2022年高中数学必修解三角形教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第 2 章 解三角形2.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形的两类基本问题 . 教学重点 ：正弦定理的探究和证明及其基本应用 . 教学难点 ：已知两边和其中一边的对角解三角形时判定解的个数 . 教学过程 ：一、复习预备：1. 争论：在直角三角形中,边角关系有哪些？三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形 形的哪些边角关系？内角和、大边对大角量化？引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：. 已学习过任意三角 是否可以把边、角关系精确特别情形：直角三角形中的正弦定理：sin A=asin B=bsinC=1 即 c=aDBccaAbBcC. sinsinsin 能否推广到斜三角形？先争论锐角三角形,再探究钝角三角形当ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,依据三角函数的定义,有CDasinBbsinA ,就aAbB. 同 理 ,aAcC 思 考 如 何 作sinsinsinsin高？,从而aAbBcC. sinsinsin * 其 它 证 法 ： 证 明 一 ： 等 积 法 在 任 意 斜 ABC当 中SABC =1absinC1acsinB1bcsinA . bB=cC. CO222b两边同除以1abc即得：aA=c2sinsinsinA证明二： 外接圆法如下图,A D,aAaDCD2R,sinsin同理bB=2R,cC 2R. sinsin1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明三：向量法过A 作单位向量j 垂直于AC ,由 AC + CB = AB 边同乘以单位向量j得 . 基本应用：已知三角形的任意两角 正弦定理的文字语言、符号语言,及及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 . 2. 教学例题：出例如1：在ABC 中,已知A0 45,B600,a42cm ,解三角形. 分析已知条件 争论如何利用边角关系示范格式小结：已知两角一边出例如2：ABC 中,c6,A0 45 ,a2,求 和B C. 小结：已知分析已知条件争论如何利用边角关系 示范格式两边及一边对角练习：ABC中,b3,B0 60 ,c1, 求 和A C. 01 ,在ABC 中,已知a10cm ,b14cm,A0 40,解三角形角度精确到边长精确到1cm 争论：已知两边和其中一边的对角解三角形时,如何判定解的数量？3. 小结： 正弦定理的探究过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对 角的争论 . 三、稳固练习：1.已知ABC 中,A=60 ° ,a3,求sinAabBcsinC. sin2. 作业：教材P5 练习 1 2 , 2 题 . 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.1.2 余弦定理一教学要求：把握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定懂得决两类基本的解三角形问题 . 教学重点 ：余弦定理的发觉和证明过程及其基本应用 . 教学难点 ：向量方法证明余弦定理 . 教学过程 ：一、复习预备：c符号语言？基本应用？. 变式1. 提问：正弦定理的文字语言？2. 练习：在ABC 中,已知10, A=45 ,C=30 ,解此三角形3. 争论：已知两边及夹角,如何求出此角的对边？二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导： 如图在ABC 中, AB 、 BC 、 CA的长分别为c 、 a 、 b . AbcCaBACABBC ,AC.ACABBC.ABBCAB22AB.BCBC22 AB2|AB| |BC| cos180BBC22 c2accosB2 a . 即b2c2a22accosB , 试证：a2b22 c2bccosA ,c2a2b22 abcosC . 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍2bccos. 基本应用：已知两用符号语言表示a2b22 cA , 等；边及夹角 争论：已知三边,如何求三角？ 余弦定理的推论：cosAb22 ca2, 等 . 2bc 摸索：勾股定理与余弦定理之间的关系？2. 教学例题： 出例如1：在ABC 中,已知a2 3,c62,B600,求 b 及 A. 分析已知条件争论如何利用边角关系 示范求b ,A600 争论：如何求A？两种方法答案：b2 2 小结：已知两边及夹角3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在ABC 中,已知a13 cm,b8 cm ,c16 cm ,解三角形. 分析已知条件争论如何利用边角关系分三组练习小结：已知两角一边3. 练习： 在ABC 中,已知a 7, b 10 , c 6,求 A、B 和 C. . 在ABC 中,已知a 2, b 3, C 82° ,解这个三角形4. 小结： 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范畴：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角,求第三边 . 三、稳固练习：1. 在ABC 中,假设a2b2c2bc ,求角A. 答案：A=1200 2. 三角形ABC 中, A 120 ° , b 3, c 5,解三角形. 变式：求sin BsinC；sin B sinC. 3. 作业：教材P8 练习 1、 2 1题 . 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.1 .3 正弦定理和余弦定理练习教学要求：进一步熟识正、余弦定理内容,能娴熟运用余弦定理、正弦定懂得答有关问题,如判定三角形的外形,证明三角形中的三角恒等式 . 教学重点 ：娴熟运用定理 . 教学难点 ：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化 . 教学过程 ：一、复习预备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式 . 2. 争论各公式所求解的三角形类型 . 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的争论： 出例如1：在ABC 中,已知以下条件,解三角形. 2 ；2 . 2i A6,a 25,b 502 ；ii A6,a 252 ,b 50iii A6,a50 36,b 502 ；iiii A6,a 50,b 50分两组练习争论：解的个数情形为何会发生变化？ 用如以下图示分析解的情形. A 为锐角时已知边 a,b 和ACCCCAbaAbaAbaaAbaHBB1HB2a bHBa<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b无解仅有一个解有两个解仅有一个解 练习：在ABC 中,已知以下条件,判定三角形的解的情形. i A2 3,a25 ,b 502 ；ii A2 3,a 25 ,b 10例 1.依据以下条件,判定解三角形的情形1 a 20, b 28, A 120 ° .无解2 a 28, b 20, A 45 ° ；一解3 c 54 , b 39 , C 115° ；一解4 b 11, a 20, B 30° ；两解2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 出例如2：在ABC 中,已知sin A sinB sinC=6 5 4,求最大角的余弦 . 分析：已知条件可以如何转化？引入参数k,设三边后利用余弦定理求角 . 出例如3：在ABC 中,已知a 7, b 10 , c 6,判定三角形的类型. 分析：由三角形的什么学问可以判别？断 求最大角余弦,由符号进行判结论：活用余弦定理,得到：a a a2b b b2c c c2A 是直角A 是钝角A 是锐角ABC 是直角三角形ABC 是钝角三角形ABC 是锐角三角形. 222222 出例如4：已知ABC 中,bcosCccosB ,试判定ABC 的外形 . 分析：如何将边角关系中的边化为角？再摸索：又如何将角化为边？3. 小结： 三角形解的情形的争论；判定三角形类型；边角关系如何互化三、稳固练习：1. 已知 a、b 为ABC 的边, A、B 分别是a、b 的对角, 且sin sinA2,求abbB3的值2. 在 ABC 中, sinA:sin B:sin C 4:5:6 ,就 cosA:cosB:cos C. 3. 作业：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.2 三角形中的几何运算一、设疑自探正弦定理、余弦定理是两个重要的定理,在解决与三角形有关的几何运算问题中有着广泛的应用；对于本节课你想明白哪些内容？ 1怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的运算问题？ 2处理三角形中的运算问题应当留意哪些问题？二、解疑合探例一：如下列图,在梯形ABCD中,AD|BC,AB5,AC9,BCA30,ADB45. 求BD的长.D C A B 例二：如下列图,已知在四边形ABCD中,ADCD,AD10,B AB14,BDA60,BCD135,求BC的长；C 答案：BC82D A 例三：如下列图,已知 圆 O 的半径是 1,点 C 在直径 AB 的延长线上,BC 1,点 P 是圆 O 上半圆上的一个动点,以 PC 为边作等边三角形 PCD , 且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧；（1）如 POB , 试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 的函数；（2）求四边形 OPDC 面积的最大值；DPAOBC7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - A例五:如下列图,在等腰ABC 中,底边BC1,底角B 的平分线BDCBD交AC 于D,求BD 的取值范畴；3 2ABC解：ABCC,A1802ABC,BDCAABD1802ABCABC1802在BCD中,由正弦定理,得,BDsinBC,即sinBDsin18013ABCsinCBDCABC2BDsinABCsin3 2ABC2sinABC.cosABC22sinABC.cosABCcosABC.sinABC222cosABC24cos2ABC1；224cosABCcos12）.2ABC20ABC45,2,12cosABC22BD的取值范畴为（2 3,四、运用拓展（1）在ABC中,A60,AB16,SABC2203,求BC及ABC的外接圆和内切圆的半径；答案：BC49,R493,r113332A ,2 在ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C的对边,且B求b的取值范畴；a答案：ba的取值范畴是（1,）8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - § 3 解三角形的实际应用举例教学目标1、把握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形；2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化；3、培育和提高分析、解决问题的才能；教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用；2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化；教学过程一、复习引入 1、正弦定理：2ab2bcC2RcosAb2c2a2sinAsinBsin 2、余弦定理：a2c22 bccosA,2 bcb2ca22cacosB,cosBc2a2b22cac2a2b22abcosC,cosCa2b2c22ab二、例题讲解引例：我军有 A、 B 两个小岛相距 10 海里,敌军在 C 岛,从 A 岛望 C 岛和B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75 ° 的视角,为提高炮弹命中率,须运算 B 岛和 C 岛间的距离,请你算算看；解：A 60 0B 75 0C 45 0C由正弦定理知 BC0 100 A 600sin 60 sin 450BC 10sin sin45 600 5 6 海里 75 0B9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1如图,自动卸货汽车采纳液压机构,设计时需要运算油泵顶杆 BC的长度如图 已知车厢的最大仰角为 60° , 油泵顶点 B 与车厢支点 A之间的距离为 1.95m ,AB 与水平线之间的夹角为 60 020 /,AC长为1.40m ,运算 BC的长保留三个有效数字分析 ：这个问题就是在 ABC中,已知 AB=1.95m , AC=1.4m, BAC 60 6 20 ' 66 20 '求 BC的长,由于已知的两边和它们的夹角,所以可依据余弦定理求出BC；2ABACcosAC解 ：由余弦定理,得AC2BC2AB21.40m1 . 95221 . 402.195.140cos6620 'A6006020/DB3 . 5711.89m. BC1 . 89 m 1.95m答 ：顶杠BC 长约为解斜三角形理论应用于实际问题应留意：1、仔细分析题意,弄清已知元素和未知元素；2、要明确题目中一些名词、术语的意义；如视角,仰角,俯角,方位角等等；3、动手画出示意图,利用几何图形的性质,将已知和未知集中到一个三角形中解决；练 1. 如图 , 一艘船以32 海里 / 时的速度向正北航行, 在 A 处看灯塔S 在船的S北偏东0 20 , 30分钟后航行到B 处 , 在 B 处看灯塔S 在船的北偏东650. 4500 65 方向上 , 求灯塔S 和 B 处的距离. 保留到0.1 B1150解：AB16由正弦定理知AB0BS0sin45sin20200名师归纳总结 10 A第 10 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BS10sin2007 .7海里sin450答：灯塔S 和 B 处的距离约为7.7海里例 2. 测量高度问题如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在同一水平直线上的 C, D两处,测得烟囱的仰角分别是45 和 00 60 , 、间的距离是B12m. 已知测角仪器高1.5m. 求烟囱的高；图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么,求什么？分析：由于ABAA 1A 1B,又AA 11 5. mC1D1A1所以只要求出A1B即可解：在BC 1D 1中,ACDBD1 C118006001200,C 1BD1600450150由正弦定理得：sinC1D11sinBC 11C 1C 1BDBD66mBC 1C 1D 1sinBD 1C 112 sin0 120 182sinC 1BD 1sin0 15从而：A 1B2BC 1186328.392m29 . 89 m2因此：ABA 1BAA 128 . 3921 . 529 . 892答：烟囱的高约为29 . 89 m60 ,在塔底 0C 处测得练习：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角点 A 的俯角0 45 ,已知铁塔BC 部分高 32B=600米,求山高CD ；32=450解：在ABC中, ABC=30° ,C ACB =135 ° ,. CAB =180 ° ACB+ ABC =180 ° 135 ° +30° =15 °DA11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 BC=32, 由正弦定理BCsinAC016216 62msinBACABC得：ACBCsinABC32sin30sinBACsin 15064 课堂小结 1、本节课通过举例说明白解斜三角形在实际中的一些应用；把握利用正弦定理及余弦定懂得任意三角形的方法；2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意,分清已知与所求,依据 题意画出示意图,并正确运用正弦定理和余弦定懂得题；3、在解实际问题的过程中,贯穿了数学建模的思想,其流程 图可表示为：实际问题画图形数学模型解 三 角 形检验答12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正弦定理余弦定理综合应用一、学问梳理1 内 角 和 定 理 ： 在 ABC 中 , A B C；sin A B sinC ；cos A B cosC1 1 1S ABC ab sin C bc sin A ac sin B面积公式 : 2 2 2 在三角形中大边对大角,反之亦然 . 2正弦定理：在一个三角形中 ,各边和它的所对角的正弦的比相等 . a b c 2 R形式一：sin A sin B sin C 解三角形的重要工具 a 2 R sin Ab 2 R sin B形式二：c 2 R sin C边角转化的重要工具 形 式 三：a b c sin A :sin B : sin C 形 式 四：sin A a ,sin B b ,sin C c2 R 2 R 2 R3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 . 2 2 2 2 2 2形 式 一：a b c 2 bc cos A b c a 2 ca cos B2 2 2c a b 2 ab cos C 解三角形的重要工具 2 2 2 2 2 2 2 2 2b c a a c b a b ccos A cos B cos C形式二：2 bc 2 ac 2 ab二、方法归纳a b c 1 已知两角 A 、B 与一边 a , 由 A +B+C= 及 sin A sin B sin C,可求出角 C,再求 b 、 c . 2 已知两边 b 、 c 与其夹角 A ,由 a 2=b 2+ c 2-2 b c cosA ,求出 a ,再由余弦定理,求出角 B、 C. 3 已知三边 a 、 b 、 c ,由余弦定理可求出角 A 、 B 、 C. a b 4 已知两边 a 、 b及其中一边的对角 A ,由正弦定理 sin A sin B,求a c出另一边 b 的对角 B,由 C= - A +B ,求出 c ,再由 sin A sin C 求出 C,a b而通过 sin A sin B 求 B 时,可能出一解,两解或无解的情形13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - a =b sinA 有一解b > a >b sinA 有两解a b 有一解a >b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定懂得三角形【例 1】在ABC 中,假设b5,B4,sinA1,就 a.35 23【例 2】在ABC中,已知a =3 , b =2 ,B=45 ° , 求 A、 C 和 c . 【适时导练】1. 1 ABC中,a=8,B=60 ° ,C=75 ° , 求 b ; b =4,c=8, 求 C、 A、 a. . 问题二：利用余弦定懂得三角形2 ABC中, B=30° , 【例 3】设ABC 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. 已知a1,b2,cosC1. a 、b 、4求ABC的周长； 求cosAC的值 .【例 4】 2022 重庆文数设ABC的内角A、B、C 的对边长分别为c , 且 3b2+3c2-3a2=42b c . A4 1sinBC4的值 . 求 sinA2sin的值； 求cos2A【适时导练】2 在ABC中, a 、 b 、 c 分别是角A, B, C的对边,且cosB=-2bc. cos Ca 1求角B 的大小； 2假设 b =13 , a + c =4,求ABC的面积 . 问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例 5】 2022 山东文数 在ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - c已知cos A-2cos C=2c-a bcosB=1,ABC的周长为5,求bcosB I求sinC的值； II 假设sinA4的长；【例 6】 2022 全国卷理在ABC中,内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c,已知a2c22b,且sinAcosC3cosAsinC,求 b2C 2 cos 3 在 ABC 中, a、b、c 分别是角A、B、C 的对边, 且 8 sin2B2A 7 1求角A 的大小； 2假设a3 , b c 3,求 b 和 c 的值问题四：三角恒等变形【例 7】 08 重庆设ABC的内角A, B, C 的对边分别为a ,b,c,且 A=60 , c=3b. 求：ac 的值； cotB +cot C的值 . 所 对 的 边 分 别 为a b c,4. 2022江 西 卷 理 ABC中 ,A B CtanCsinAsinB,sinBA3cosC. a c.cosAcosB 1求A C； 2假设SABC3, 求问题五：判定三角形外形【例 8】在ABC 中,在ABC 中, a,b,c 分别是角A 、 B 、 C 所对的边,bcosA acosB ,试判定ABC 三角形的外形. 【例 9】. 在 ABC 中,在A 、B、C 所对的边,ABC中, a,b,c 分别是角15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设cosA cosBb a,【适时导练】5. 在 ABC 中,假设 2cosBsinA sinC ,就ABC 的外形肯定是A. 等腰直角三角形 B . 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等 边 三角形 6.在 ABC 中, a 、 b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边,假如a2+b2 sin A - B = a2- b 2 sin A +B,判定三角形的外形. 问题六：与其他学问综合【例 10 】已知向量mac b , ,nac ba 且m n0,其中 A,B,C是ABC的内角,a , b ,c 分别是角A,B,C 的对边. 1求角C 的大小； 2求 sinAsinB 的取值范畴. A B C所对的边分别为a b c,且满意7 2022 浙江文在ABC中,角cosA 22 5,AB AC5ABC 的面积；3c1,求a的值 I 求 II 假设问题 7：三角实际应用【例 11 】要测量对岸 A 、 B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、 D两点,并测得ACB =75 ° , BCD =45 ° , ADC =30° , ADB =45 ° ,求 A 、 B 之间的距离 . 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页