2022年高中数学选修不等式选讲.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载不等式选讲（高考试题汇编）一、学问点整合：1 含有肯定值的不等式的解法 1|fx|>aa>0. fx>a 或 fx< a；2|fx|<aa>0. a<fx<a. 3对形如 |xa|xb|c, |xa|xb|c 的不等式,可利用肯定值的几何意义求解2 含有肯定值的不等式的性质 |a| |b|a±b|a|b|. 3 柯西不等式 1设 a,b, c,d 均为实数,就 a 2b 2c 2d 2acbd 2,当且仅当 ad bc 时等号 成立n n n bn当某 bj0 时,认为 aj0, j 2如 ai,biiN *为实数,就 i1a 2 i i1b 2 i i1aibi 2,当且仅当 a1 b1a2 b2 an 1,2, , n时等号成立3柯西不等式的向量形式：设, 为平面上的两个向量,就| ·| |· |,当且仅当这两个向量共线时等号成立4 不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等二、典型题型题型一含肯定值的不等式的解法a 的范畴例 12022·课标全国 已知函数 fx|2x1|2xa|,gxx3. 1当 a 2 时,求不等式fx<gx的解集；2设 a>1,且当 x a 2,1 2时, fxgx,求 a 的取值范畴审题破题1可以通过分段争论去肯定值；2在 x a 2,1 2时去肯定值,利用函数最值求解1当 a 2 时,不等式fx<gx化为 |2x1| |2x2|x3<0. 设函数 y|2x1|2x 2| x3,5x,x<1 2,就 yx2,1 2x1,3x6,x>1,其图象如下列图,由图象可知,当且仅当 x|0<x<2 2a>1,就a 2<1 2, fx|2x1|2xa| x0,2时, y<0,所以原不等式的解集是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载当 x a 2,1 2时, fxa1,即 a 1x3 在 x a 2,1 2上恒成立 a1a 23,即 a4 3, a 的取值范畴为1,4 3 . 反思归纳 这类不等式的解法是高考的热点1用零点分段法解肯定值不等式的步骤： 求零点； 划区间、去肯定值；分别解去掉肯定值的不等式；取每个结果的并集,留意在分段时不要遗漏区间的端点值2用图象法,数形结合可以求解含有肯定值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法变式训练 1 已知函数 fx|x1|x2|m. 1当 m5 时,求 fx>0 的解集；2如关于 x 的不等式 fx2 的解集是 R,求 m 的取值范畴题型二 不等式的证明例 2 2022·福建 已知函数 fxm|x2|,mR,且 fx20 的解集为 1,11求 m 的值；2如 a,b, cR,且 1 a 1 2b 1 3cm,求证： a2b3c9. 审题破题 1从解不等式 fx20 动身,将解集和 1,1对比求 m；2利用柯西不等式证明1解 由于 fx2m|x|,fx20 等价于 |x|m. 由 |x|m 有解,得 m 0,且其解集为 x| mxm 又 fx20 的解集为 1,1,故 m 1. 2证明 由1 知1 a 1 2b 1 3c1,又 a, b,cR,由柯西不等式得a2b3ca2b3c a 1 2b 1 3ca·12b·13c·1 29. a 2b 3c反思归纳 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法,其中以比较法和综合法最为基础,使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式,证明过程留意从重要不等式的形式入手达到证明的目的变式训练 2 已知 fx|x1|x1|,不等式 fx<4 的解集为 M. 1求 M；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2当 a,b M 时,证明： 2|ab|<|4ab|. 题型三 不等式的综合应用例 3 2022·辽宁 已知 fx|ax1|aR,不等式 fx3 的解集为 x|2 x1 1求 a 的值；x2如 f x 2f 2 k 恒成立,求 k 的取值范畴审题破题 1|ax1|3 的解集为 2,1,对比即可； 2 可通过函数最值解决恒成立问题解 1由|ax 1| 3 得 4ax2. 又 fx 3 的解集为 x|2x1 ,所以当 a0 时,不合题意当 a>0 时,4 ax2 a,得 a 2. x2记 hxfx2f 2,1, x1,就 hx4x3, 1<x<1 2,1,x1 2,所以 |hx|1,因此 k1. 反思归纳 不等式 fagx恒成立时,要看是对哪一个变量恒成立,假如对于 . a R 恒成立,就 fa的最小值大于等于 gx,再解关于 x 的不等式求 x 的取值范畴； 假如对于 . xR 不等式恒成立, 就 gx的最大值小于等于 fa,再解关于 a 的不等式求 a 的取值范畴变式训练 3 已知函数 fxlog 2|x1|x5|a1当 a2 时,求函数 fx的最小值；2当函数 fx的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范畴变式训练 4 设 fx|x|2|xa|a>01当 a1 时,解不等式 fx8；2如 fx6 恒成立,求正实数 a 的取值范畴三、专题限时规范训练一、填空题1 不等式 |x3|x 2|3 的解集为 _2 设 x>0,y>0, Mxy,Nxy,就 M、N 的大小关系为 _2y2xy2x3 对于实数 x,y,如 |x 1|1,|y2|1,就 |x2y1|的最大值为 _4 如关于 x 的不等式 |a|x 1| |x2|存在实数解,就实数 二、解答题5 设不等式 |2x1|<1 的解集为 M. 1求集合 M ；2如 a,b M,试比较 ab1 与 ab 的大小a 的取值范畴是 _名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6 如不等式x优秀学习资料欢迎下载a 的取值范畴1 x >|a2|1 对于一切非零实数x 均成立,求实数7 2022 ·江苏 已知实数 x, y 满意： |xy|< 8 已知函数 fx|xa|. 3,|2xy|<1 6,求证： |y|< 5 18. 1如不等式 fx3 的解集为 x|1x 5 ,求实数 a 的值；2在1的条件下,如fxfx 5 m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范畴9 已知函数 fx|2x1|2x3|. 1求不等式 fx6 的解集；2如关于 x 的不等式 fx<|a1|的解集非空,求实数a 的取值范畴3. 10设 a, b,c 为正实数,求证：1 a 31 b 31 c 3 abc2一、填空题1（ 20XX 年 高 考 湖 北 卷 （ 理 ） 设x y zR , 且 满 足 :x2y2z 21,x2y3z14, 就xyz_. 二、解答题2 （20XX年一般高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）设a b c 均为正数 , 且abc1, 证明 : c21 . 2 b abbcca12 a; 3bca3 （20XX年一般高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（已知函数 fxxa , 其中a41. 4的解集 ; xI 当a=2时, 求不等式fx（纯 WORD版含答案）选修 45; 不等式选讲WORD版）选修 4-5: 不等式选讲II已知关于 x的不等式f2xa2fx2的解集为x|1x2, 求 a的值 . a aN*的解集4 （20XX 年一般高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）不等式选讲: 设不等式x2为 A , 且3 2A ,1 2A . 1 求 a 的值 ; 2 求函数 f x x a x 2 的最小值 .5 6（20XX 年高考湖南卷（理） ）在平面直角坐标系 xOy 中, 将从点 M动身沿纵、横方向到达点 N的任一路径成为 M到 N的一条“ L 路径”. 如图 6 所示的路径 MM M 2 M N 与路径 MN N 都是 M到 N的“ L 路径”. 某地有三个新建的居民区 , 分别位于平面 xOy 内三点 A 3,20, B 10,0, C 14,0 处. 现方案在 x 轴上方区域 包含 x轴 内的某一点 P 处修建一个文化中心 . 名师归纳总结 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载I 写出点 P 到居民区 A的“ L 路径” 长度最小值的表达式 不要求证明 ; II如以原点 O为圆心 , 半径为 1 的圆的内部是爱护区 , “ L路径” 不能进入爱护区, 请确定点 P 的位置 , 使其到三个居民区的“ L路径” 长度值和最小. 四,高考试题汇编1 2022 ·重庆 如关于实数x 的不等式 |x 5| |x3|<a 无解,就实数a 的取值范畴是 _2 2022 ·江西 在实数范畴内,不等式|x2|1| 1的解集为 _3 2022 ·陕西 已知 a,b,m,n 均为正数,且 ab1,mn 2,就 ambnbman的最小值为 _ 4（2022 江苏） .已知 a b >0,求证 : 2 a 3b 32 ab 2a 2b4 2022 ·山东 如不等式 |kx4| 2的解集为 x|1 x 3,就实数 k _. 5.（2022、江苏）已知实数x,y 满意：|xy|1,| 2xy|1,求证：|y|536186 2022 ·湖南 设 x,yR,且 xy 0,就 x2 1 y 2 ·1 x 24y 2 的最小值为 _1.2022 山东 不等式|x5|x3|10的解集为x1,就集合 AB =_. （A）-5.7 （B）-4,6 （C）, 57,（D）, 46,2.20XX 年高考天津卷理科13 AxR|x3x49 ,BxR x4 t1,t0,t已知集合3.对于实数 x, y,如x11,y21,就x2y1的最大值为. 9不等式x1x30的解集是 _. x2存在实数解, 就实数a的4.20XX 年高考广东卷理科15（不等式选做题） 如关于 x 的不等式a420XX 年高考陕西卷理科取值范畴是520XX 年高考辽宁卷理科24（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f（x）=|x-2|-|x-5|. （I）证明： -3f （x） 3；（II ）求不等式f（x） x2-8x+15 的解集 . 10 分） 选修 4-5 不等选讲第 5 页,共 7 页6. 20XX 年高考全国新课标卷理科24（本小题满分设函数fxxa3 x ,a0名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（1）当 a 1 时,求不等式 f x 3 x 2 的解集；2假如不等式 f x 0 的解集为 x x 1,求a的值；7.20XX 年高考江苏卷 21选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）解不等式：x | 2 x 1| 3820XX 年高考福建卷理科 21（本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲设不等式 2 x-1 的解集为 M （I）求集合 M ；（II ）如 a,bM ,试比较 ab+1 与 a+b 的大小9（20XX 年高考陕西卷理科15）不等式选做题不等式的解集为. 10（20XX 年高考福建卷理科 21）（本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数；（）如不等式 的解集为,求实数 的值；（）在（）的条件下,如 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范畴；12（20XX 年高考辽宁卷理科 24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 均为正数,证明：,并确定 为何值时,等号成立；2 1x x | a | | a | 013（2022 广东, 14）（不等式选讲选做题）已知 a R,如关于 x 的方程 4 有实根,就a 的取值范畴是；14（2007 广东, 14）（不等式选讲选做题）设函数 f x | 2 x 1 | x 3 , 就 f 2 = ；如 f x 5,就 x 的取值范畴是；4设函数 f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,就 a 的值为16（2007 海南、宁夏, 22C, 10 分）（选修 4 5：不等式选讲）设函数 f x | 2 x 1 | | x 4 .|（1）解不等式 f x 2；（2）求函数 y f x 的最小值；17（ 2022· 山东高考题）如不等式 | 3 x b | 4 的解集中的整数有且仅有 1、2、 3,就 b 的取值范畴为；18. （2022 广东 14不等式|x1|1的实数解为. |x2|19（2022 福建选考 21（3）解不等式2x-1 < x +1 第 6 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载20（2022 辽宁选作 24）设函数fx|x1|xa.|（I）如a,1解不等式fx 3；2 b3 c9；（II ）假如xR,fx2,求a的取值范畴；1.福建 23.（3）（本小题满分7 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数fxm|x2|,mR,且fx20的解集为1,1 （）求m的值；（）如a ,b ,cR,且111m,求证：a2b3 ca2.湖南 10.不等式 |2x+1|-2|x-1|>0 的解集为 _. 4 江西 15.（2）（不等式选做题）在实数范畴内,不等式|2x-1|+|2x+1| 6的解集为 _；5 辽宁 24. （本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲x-2x1已知fx=ax +1aR ,不等式fx3的解集为（1）求a的值（2）如fx-2fxk恒成立,求k的取值范畴第 7 页,共 7 页26 如存在实数x 使 |xa|x1|3成立,就实数a 的取值范畴是7 新课标（ 24）（本小题满分10 分）选修4 5 ：不等式选讲已知函数f x xax2（1）当a3时,求不等式f x 3的解集；（2）如f x x4的解集包含1,2,求a的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -