52设A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，试计算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）A×B解：（1）（A-B）=1,2（2）（AB）=1,2(3) A×B <1,1>,<1,2>,<1,1,2 >,<2,1>,<2,2>,<2,1,2 >,<1,1>,<1,2>,<1,1,2 >,<2,1>,<2,2>,<2,1,2 >3设A=1，2，3，4，5，R=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£4，S=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0，试求R，S，R·S，S·R，R-1，S-1，r(S)，s(R) 解： R=<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>S=R·S=S·R=R-1=<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>S-1=r(S)= <1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>s(R)= <1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1> 4设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6(1) 写出关系R的表达式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元 解：(1) R=<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>12346578关系R的哈斯图(2) (3) 集合B没有最大元，最小元是2四、证明题 1试证明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)证：设，若xAÈ (BÇC)，则xA或xBÇC，即 xA或xB 且 xA或xC即xAÈB 且 xAÈC ，即 xT=(AÈB) Ç (AÈC)，所以AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC) 反之，若x(AÈB) Ç (AÈC)，则xAÈB 且 xAÈC， 即xA或xB 且 xA或xC，即xA或xBÇC，即xAÈ (BÇC)，所以(AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC) 因此AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)2试证明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC)证明：设S=A(BC)，T=(AB)(AC)， 若xS，则xA且xBC，即 xA且xB 或 xA且xC， 也即xAB 或 xAC ，即 xT，所以SÍT 反之，若xT，则xAB 或 xAC， 即xA且xB 或 xA且xC 也即xA且xBC，即xS，所以TÍS 因此T=S 3对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C 证明：设xÎA，yÎB，则<x，y>ÎA´B， 由于A´B = A´C，故<x，y>Î A´C，则有yÎC， 所以B Í C 设xÎA，zÎC，则<x，z>Î A´C， 由于A´B = A´C，故<x，z>ÎA´B，则有zÎB，所以CÍB 故得A=B 4试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则RS也是集合A上的自反关系R1和R2是自反的，"x ÎA，<x, x> Î R1，<x, x> ÎR2，则<x, x> Î R1R2， 所以R1R2是自反的
