2022年高中数学数列压轴题练习及详解.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为,且.,求数列的通项公式 ; 数列满意,求数列的通项公式 ; ,使得,成等差数列 .如存在 ,求出 m,是否存在正整数m,n 的值 ;如不存在 ,请说明理由 .解:I 设数列 的公差为 d,就由.,得, 运算得出或舍去 . ; , , , 即,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 累加得 :学习必备欢迎下载, 也符合上式 . 故,. 假设存在正整数m、,使得,成等差数列 , 就又, , ,即化简得 :当,即,时,舍去 ; 成等差数列 . 当,即时,符合题意 . 存在正整数,使得,解析直接由已知列关于首项和公差的方程组 ,求解方程组得首项和公差 ,代入等差数列的通项公式得答案 ; 把数列 的通项公式代入 ,然后裂项 ,累加后即名师归纳总结 可求得数列的通项公式 ; 第 2 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假设存在正整数m、学习必备欢迎下载,成等差数列 ,就,使得,2.在数列.由此列关于m 的方程 ,求运算得出答案.,如为数列中中,已知,1求证 :数列为等比数列 ; 2记,且数列的前 n 项和为的最小项 ,求的取值范畴 . 解:1证明 :, 又, 故, , 是以 3 为首项 ,公比为 3 的等比数列2由1知道,有, 如为数列中的最小项 ,就对恒成立 , 名师归纳总结 即当时,有.对; 恒成立恒成立 , 第 3 页,共 22 页; 当时,有当时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对学习必备欢迎下载恒成立 . 令 ,就对恒成立 , 在时为单调递增数列. ,即综上 ,解析1由 ,整理得 : .由 ,可以知道 是以 3 为首项 ,公比为 3 的等比数列 ; 2由1求得数列 通项公式及前 n 项和为 ,由 为数列 中的最小项 ,就对 有 恒成立 ,分类分别求得当时和当 的取值范畴 , 当 时, ,利用做差法 ,依据函数的单调性 ,即可求得的取值范畴 .3.在数列中,已知, , ,设名师归纳总结 为的前 n 项和 . 第 4 页,共 22 页1求证 :数列是等差数列 ; 2求; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3是否存在正整数p,q, 学习必备,使欢迎下载, 成等差数列 .如存在 ,求, 出 p,q,r 的值 ;如不存在 ,说明理由 . 1证明 :由, 得到 , 就又 , , 数列 是以 1 为首项 ,以 -2 为公差的等差数列 ; 2由1可以推知 : , 所以 , , 所以 ,-,得, , , 所以名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3假设存在正整数p,q,学习必备,使欢迎下载,成等差数列 . ,就 , 即由于当时, 所以数列, 单调递减 . , 又所以时,且 q 至少为 2, 所以,当又, ,等式不成立 . 所以当时, 所以所以 , 所以 ,数列 单调递减 ,解唯独确定 . 综上可以知道 ,p,q,r 的值分别是 1,2,3. 解析名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1把给出的数列递推式学习必备欢迎下载,变形后得到新数列,该数列是以 1 为首项 ,以-2 为公差的等差数列 ; 2由1推出 的通项公式 ,利用错位相减法从而求得求 ; 3依据等差数列的性质得到,从而推知 p,q,r 的值 . 4.已知 n 为正整数 ,数列满意, ,设数列满意1求证 :数列为等比数列 ; 2如数列是等差数列 ,求实数 t 的值 ; 的3如数列是等差数列 ,前 n 项和为,对任意的,均存在,使得成立 ,求满意条件的全部整数值. 1证明 :数列,满意., , .数列 为等比数列 ,其首项为 ,公比为 2; 2解:由1可得 : . , ,数列是等差数列 , , 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 运算得出或 12. 学习必备欢迎下载时,是关于 n 的一次函数 ,因此数列是等差数列. 时,不是关于 n 的一次函数 , 因此数列 不是等差数列 . 综上可得 ; 3解:由2得 , 对任意的.,均存在,使得, 成立 , 即有, .化简可得当,对任意的,符合题意 ; 当,当时, 对任意的,不符合题意 . ,均存在, 综上可得 ,当,对任意的使得成立 . 解析名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1依据题意整理可得,学习必备欢迎下载; .,再由等比数列的定义即可得证2运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得 t,对 t 的值 ,检验即可得到所求值; ,使得3由2可得,对任意的,均存在成立 ,即有.,争论为偶数和奇数 ,化简整理 ,即可得到所求值 . 5.已知常数,数列满意, , 1如, , ; 依次成等差数求的值 ; 求数列的前 n 项和2如数列中存在三项, 列,求的取值范畴 . , 解:1, , , 名师归纳总结 , , ,即从其次项起 ,数列是以 1第 9 页,共 22 页当时, 当时,为首项 ,以 3 为公比的等比数列- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数列的前 n 项和,学习必备, 欢迎下载明显当 时 ,上式也成立 , ; 2, ,即单调递增 . , i 当时,有,于是,如数列中存在三项,依次成等差数列 ,就有, 即名师归纳总结 ,.此时.因此不成立 .因此此时第 10 页,共 22 页数列中不存在三项,依次成等差数列 . 当时,有于是当时,.从而.于是依次成等差数列 ,就如数列中存在三项,有, ,同i 可以知道 :.于是有,是整数 ,即.与冲突 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故此时数列中不存在三项学习必备,欢迎下载依次成等差,数列 . 当 时,有于是此时数列中存在三项,依次成等差数列 . 综上可得 :解析1,可得,.同理可得,当时 ,当时,为公比的等比数列,即从其次项起 ,数列是以 1 为首项 ,以 3,利用等比数列的求和公式即可得出2,可得,即单调递增 . .利用反证法i 当时,有,于是,可得,即可得出不存在. 时,有.此时.于是当时 ,当名师归纳总结 从而.假设存在,同i 可以知道 :.得出冲突 ,因此不存第 11 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载在. 当时,有.于是.即可得出结论 . 6.已知两个无穷数列, 和的前 n 项和分别为, , ,对任意的,都有1求数列的通项公式 ; , ,都有.证明 : ; 的 n2如为等差数列 ,对任意的3如为等比数列 , ,求满意值. 解:1由,得. , 即,所以由,可以知道所以数列是以 1 为首项 ,2 为公差的等差数列故的通项公式为,2证法一 :设数列的公差为 d, 就, 由1知 ,由于,所以, 名师归纳总结 即恒成立 , 第 12 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,即学习必备, 欢迎下载又由,得, 所以所以 ,得证 . 证法二 :设的公差为 d,假设存在自然数,使得, , 就,即时, 由于,所以所以,所以存在,当由于恒成立 . 这与 “对任意的,都有”冲突 . . , 所以,得证 . 3由1知,.由于为等比数列 , 且, 所以是以 1 为首项 ,3 为公比的等比数列所以,就名师归纳总结 由于,所以,所以第 13 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而,所以学习必备欢迎下载,即当,2 时,式成立 ; , 当时,设就, 所以n 的值为 1 和 2. , 故满意条件的解析1运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求 ; 名师归纳总结 2方法一、设数列的公差为 d,求出,.由恒成立思想可得,第 14 页,共 22 页求出,判定符号即可得证; 方法二、运用反证法证明,设的公差为 d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于 0,即可得证 ; 3运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,化简,推出小于 3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值. 7.已知数列, 都是单调递增数列,如将这两个数列的项按由小到大的次序排成一列相同的项视为一项,就得到一个新数列1设数列, 分别为等差、等比数列,如, , ,求; 2设的首项为 1,各项为正整数 , ,如新数列是等差数列 ,求数列的前 n 项和; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3设学习必备欢迎下载,是否存在等差数列,使是不小于 2 的正整数 , 得对任意的,在与之间数列的项数总是如存在 ,请给出一个满意题意的等差数列;如不存在 ,请说明理由 . 解:1设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, ,单调递依据题意得 ,运算得出或 3,因数列增, 所以, ,且, 所以, 所以由于,2设等差数列的公差为 d,又名师归纳总结 所以,所以,即第 15 页,共 22 页由于是中的项 ,所以设当时,运算得出,不满意各项为正整数;当时,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项 ,所以;当时,此时,只需取, 由,得,是奇数 ,是正偶数 ,m 有正整数解 , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以等比数列学习必备欢迎下载的项都是等差数列中的项 ,所以综上所述 ,数列的前 n 项和,或n,都有3存在等差数列,只需首项,公差下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数, 即 成立 . 由,公差的等差数列符合题意, 所以首项解析1设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,依据题意得 ,运算得出或 3,因数列,单调递增 ,可得,利用通项公式即可得出. .2设等差数列的公差为 d,又,且,所以,所以.由于是中的项 ,所以设,即当时,运算得出,不满意各项为正整数当时,当时 ,即可得出 . 名师归纳总结 3存在等差数列,只需首项,公差.下证与之第 16 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 间数列的项数为学习必备欢迎下载,.即证对任意正整数n,都有作差利用通项公式即可得出 . 8. 对于数列 , 称 其中 , 为数列 的前 k 项“ 波动均值”. 如对任意的 , 都有 , 就称数列 为“ 趋稳数列” .1 如数列 1,x,2 为“ 趋稳数列”, 求 x 的取值范畴 ; 2 如各项均为正数的等比数列 的公比 , 求证 : 是“ 趋稳数列” ;3 已知数列, 都有的首项为 1, 各项均为整数 , 前 k 项的和为. 且对任意, 试运算 :.名师归纳总结 解:1依据题意可得,两边平方可得, , , , 第 17 页,共 22 页即运算得出; , 2证明 :由已知 ,设因且故对任意的,都有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,学习必备欢迎下载, 因, , , , , 即对任意的,都有,故是“ 趋稳数列 ” ;3当时 , 当时,同理 , , 因 , , 名师归纳总结 即或, 或第 18 页,共 22 页所以所以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于,且,所以学习必备欢迎下载, ,从而所以,. 解析1由新定义可得,解不等式可得x 的范畴 ; 2运用等比数列的通项公式和求和公式 得证 ; ,结合新定义 ,运用不等式的性质即可3由任意,都有,可得. 9.已知首项为,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值1 的正项数列 a n 满意+an+1an,nN*.（1）如 a2=,a3=x,a4=4,求 x 的取值范畴；（2）设数列 a n 是公比为 q 的等比数列, Sn为数列 a n 前 n 项的和,如 SnSn+12Sn,nN*,求 q 的取值范畴；（3）如 a1,a2, ,ak（k3）成等差数列,且a1+a2+ +ak=120,求正整数 k名师归纳总结 的最小值,以及k 取最小值时相应数列a1,a2, ,ak（ k3）的公差 .第 19 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 1）由题意,学习必备欢迎下载anan+12an, x 3,x2x,x（ 2,3）.（2）anan+1 2an,且数列 a n 是公比为 q 的等比数列, a1=1,q n-1 q n2q n-1,q n-1q-0,q n-1q-2 0,q（,1）.SnSn+12Sn,当 q=1 时, S2=2S1,不满意题意,当 q 1时,2.,当 q（,1）时,即q（,1）.当 q（ 1, 2）时,即,无解,名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - q（,1）.学习必备欢迎下载（3）设数列 a1,a2, , ak（k3）的公差为 d.an an+1 2an,且数列 a1, a2, , an 成等差数列,a1=1,1+n-1d 1+nd21+n-1d , n=1,2, ,k-1,d（ -, 1）.a1+a2+ +ak=120,Sk=k2+a1-k=k2+1-k=120,d=,1）,（ -k（ 15,239）, kN* ,k 的最小值为16,此时公差d=.解析【解题方法提示】分析题意,对于（1）,由已知结合完全平方公式可得an an+1 2an,由此名师归纳总结 可得到关于a2, a3,a4 的大小关系,据此列式可解得x 的取值范畴；第 21 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据学习必备欢迎下载q（,1）,再结合anan+1 2an,以及等比数列的通项公式可得Sn Sn+12Sn以及等比数列的前n 项和公式分类争论可得q 的取值范畴；设公差为 d,依据 an an+12an,以及等差数列的通项公式可得 d（-,1）,然后依据等差数列的前 n 项和公式结合题意可得 d=,由此可名师归纳总结 解得 k 的取值范畴,进而得到k 的最小值和d 的值 .第 22 页,共 22 页- - - - - - -