2022年高中数学三角函数知识点及例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 一、基础学问学习必备欢迎下载2022 高中数学竞赛标准讲义：三角函数定义 1 角,一条射线围着它的端点旋转得到的图形叫做角；如旋转方向为逆时针方向,就角为正角,如旋转方向为顺时针方向,就角为负角,如不旋转就为零角；角的大小是任意的；定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度； 360 度=2 弧度；如圆心角的弧长为 L,就其弧度数的肯定值 | |= L ,r其中 r 是圆的半径；定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为（ x,y）,到原点的距离为 r,就正弦函数 sin = y ,余弦函数 cos = x ,正切函数 tan = y ,余切函数 cot = x ,正割函数 secr r x y = r ,余割函数 csc = r.x y定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系：tan = 1 ,sin = 1,cos = 1；cot csc sec商数关系： tan = sin , cot cos；乘积关系： tan × cos =sin ,cot × sin =cos ；cos sin平方关系： sin 2 +cos 2 =1, tan 2 +1=sec 2 , cot 2 +1=csc 2 . 定理 2 诱导公式（） sin + =-sin , cos + =-cos , tan + =tan , cot + =cot ;（） sin- =-sin , cos- =cos , tan- =-tan , cot- =cot ; （） sin - =sin , cos - =-cos , tan= - =-tan , cot - =-cot ; （） sin =cos , 2cos =sin , tan =cot （奇变偶不变,符号看象限）；2 2定理 3 正弦函数的性质,依据图象可得y=sinx（xR）的性质如下；单调区间：在区间2 k , 2 k 上为增函数,在区间 2 k , 2 k 3 上为减函数,最小正周期为 2 . 2 2 2 2奇偶数 . 有界性： 当且仅当 x=2kx+ 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k-时, y 取最小值 -1；2 2对称性：直线 x=k + 均为其对称轴,点（ k , 0）均为其对称中心,值域为 -1,1 ；这里 k2Z. 定理 4 余弦函数的性质, 依据图象可得 y=cosxxR的性质；单调区间： 在区间 2k , 2k + 上单调递减,在区间 2k- , 2k 上单调递增；最小正周期为2；奇偶性：偶函数；对称性：直线 x=k 均为其对称轴,点k2,0均为其对称中心；有界性：当且仅当x=2k 时, y 取最大值 1；当且仅当 x=2k-时, y 取最小值 -1；值域为 -1,1；这里 kZ. 名师归纳总结 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanxxk + 2在开区间 k-2, k + 2上为增函第 1 页,共 10 页数, 最小正周期为 ,值域为（ -,+）,点（ k,0）,（ k + 2,0）均为其对称中心；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载sin sin ,sin =sin cos定理 6 两角和与差的基本关系式： cos =cos coscos sin ; tan =tantan. 1tantan定理 7 和差化积与积化和差公式 : sin +sin =2sin cos ,sin -sin =2sin cos , 2 2 2 2cos +cos =2cos cos , cos -cos =-2sin sin , 2 2 2 2sin cos = 1 sin + +sin - ,cos sin = 1 sin + -sin - , 2 2cos cos = 1 cos + +cos - ,sin sin =-1 cos + -cos - . 2 2定理 8 倍角公式 :sin2 =2sin cos , cos2 =cos 2 -sin 2 =2cos 2 -1=1-2sin 2 , tan2 = 2 tan2 . 1 tan 定理 9 半角公式 :sin = 1 cos ,cos = 1 cos , 2 2 2 2tan = 1 cos = sin 1 cos .2 1 cos 1 cos sin22 tan 1 tan定理 10 万能公式 : sin 2 , cos 2 , 2 21 tan 1 tan2 22 tantan 2 .21 tan2定理 11 帮助角公式：假如 a, b 是实数且 a 2+b 20,就取始边在 x 轴正半轴,终边经过点 a, b的一个角为 ,就 sin = 2 b2 ,cos = 2 a2,对任意的角 . a b a b2 2asin +bcos = a b sin + . 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有 a b c2 R,其中 a, b, c 分别是角 A,sin A sin B sin CB,C 的对边, R 为 ABC 外接圆半径；定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a 2=b 2+c 2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边；定理 14 图象之间的关系： y=sinx 的图象经上下平移得y=sinx+k 的图象；经左右平移得y=sinx+的图象（相位变换）；纵坐标不变,横坐标变为原先的1 ,得到 y=sinx 0 的图象（周期变换）；横坐标不变,纵坐标变为原先的A 倍,得到 y=Asinx 的图象（振幅变名师归纳总结 换）； y=Asinx+>0的图象（周期变换）；横坐标不变,纵坐标变为原先的A 倍,得第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载>0|A|叫作振幅 的图象向右平移个到 y=Asinx 的图象（振幅变换）； y=Asinx+, 单位得到 y=Asin x 的图象；定义 4 函数 y=sinx x , 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinxx-1, 1 ,函数2 2y=cosxx0, 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosxx-1, 1. 函数y=tanx x , 的反函数叫反正切函数；记作 y=arctanxx-, +. y=cosxx0, 2 2的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotxx-, +. 定理 15 三角方程的解集, 假如 a-1,1,方程 sinx=a 的解集是 x|x=n +-1 narcsina, nZ ；方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, kZ. 假如 aR,方程 tanx=a 的解集是 x|x=k +arctana, kZ ；恒等式： arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2. 定理 16 如x0,2,就 sinx<x<tanx. 二、方法与例题1结合图象解题；例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数；【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx 与 y=lg|x|的图象（见图）,由图象可知两者有6 个交点,故方程有 6 个解；2三角函数性质的应用；x20,例 2 设 x0, , 试比较 cossinx与 sincosx的大小；【解】如x2,就 cosx1 且 cosx>-1,所以 cos所以 sincosx 0,又 0<sinx1, 所以 cossinx>0,所以 cossinx>sincosx. 名师归纳总结 如x0 ,2,就由于x2 <2,第 3 页,共 10 页sinx+cosx=22sinx2cosx2sinxcos4+sin4cosx=2 sinx+422所以 0<sinx<2-cosx<2,.2所以 cossinx>cos2-cosx=sincosx. 综上,当 x0, 时,总有 cossinx<sincosx. 例 3 已知 , 为锐角,且 x· （ + -2）>0,求证：cosxcossinsin【证明】如 + >2,就 x>0,由 >2- >0 得 cos <cos2- =sin , 所以 0<cos<1,又 sin >sin2- =cos , 所以 0<cos<1,sinsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以cosxcosxcos0学习必备0欢迎下载cos2 .sinsinsinsin如 + <2,就 x<0,由 0< <2- <2得 cos >cos2- =sin >0, 所以cos sin- =cos ,所以cos>1,>1；又 0<sin <sin2sin所以cos sinxcosxcos0cos02,得证；sinsinsin注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及帮助角公式,值得留意的是角的争论；3最小正周期的确定；例 4 求函数 y=sin2cos|x|的最小正周期；【解】第一, T=2 是函数的周期（事实上,由于cos-x=cosx,所以 co|x|=cosx）；其次,当且仅当 x=k + 时, y=0（由于 |2cosx|2<）, 2所以如最小正周期为 T0,就 T0=m , mN+,又 sin2cos0=sin24三角最值问题；例 5 已知函数 y=sinx+12 cosx,求函数的最大值与最小值；sin2cos ,所以 T0=2；名师归纳总结 【解法一】令 sinx=2cos,1cos2 x2sin403, 第 4 页,共 10 页4就有 y=2cos2sin2sin4.由于403,所以24,4所以0sin41,所以当3,即 x=2k-2kZ时, ymin=0,4当4,即 x=2k + 2kZ时, ymax=2. 【解法二】由于 y=sinx+1cos2x2sin2x1cos2x, =2（由于 a+b22a 2+b 2）,且|sinx|112 cosx,所以 0sinx+12 cosx2,所以当12 cosx=sinx,即 x=2k + 2kZ时, ymax=2,当12 cosx=-sinx,即 x=2k-2kZ时, ymin=0；例 6 设 0<<,求 sin21cos的最大值；【解】由于 0<<,所以022,所以 sin2>0, cos2>0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 sin2（1+cos）=2sin22· cos2学习必备sin欢迎下载22cos22=2222cos322sin22cos 22cos 22=16493.493；327当且仅当 2sin222 =cos2, 即 tan2=2 , 2=2arctan2 时, sin 221+cos 取得最大值例 7 如 A,B,C 为 ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值；【解】由于 sinA+sinB=2sin A B cos A B 2 sin A B , 2 2 2C C CsinC+sin 2 sin 3 cos 3 2 sin 3 , 3 2 2 2又由于 sin A B sin C3 2 sin A B C3 cos A B C3 2 sin,2 2 4 4 3由,得 sinA+sinB+sinC+sin4sin , 3 3所以 sinA+sinB+sinC3sin = 3 3 , 3 2当 A=B=C= 时,（ sinA+sinB+sinC）max= 3 3 . 3 2注：三角函数的有界性、 |sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段；5换元法的使用；名师归纳总结 例 8 求y1sinxcosxx的值域；cosx2sinx4.第 5 页,共 10 页sinxcos【解】设 t=sinx+cosx=22sinx222由于1sinx4,11,所以2t2 .又由于 t 2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx=2t21,所以yx221t21t所以21y21.22由于 t-1,所以t211,所以 y-1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以函数值域为y21,1学习必备1.欢迎下载1 ,2 221 a n 1 2 1例 9 已知 a0=1, an= nN+,求证： an> n 2 . a n 1 2【证明】由题设 an>0,令 an=tanan, an,0,就22an= 1 tan a n 1 1 sec a n 1 1 1 cos a n 1 tan a n 1 tan a n .tan a n 1 tan a n 1 sin a n 1 2n由于 a n 1,an0 ,所以 an= 1a n 1,所以 an= 1a 0 .2 2 2 2n又由于 a0=tana1=1,所以 a0=,所以 a n 1·；4 2 4又由于当 0<x< 时, tanx>x,所以 a n tan n 2 n 2 .2 2 2注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范畴的一样性；另外当 x,0 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,临时不证明,学完导数后,证明2是很简单的；6图象变换： y=sinxxR与 y=Asin x+ A, , >0. 由 y=sinx 的图象向左平移 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原先的 A 倍,然后再保持纵坐标不变,横坐标变为原先的 1 ,得到 y=Asin x+ 的图象；也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原先的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原先的 1 ,最终向左平移 个单位,得到 y=Asin x+ 的图象；例 10 例 10 已知 fx=sin x+ >0, 0 是 R 上的偶函数,其图象关于点M 3, 0 对称,且在区间 0 , 上是单调函数,求 和 的值；4 2【解】 由 fx是偶函数,所以 f-x=fx,所以 sin + =sin-x+ ,所以 cos sinx=0,对任意 xR 成立；名师归纳总结 又 0,解得=2,f3x =0；第 6 页,共 10 页由于 fx图象关于M30,对称,所以f3x444取 x=0,得f3=0,所以 sin320.44所以3k2kZ,即=2 2k+1 kZ. 34- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又>0,取 k=0 时,此时 fx=sin2x+学习必备欢迎下载2在0,2上是减函数；取 k=1 时,=2,此时 fx=sin2x+取 k=2 时,10 ,此时 fx=sin3综上,= 2 或 2；37三角公式的应用；在0,上是减函数；2 2x+ 在0,上不是单调函数,2 2例 11 已知 sin - = 5 ,sin + =135 ,且 -132, +3,2,求 sin2 ,cos22的值；名师归纳总结 【解】由于 -2,所以 cos - =-1sin212.2,试求cosA2C第 7 页,共 10 页13又由于 +3,2,所以 cos + = 1sin212.213所以 sin2 =sin + + - =sin + cos - +cos + sin - = 120 , 169cos2 =cos + - - =cos + cos - +sin + sin - =-1. 例 12 已知 ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且1A1CcoscoscosB的值；【解】由于 A=120 0-C,所以 cosA2C=cos60 0-C,又由于1A11C10 cos 120Ccos Ccoscos C0 cos 120cos Ccos C0 cos 120C=12cos600cos6000C22cos 600C122,cos1200cos 1202 Ccos 12002 C22AC2cosAC32=0；所以42cos22解得cosA2C2或cosA2C382；2又cosA2C>0,所以cosA2C2；2例 13 求证： tan20 +4cos70 . 【解】tan20 +4cos70 =sin20+4sin20cos20sin204sin20cos20sin202sin40cos20cos20sin20sin40sin402sin30cos10sin40cos20cos20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin80sin402sin60cos20学习必备欢迎下载3 .cos20cos20三、基础训练题1已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为 2sin3, -2cos3,就 x 的弧度数为 _；2适合1cosx1cosx-2cscx 的角的集合为 _；1cosx1cosx3给出以下命题： （1）如 ,就 sin sin；（2）如 sin就 为第一或其次象限角；（ 4）如 为第一或其次象限角,就确的命题有 _个；4已知 sinx+cosx= 1 x0, ,就 cotx=_；5sin ,就 ；（3）如 sin >0,sin >0. 上述四个命题中,正5简谐振动 x1=Asint3和 x2=Bsint6叠加后得到的合振动是x=_；6已知 3sinx-4cosx=5sinx+1=5sinx-2=5cosx+3=5cosx-4,就1,2,3,4分别是第_象限角；7满意 sinsinx+x=coscosx-x的锐角 x 共有 _个；8已知3x2,就1111cosx=_；m 的取值范畴；222229cos40sin50 13tan 10=_；sin701cos 4010cot15 cos25 cot35 cot85 =_；11已知 , 0, , 21, sin + = 5 ,求 cos 的值；13212已知函数 fx=m2sinx在区间0,2上单调递减,试求实数cosx四、高考水平训练题1已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,如其周长为定值a=_. 2. 函数 fx=2sinxsinx+cosx的单调递减区间是 _. 3. 函数 y 2 sin x 的值域为 _. 2 cos x4. 方程 2 sin 2 x lg x =0 的实根个数为 _. 6cc>0,当扇形面积最大时,5. 如 sina+cosa=tana, a0 ,2,就3_a（填大小关系） . 6. 1+tan1 1+tan2 1+tan44 1+tan45 =_. 名师归纳总结 7. 如 0<yx<2且 tanx=3tany,就 x-y 的最大值为 _. 第 8 页,共 10 页8. sin77cos15sin8=_. cossin15sin89. cos11· cos2· cos 311· cos 411· cos 511=_. 11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10. cos 271 +cos71 cos49 +cos 249 =_. 11. 解方程： sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满意 sinx+sinx=cosx-cosx的全部锐角 x. 13. 已知 fx=1Asinkx3kA0, kZ, 且 AR,（ 1）试求 fx的最大值和最小值；（ 2）52如 A>0, k=-1,求 fx的单调区间；（ 3）试求最小正整数k,使得当 x 在任意两个整数（包括整数本身）间变化时,函数fx至少取得一次最大值和一次最小值；k五、联赛一试水平训练题（一）1如 x, yR,就 z=cosx 2+cosy 2-cosxy的取值范畴是 _. 2已知圆 x 2+y 2=k 2 至少盖住函数 fx=3sinx的一个最大值点与一个最小值点,就实数k的取值范畴是 _. 3f=5+8cos +4cos2+cos3的最小值为 _. 4方程 sinx+3 cosx+a=0 在（0,2）内有相异两实根,就 +=_. 5函数 fx=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是 _. 6设 sina>0>cosa, 且 sina >cos 3a ,就 3a 的取值范畴是 _. 37方程 tan5x+tan3x=0 在0,中有_个解. 8如 x, yR, 就 M=cosx+cosy+2cosx+y的最小值为 _. 9如 0<<2m , mN+, 比较大小： 2m+1sin1-sin2m+1 _1-sin. 10cot70 +4cos70 =_. sin x sin y a11. 在方程组 cos x cos y b 中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式；cot x cot y c12已知 , 0 ,且 cos 2+cos 2+cos 2=1,求 tantantan 的最小值；2x sin 3 y sin a13关于 x, y 的方程组 x sin 3 y sin a 有唯独一组解,且 sin, sin, sin 互不相等,求x sin 3 y sin asin+sin+sin 的值；14求满意等式 sinxy=sinx+siny 的全部实数对（ x, y）, x, y0,2. 联赛一试水平训练题（二）1在平面直角坐标系中,函数fx=asinax+cosaxa>0在一个最小正周期长的区间上的图象与名师归纳总结 函数 gx=a21的图象所围成的封闭图形的面积是_. 第 9 页,共 10 页2如x5,3,就 y=tanx2-tanx6+cosx6的最大值是 _. 1233在 ABC 中,记 BC=a, CA=b, AB=c, 如 9a 2+9b 2-19c 2=0,就cotcotCB=_. Acot- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4设 fx=x 2-x, = arcsin1 , = arctan3学习必备欢迎下载5 , 将 f , f , f , f 45 , = arccos41 , = arccot3从小到大排列为 _. 5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d；将 a, b, c, d 从小到大排列为_. 6在锐角 ABC 中,cosA=cossin , cosB=cossin , cosC=cossin,就tan· tan· tan =_.7已知矩形的两边长分别为 tan 和 1+cos 0< < ,且对任何 xR, 2fx=sin· x 2+ 4 3 · x+cos 0,就此矩形面积的取值范畴是 _. 8在锐角 ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范畴是 _. 9已知当 x0, 1,不等式 x 2cos -x1-x+1-x 2sin >0 恒成立,就 的取值范畴是 _. 10已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,就 cos 2x+ cos 2y+ cos 2z=_. 11已知 a1, a2, ,an 是 n 个实常数,考虑关于 x 的函数： fx=cosa1+x+ 1 cosa2+x +2+ 1n 1 cosan+x；求证：如实数 x1, x2 满意 fx1=fx2=0,就存在整数 m,使得 x2-x1=m .212在 ABC 中,已知 sin A sin B sin C 3,求证：此三角形中有一个内角为；cos A cos B cos C 313求证：对任意自然数 n, 均有 |sin1|+|sin2|+ +|sin3n-1|+|sin3n|> 8n . 5六、联赛二试水平训练题1已知 x>0, y>0, 且 x+y<,求证： ww-1sinx+y+wsinx-siny+siny>0（ wR）. n2. 已知 a 为锐角, n2, nN +,求证：1n 1 1n 12 n-2 2 1+1. sin a cos a3. 设 x1, x2, , xn, , y1, y2, , yn, 满意 x1=y1= 3 , xn+1=xn+ 1 x , yn+1= 2 y n2,求证：1 1 y n2<xnyn<3n2. 4已知 , 为锐角,且 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1,求证；3 < + + < 4名师归纳总结 - - - - - - -5求实数 a 的取值范畴,使得对任意实数x 和任意0,2,恒有x+3+2sincos 2+x+asin+asin21.86. 设 n, m 都是正整数,并且 n>m,求证：对一切 x0 ,2都有 2|sin nx-cos nx|3|sin nx-cos nx|. 7在 ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值；8求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, , cos2 na, 中的每一项均为负数；9已知i0 ,2,tan1tan2 tann=2n, nN+, 如对任意一组满意上述条件的21,2, ,n 都有 cos1+cos