2023年实变函数试题库参考答案.doc

实变函数试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A、全体自然数 B、0,1 之间的实数全体 C、0, 1上的实函数全体 D、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体实数 B、全体整数 C、全体小个子 D、x：x>1 3、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体实数 B、全体整数 C、x：x>1 D、全体胖子4、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体实数 B、全体整数 C、x：x>1 D、全体瘦子5、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体小孩子 B、全体整数 C、x：x>1 D、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体实数 B、全体大人 C、x：x>1 D、全体整数 7、设, I 为全体实数, 则= ( ) A、(-1, 1) B、(-1, 0) C、(-, +) D、(1, +)8、设, , 则= ( ) A、(-1, 1) B、(-1, 0) C、0, 1 D、-1, 19、设, , 则= ( ) A、(0, 1) B、0, 1 C、0, 1 D、(0, +)10、设, , 则= ( ) A、1, 2 B、(1, 2) C、 (0, 3) D、(1, 2)11、设, , 则= ( ) A、(-1, 1) B、0, 1 C、 D、012、设, , 则= ( ) A、(-1, 1) B、0, 1 C、 D、013、设, , ,则( ) A、0, 2 B、0, 2 C、0, 1 D、0, 114、设, , , 则( ) A、0, 2 B、0, 2 C、0, 1 D、0, 115、设, , 则( ) A、 B、0, n C、R D、(0, )16、设, , 则( ) A、(0, 1) B、(0, ) C、0 D、17、设, , , 则( ) A、 B、(0, ) C、(0, n) D、(0, )18、设, , , 则 ( ) A、 B、(0, ) C、(0, n) D、(0, )19、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(A-B)= ( ) A、B B、A C、AB D、AB20、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(BC)= ( ) A、(A-B)(A-C) B、(A-B)(A-C) C、AB D、AC21、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(BC)= ( ) A、(A-B)(A-C) B、(A-B)(A-C) C、AB D、AC22、设A 、B 、S是三个集合, 且, , 则= ( ) A、 B、 C、 D、23、设A 、B 、S是三个集合, 且, , 则= ( ) A、 B、 C、 D、24、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(B-C) = ( ) A、 AC-B B、 A-B-C C、 (A-B)(AC) D、 C-(B-A)25、集合E的全体内点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包26、集合E的全体聚点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包27、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包28、E-E所成的集合是 ( ) A、开核 B、边界 C、外点 D、E的全体孤立点29、E的全体边界点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包30、设点P是集合E的边界点, 则 ( ) A、P是E的聚点 B、P是E的孤立点 C、P是E的内点 D、P是的边界点31、设, 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(, 1) C、0, 1 D、(0, 2)32、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(0, 2) C、(-1, ) D、(-1, 2)33、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(3, 4) C、(0, 4) D、 (1, 4)34、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(0, 3) C、(0, 4) D、(1, 4)35、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(0, 2) C、(1, 2) D、(1, 4)36、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(, ) B、(1, 2) C、(0, 1) D、(-1, 0)37、若 ，则下列命题错误的是： ( ) A、 B、AB C、 D、38、若, 则下列命题对的的是：（） A、 B、 AB=C C、 D、A的孤立点B的孤立点=C的孤立点39、若, 则下列命题错误的是：（） A、 B、 C AB C、 D、A的孤立点B的孤立点=C的孤立点40、设 是A的余集，则下列命题对的的是：（） A、 B、 C、C(A)（CA）D、41、设AB=C, 则下列命题对的的是：（） A、 B、 C、ABC D、A的孤立点B的孤立点=C的孤立点42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（） A、是闭集B、A是闭集 C、是闭集 D、 是闭集43、若A 是闭集，B是开集，则AB是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断44、若A 是开集，B是闭集，则AB是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断45、若是一开集列，则是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断46、若是一开集列，则是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断47、若是一闭集列，则是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断48、若是一闭集列，则是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断 49、若，则（ ）A、0 B、1 C、2 D、3 50、下述结论（ ）对的.A、 B、 C、 D、 51、下列说法对的的是（ ）A、在（0，1）有限 B、在无界C、，在0，1有限 D、，在0，1有界 52、函数列在0，1上（ ）于0.A、a，e一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、基本上一致收敛 53、设E是0，1中的不可测集， 则下列函数在0，1上可测的是（ ）. A、 B、 C、 D、 54、若可测，则它必是（ ）.A、连续函数 B、单调函数 C、简朴函数 D、简朴函数列的极限55、若，则（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 56、下列说法不对的的是（ ） A、E的测度有限，则E必有界 B、E的测度无限，则E必无界 C、有界点集的测度有限 D、的测度无限 57、（4-4-2-1）下述论断对的的是（ ） A、在无界 B、在有限 C、在有界 D、在有限 58、函数列在0, 2上（ ）于0. A、收敛 B、一致收敛 C、基本上一致收敛 D、a.e.一致收敛 59、设其中E是0,1的不可测集，则下列函数在0, 1可测的是（ ）. A、 B、 C、 D、 60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的. A、边界点 B、内点 C、聚点 D、孤立点.61、是康托尔（cantor）集，则（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 62、设A是B的真子集，则（ ） A、 B、 C、 D、 63、下列说法对的的是（ ） A、在无界 B、在有限 C、在有界 D、在有限 64、函数列在上（ ）于0. A、收敛 B、一致收敛、 C、基本上一致收敛 D、a. e.一致收敛 65、设E是0, 1上的不可测集，则下列函数在0, 1可测的是（ ）. A、 B、 C、 D、 66、设E为可测集，则下列结论中对的的是（ ） A、若在E上a, e收敛于一个a, e有限的可测函数，则一致收敛于 B、若在E上a, e收敛于一个a, e有限的可测函数，则基本上一致收敛于 C、若在E上a, e收敛于一个a, e有限的可测函数，则 D、若在E上基本上一致收敛于，则a, e收敛于67、G表达康托尔（cantor）集在0,1中的余集，则mG=（ ） A、0 B、1 C、2 D、368、设都可测，则（ ） A、可测 B、不可测 C、也许可测也也许不可测 D、以上都不对 69、下列说法对的的是（ ） A、在上无界 B、在上有限 C、在上有限 D、在上有界 70、函数列在上（ ）于0 A、收敛 B、一致收敛 C、基本上一致收敛 D、a. e.一致收敛 71、设，其中E是0, 1上的不可测集，则（ ）在0, 1可测. A、 B、 C、 D、 72、关于连续函数与可测函数，下列论述中对的的是（ ） A、它们是同一概念 B、a, e有限的可测函数是连续函数 C、a, e有限的可测函数是基本上连续的函数 D、a, e有限的可测函数是a, e连续的函数73、( ) A、1、 B、2 C、3 D、4 74、A可测，B是A的真子集，则（ ） A、 B、 C、 D、以上都不对 75、下列说法对的的是（ ） A、在(0, 1)有限、 B、在无界 C、在0, 1有限 D、在0, 1有界 76、函数列在上（ ）于0. A、收敛 B、基本上一致收敛 C、一致收敛 D、a. e.一致收敛 77、设其中E是0, 1上的不可测集，则（ ）在0, 1上是可测的. A、 B、 C、 D、 78、关于简朴函数与可测函数下述结论不对的的是（ ） A、简朴函数一定是可测函数 B、简朴函数列的极限是可测函数 C、简朴函数与可测函数是同一概念 D、简朴函数列的极限与可测函数是同一概念79、（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 80、L可测集类，对运算（ ）不封闭. A、可数和 B、有限交 C、单调集列的极限 D、任意和. 81、下列说法对的的是（ ） A、在无界 B、在有限 C、在0, 1有限 D、在0, 1有界 82、函数列在上（ ）于0. A、基本一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、a. e.一致收敛 83、设E是中的不可测集， 则下列函数在上可测的是（ ）. A、 B、 C、 D、 84、关于依测度收敛，下列说法中不对的的是（ ） A、依测度收敛不一定一致收敛B、依测度收敛不一定收敛 C、若在E上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数，则 D、若，则存在子列a. e.收敛于85、设是可测集上的非负可测函数，则（ ）A、必可积 B、必几乎处处有限 C、必积分拟定 D、不一定积分拟定86、设在可测集上可积，则在上（ ）A、与只有一个可积 B、与皆可积C、与不一定可积 D、与至少有一个不可积87、设（），是上的实函数，则下面叙述对的的是（ ）A、在上不一定可测 B、在上可测但不一定可积C、在上可积且积分值为0 D、在上不可积88、在可测集上可积的必要条件是，为（ ）A、连续函数 B、几乎处处连续函数 C、单调函数 D、几乎处处有限的可测函数89、设为狄立克雷函数，则（ ）A、 0 B、 1 C、1/2 D、不存在90、设为Cantor集的特性函数，则（ ）A、 0 B、 1/3 C 、2/3 D、 1填空题1、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若=n, 则= 2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若A是一可数集, 则= 3、若, , 则 4、若, B是一可数集, 则 5、若, , 则 6、若是一集合列, 且, 7、若是任意集族, 其中I是指标集, 则= 8、若是任意集族, 其中I是指标集, 则= 9、若是任意集族, 其中I是指标集, S是一集合, 则= 10、若是任意集族, 其中I是指标集, S是一集合, 则= 11、若是任意一个集合列, 则 12、若是任意一个集合列, 则 13、欧氏空间中, 任意两点, 的距离d(x, y)= 14、Ca, b空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、空间中, 任意两元素 , 的距离 d(x, y)= 16、欧氏空间中, 任意两点, 的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间中, 任意两点, 的距离d(x, y)= 18、欧氏空间中, 任意两点, 的距离d(x,y)= 19、设,则= 20、设, , 则= 21、设,则= 22、设,则= 23、设, , 则 = 24、设, , 则= 25、设A= 0, 1 , B = 3, 4 , 则 d(A, B) = 26、设C是康托完备集, G= 0, 1C , 则d (C, G) = 27、设C是康托完备集, 则C的半径= 28、两个非空集合A, B距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A的直径的定义为= 30、设A = 0, 1 Q, 则= 31、，对每一列覆盖E的开区间，定义_。 32、设是一列递增的可测集合，则_。 33、设是定义在可测集上的实函数，若，有_，则称在E上可测。 34、的定义为_。35、设A=“开集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集类”，D=“型集类”。那么A，B，C，D的关系是_。36、I是区间，则mI=_ 37、a, b上的连续函数及单调函数都是_。 38、叶果洛夫定理反映了_与_的关系。39、设，E有界，I为任一包含E的开区间，则_ 40、称为测度的_ 41、可测集上的连续函数都是_。 42、可测函数列的极限是_。43、若，则，这称为外测度的_。 44、若集合G能表达成_则称G为集。 45、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的_。 46、几乎处处是与_有关的概念。47、设，若对都有_则称E是L可测的。48、若集合F能表达成_则称F为集。 49、E上的简朴函数，指的是对E进行有限不变可测分解后，每一个可测子集上都取_的函数。 50、鲁金定理反映了_与_的关系。51、设是一列递减可测集合，且， ，则_。 52、L可测集和波雷尔集相差一个_。 53、两个可测函数的四则运算（假定它们都故意义）结果_。 54、函数列在不一致收敛于1，且不_收敛于1。55、设在可测集上可积，则（ ）56、（叙述积分的绝对连续性）设在上可积，则对任何可测集，有（ ）57、设为Cantor集，则（ ）58、设为Cantor集，则（ ）59、设为有理数集，则（ ）60、设为自然数集，则（ ）简答题1、构造自然数全体到偶数全体的一一映射.2、构造(0, 1)到R的一一映射.3、构造(0, 1)到 0, 的一一映射.4、构造能被3整数整除的正整数到正整数全体的一一映射.5、构造(0,1)到(0, 1)(2, 3) 的一一映射.6、构造奇数全体到偶数全体的一一映射.7、（请说明：在上的函数列，不测度收敛于8、请叙述L测度的可列可加性。9、若在可测集E上可测，则，在E上也可测。10、请指出L可测集和集的关系。11、用可测函数的定义说明狄里克雷函数在0, 1可测。12、从基数的角度请举出三种零测集的例子。计算题1、设 ，计算。 2、设 ，计算 。3、设，计算 。 4、设为Cantor集， ，计算 。 5、设为Cantor集， ，计算。6、设为Cantor集， ，计算。7、求。8、求。9、求。10、求。11、求。12、求。判断题1、0, 1 = 1, 0 ( ) 理由： 2、任意两个集合A 、B, 都有, 或 ( ) 理由： 3、任意集合都有子集 。 （ ） 理由： 4、 （ ） 理由： 5、= ( ) 理由： 6、=0 ( ) 理由：7、若一个点不是E的聚点, 则必然也不是  E的内点. ( ) 理由：8、E的外点全体和E的余集是相同的. ( ) 理由：9、E的内点必然属于E. ( ) 理由：10、E的孤立点必然属于E ( ) 理由：11、E的边界点一定不属于E ( ) 理由：12、E的聚点必然属于E ( ) 理由：13、若可测，则E和F都可测。（ ） 理由： 14、若，a.e.于E，在可测集E上可测，则也在E上可测（ ）。 理由：15、两个集合的基数相等，则它们的外测度相等。（ ） 理由： 16、若在可测集E上可测，则也可测。（ ） 理由：17、若，且， a, e于E（ ） 理由：18、设都可测，则也可测，且。（ ） 理由：19、若在可测集E上可测，则在E的任意可测子集上也可测（ ）。 理由：20、无限集的外测度一定不为零。（ ）理由： 21、若在可测集E上可测，则在E的任意子集上可测（ ）理由：22、若可测集A是可测集B的子集，且，则（ ） 理由： 23、若都可测，则f在可测集E上也可测（ ）理由：24、若E可测，A可测，且 ，则。（ ） 理由：证明题1、任意无穷集合包含一可数子集.2、若A是一个可数集合, B 是一个有限集合, 则是可数集.3、若A和B都是可数集合,则是可数集.4、有理数全体成一可数集。5、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。6、空间中, 是一个可数集合. 7、证明：集合E可测的充要条件是对于任意，总有 8、设是上a.e.有限的可测函数，则对于任何及，存在连续函数，使9、证明：对，E可测的充要条件是可测。 10、设函数列在E上依测度收敛于，且，a.e.于E，n=1, 2, ，则在E上a.e.成立。11、证明：可数点集的外测度为零。 12、（设函数列在有界集E上基本上一致收敛于，证明在E上a. e.收敛于13、设是n个互不相交的可测集合，。证明： 14、证明：若，则在E上a. e.成立。15、若，则E可测。 16、设，试证。17、设A可测，B为任意集合，证明： 18、设，证明：19、设是上的可积函数，则20、设，是上的有界可积函数，则对任何可测集，有21、设由中取出个可测子集，假定中任一点至少属于这个集中的个，试证必有一集，它的测度大于或等于。22、试从，求证：。23、设为上的可积函数列， a.e. 于，且，为常数，则可积。24、设在上可积，且，则 a.e. 于。实变函数试题题库参考答案一、选择题1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、x:对于任意的,有；8、x:存在,使得；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、；19、；20、；21、； 22、；23、； 24、； 25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可测；34、有；35、；36、；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、（开）；45、推广；46、测度；47、；48、，（闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( ) 理由: 集合具有无序性 2、( × ) 理由: 举一反例, 比如: 取A=1, B=2 3、（ ） 理由: 空集是任意集合的子集. 4、（ × ） 理由:符号表达集合间的关系,不能表达元素和集合的关系. 5、( × ) 理由:表达没有任何元素的集合,而表达单元素集合,这个元素是6、( × ) 理由: 表达没有任何元素的集合,而0表达单元素集合,这个元素是0 7、( ) 理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点 8、( × ) 理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( ) 理由: 有内点的定义可得. 10、( ) 理由: 有内点的定义可得. 11、( × ) 理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E. 12、( × ) 理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E 13、（×）理由: 因有若，E不可测，而可测 14、（）理由: 因 两可测集的并可测。15、（×） 理由: 因 ，但 16、（）理由: 因 分17、（×） 理由: 反例：， 把是按n后按j的顺序形成的函数列 18、（×） 理由: 因的测度也许无限 19、（） 理由: 因若（可测），则 20、（×） 理由: 反例：自然数集外测度为零。21、（×） 理由: 若是E的不可测集就不行。22、（×） 理由: 反例：， 23、（） 理由: 因，存在单调下降趋于c的有理数列， 则有 ，故可测。24、（） 理由: 因 四、简答题1、答: 令f(2n) = 2n f(2n1)2（n） 其中n=1, 2, 下面验证f是自然数全体到偶数全体的一一映射.（1） 设m自然数全体, n自然数全体且f(m) =f(n)若f(m) =f(n)>0, 则m、n为偶数，f(m) =f(n)=m=n若f(m) =f(n) 0, 则m、n为奇数，f(m) =f(n)=1m=1n即m=n, 故而f 是单射。（2） 对于任意的m偶数全体若m=0, 则有f(1)=0 ;若m>0, 则有f(m)=m;若m<0, 则有f(1m)=m故而f是满射。有（1）（2）得f是一一映射。2、答：令f(x)=tg(x)， 下证f(x)是(0, 1)到R的一一映射. 由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单增连续函数，且f(0, 1) =R 所以f(x)是(0, 1)到R的一一映射. 3、答：令f(x)=tg(x)， 下证f(x)是(0, 1)到0, 的一一映射.由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单减连续函数，且f(0, 1) = 0, 所以f(x)是(0, 1)到0, 的一一映射. 4、答：令f(3n)= n n = 1, 2, 下证f是能被3整数整除的正整数到正整数全体的一一映射(1) 对于任意的 3m, 3n能被3整数整除的正整数若f(3m)=f(3n) 则有m=n, 所以f是单射 (2) 对于任意的n正整数全体 显然有3n能被3整数整除的正整数 且f(3n)=n 即f是满射由（1）（2）得f是能被3整数整除的正整数到正整数全体的一一映射.5、答: 令f(x)= 2x 当x(0, ) ; f(x)=2x+1 当x(, 1). 由 f(x) 的单调性, 易知f(x)是(0,1) 到(0, 1)(2, 3) 的一一映射.6、答: 令f(x)=x+1, 显然，f(x)是奇数全体到偶数全体的一一映射. 7、答：因对。有 这样，故。8、答：，可测 9、答：因1° 分 2°时 3°时 故cf在E上可测。 10、答：设E是L可测的，F是集，则存在零测集N，使 E = F + N 11、答：因 而0, 1，均可测，故可测。12、答：有限集，可列集，康脱尔集。分五、计算题 1、解：由于有理数集的测度为0， 故在上几乎处处有 这样运用积分的性质得：=。 2、解：由于有理数集的测度为0， 故在上几乎处处有 这样运用积分的性质得：=。 3、解：由于有理数集的测度为0， 故在上几乎处处有 。 这样运用积分的性质得：=。 4、解：由于， 故在上几乎处处有 这样运用积分的性质得：=。 5、解：由于 ， 故在上几乎处处有这样运用积分的性质得：=。 6、解：由于，故在上几乎处处有 。这样运用积分的性质得：=。 7、解：令，则。而。 故由Lebesgue控制收敛定理得： 。 8、解：令，则。 而，且函数在上可积。 故由Lebesgue控制收敛定理得：。 9、解：令，则。而。 故由Lebesgue控制收敛定理得：。 10、解：令，则。 而，且函数在上可积。 故由Lebesgue控制收敛定理得：。 11、解：令，则。而。 故由Lebesgue控制收敛定理得：。 12、解：令，则。 而。 故由Lebesg