2022年高中数学数列求和方法.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 数列求和1公式法 ：必需记住几个常见数列前n 项和；3n2, 的前 n 项和等差数列：S nn a 12anna 1n n1d2na 1q11；等比数列：S na 11qnq1q7, ,a12分组求和 ：如：求1+1,14,1aa2n1可进行分组即：111111473 n2aa2a3an1前面是等比数列,后面是等差数列,分别求和 3 n 1 n a 1注：Sn 2 3 n 1 na 123 裂 项 法 ： 如 a n 1, 求 Sn, 常 用 的 裂 项 1 1 1,n n 2 n n 1 n n 11 1 1 1；1 1 1 1 n n 2 2 n n 2 n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 2 4错位相减法：其特点是 cn=anbn其中 an是等差, bn是等比 如：求和 Sn=1+3x+5x 2+7x 3+ +2n1x n1 留意争论 x,2n x 1S n 2 n 1 x n 1 2 n 1 x n1 x 2 x 11 x 5倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的；如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+2n1 Cnn=n+12 n.名题归类例释错位相减法：1 / 6名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1求数例 1,3a,5a2,7a 3, 2n 1an-1, a 1 的前 n 项和解：因 Sn=13a5a27a3 2n 1an-1 , 1 1 × a 得aSn=a3a25a3 2n 3an-12n 1an, 2两式相减得 1 aSn=12a 2a 22a 3 2an-12n 1an =21 aa 2a 3 an-1 2n 1an-1 =21（1an2n1 an11a所以 :S n2 1an2 n11 an1 1a 2a裂项求和法：例 2求和：111113111211n,n* N222343解：ak1211k1k21 ,1212 nkSn2112132n n1 21111223nn1n1n1分部求和法：2 / 6名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3已知等差数列an的首项为1,前 10 项的和为145,求a2a4a2 n.解：第一由S 1010a11029d145d3n 3 212 n62就a na 1n1 d3 na 2 nn 3 222 n3n 21 2 1 2a 2a 4a 2 n2 32 2n 2 2 n倒序相加法：例 4 设数列1ana是公差为 d ,且首项为na 0Cd的等差数列, 求和：Sn1a0C0a1 C1anCnnnn1解：由于S n0C0 na 1C1 naCn n102S nanCnan1 Cn1a0nnn1+2得2S n1a 0a na C0 na 1a n1C1 naanana CnnS n1a 0a nC0 nC1 nCn n02na0 2n1常规题型：例 1已知数列an中,S 是其前 n 项和,并且S n14an2n1,2,a 11,设数列bnan12ann,12 ,求证：数列b n是等比数列；设数列cnan, n,1 ,2,求证：数列cn是等差数列；2n解：1由 Sn1=4an2,Sn2=4an1+2,两式相减,得Sn2-Sn1=4an1-a n ,即 an2=4an1-4a n2an2-2an1=2an1-2a n ,又 b n =an1-2a n,所以 bn1=2b n已知 S 2 =4a 1+2,a 1=1,a1 +a 2 =4a 1+2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3由 和 得,数列 b n 是首项为3,公比为 2 的等比数列,故b n =3·n13 / 6名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2设二次方程a x2 -an+1x+1=0nN有两根 和 ,且满意6 -2 +6 =31试用a 表示 an1；13 an2 ,an11an16an123 ,6ananan232an12a 11a na11a n2 32an1n2an1nN*3 23232an23例 3数列an中,842且满意an2a1求数列an的通项公式；n为等差数列,设公差为|d ,设Sn|a1|a2|an|,求S ；解： 1由题意,an2an1a n1an,a由题意得283 dd2,a n82 n1 102n. 2假设102n0 就n5,n5 时,S n|a1|a2|an4 / 6名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - na 16a 2Snan82102n5n69 n7n2,an2时,a 1aaaa故Sn9 nS 5SnS 552S 5S nn29n402 nn40n6n29 n.连线高考填空题：1、湖南卷 假设数列an满意：a 1,1an12 an.n1,2,3 . 就a 1a2an1. .解：数列an满意：a 11,a n12a n,n1,2,3,该数列为公比为2 的等比数列,a 1a2an2n12n1. 212、山东卷 设S 为等差数列an的前 n 项和,S 14,S10S 30,就 S954解： 设等差数列an的首项为 a1,公差为d,由题意得4a 1441 d14,210 a 110 101d 7 a 17 71 d30,联立解得a1=2,d=1,所以 S9929 912223、浙江卷 设S 为等差数列an的前 n 项和,假设S 510 ,S 105,就公差为用数字作答；解析 ：设首项为a ,公差为 d ,由题得,即 a n35 a 110 d105a 12 d219 d4 d14d110 a 145 d2 a 19d4、重庆卷 在数列 an中,假设a1=1,an+1=2an+3 n1,就该数列的通项an=_. 解析 ：在数列a n中,假设a 11,a n12an3n1,an132an3n1n2. 是以a 134为首项,2 为公比的等比数列,an3n 4 212n1,所以该数列的通项an13解答题：5 / 6名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、北京卷 设等差数列 an的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn.假设 a11=0,S14=98,求数列 an的通项公式；假设 a1 6,a11 0,S14 77,求全部可能的数列an的通项公式. 解：由S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,故解得 d=2,a1=20. 因此, an的通项公式是an=222n,n=1,2,311 ,即2 a 113 d11 ,S 1477 ,2 a 113 d由a 11,0得a 110 d0 ,2 a 120 d,0a 16a 162 a 112由 +得 7d11；即 d11 ；7由 +得 13d 1,即 d1 13于是11d7113又 dZ,故 d=1 将代入得10a112. 又 a1Z,故 a1=11 或 a1=12. 所以,全部可能的数列an的通项公式是an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,6 / 6名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
