2022年高中数学知识要点重温之定比分点平移正余弦定理3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 要点重温之定比分点、平移、正余弦定理1如 P 1 P PP 2,就称点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比为 ；留意： “ 定比” 不是“ 比”,点分有向线段所成的比,是用数乘向量定义的,而不是两个向量的比；当 P 为外分点时为负,内分点时 为正, P 为中点时 =1,如起点 1P x 1,y 1 ,终点 P x2,y2 ,就分点 P x0,y0的坐标为： x 0= x 1 x 2 ,y 0= y 1 y 2；由此推出： 中点公式及三角形的重心公式 : 在ABC1 1中,如 A（ x1,y 1）、B（x 2,y 2）、C（x 3,y 3）,就 ABC的重心 G（x 1 x 2 x ,y 1 y 2 y 3）；3 3 举例 1 设 O（0, 0）,A（ 1,0）, B（0,1）,点 P 是线段 AB上的一个动点,AP AB,如 OP AB PA PB,就 的去值范畴是：A1 1 B1-2 1 C1 1+ 2 D 1-2 1+ 22 2 2 2 2 2解析：思路一：AP AB AP AP PB AP PB,即 P 分有向线段 AB1所成的比为,由定比分点坐标公式得：P（1- , ）, 于是有 OP =（1- , ）,1AB =-1,1, PA =（ ,- ）, PB=（ -1 ,1- ）, -1+ -1- 1- 2 2-4 +10 1-2 1+ 2 ；思路二：记 Px,y ,由 AP AB 得：2 2x-1,y=- , x=1- ,y= 即 P（1- , ）,以下同“ 思路一”；思路三： AB =-1,1, AP =（- , ）, PA=（ ,- ）,OP = OA AP =（1- , ）,PB= PA AB =（ -1 ,1- ）,以下同“ 思路一”； 举例 2 已知 ABC中,点 B（-3 ,-1 ）,C（ 2,1）是定点,顶点 A 在圆（ x+2）2+y-4 2=4上运动,求 ABC的重心 G的轨迹方程；名师归纳总结 解析：记 G（x,y ）,Ax 0,y 0, 由重心公式得：x=x031,y=y0, 于是有： x 0=3x+1,y 0=3y,第 1 页,共 5 页3而 A 点在圆（ x+2）2+y-42=4 上运动,（ 3x+1+2）2+3y-42=4, 化简得：x1 2y424；39 巩固 已知 P 是曲线 C：y=xn nN 上异于原点的任意一点,过P 的切线 l 分别交 X 轴, Y轴于 Q、 R两点,且PQ1QR,求 n 的值；2迁移 已知yf x 是定义在 R 上的单调函数,实数x 1x 2,1ax 1x 2,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2x 1,如|fx 1fx 2|ff|,就（）1A0 B0 C0 1 D12. 关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点 Mx,y按向量 a m,n 平移得到点 M x+m,y+n ；曲线 C： fx,y =0 按向量 a m,n 平移得到曲线C / ：fx-m,y-n =0；函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“ 翻译” 成向左（右）、向上（下） 平移, 再按函数图象变换的规律“ 图进标退”操作； 留意 ：向量无论怎样平移,其坐标都不发生变化； 举例 将直线 x- by+1=0 按向量 a =（1,- 1）平移后与圆 x 2- 4x+y 2+3=0 相切,就 k= ；解析：思路一：直线 l ：x-by+1=0 按向量 a 平移即“ 向右、向下各平移 1 个单位” ,亦即： x变为 x- 1,y 变为 y+1,得直线 /l ：x- by- b=0,圆： x- 2 2+ y 2=1, 直线 /l 与圆相切,就有：| 21 b b2 | 1 得 b= 3 ；思路二：圆4 M ：x- 2 2+ y 2=1 按向量 - a 平移（ x 变成 x+1,y 变成 y- 1）后得：圆 M /： x- 1 2+y - 1 2=1, 圆 M /与直线 l ：x- by+1=0 相切,有 | 2 b | 1 得 b= 3 ；1 b 2 4思路三：圆心 M （ 2,0）按向量 - a 平移后得 M /（1,1）,M /到直线 l 的距离为 1；巩固 1已知点 A（ 1,2）、B（4,2）,向量 AB 按 a =（1,3）平移后所得向量的坐标为（）（A ）（3,0）（B）（4, 3）（C）（-4,-3）（ D）（-4,3）巩固 2如把一个函数的图象按 a =（,2）平移后得到函数 y= cosx 的图象,就原图象3的函数解析式为： A y=cosx+ 2；By= cosx2；3 3C y= cosx+ +2；Dy= cosx+2 3 3迁移 已知函数 fx= -3 sinxcosx+3cos 2x-1,x R 2（1）将 fx 表示成 Asin2x+ +B 的形式（其中 A>0,0< <2）（2）将 y=fx 的图象按向量 a 平移后,所得到的图象关于原点对称,求使 |a | 得最小的向量 a ；3三角形内的三角函数问题中,既涉及到边又涉及到角时,往往需要进行边角转换,正、余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具；对a、b、c（或 sinA 、sinB 、sinC ）的齐次名师归纳总结 式,可以直接用正弦定理转换；而对a、b、c 平方的和差形式,常用余弦定理转换；第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 举例 1 ABC 的三内角的正弦值的比为4：5：6,就三角形的最大角为；解析：由正弦定理得：ABC 三边的比为 4：5：6,不妨设 a=4k,b=5k,c=6k,k>0 2 2 2就边 c 所对的角 C 为最大角, cosC= 16 k 25 k 36 k 1 , C=arccos 1 ；2 4 k 5 k 8 8 举例 2 在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如 a 2+b 2=6c 2,就cot A cot B tan C 的值为2解析：对 cot A cot B tan C“ 切化弦” 得：sin C,再由正弦定理得sin A sin B cos C2 2c,再对 cosC 使用余弦定理得：2 2 c2 2,将 a 2+b 2=6c 2,代入接得原式等于 2 ；ab cos C a b c 5 巩固 1 如 ABC三边成等差数列,就 B 的范畴是；如 ABC三边成等比数列,就 B的范畴是； 巩固 2 如三角形三边 a、 b、c 满意 a 2+c 2=b 2+ac,且 a:c= 3 1 :2 ,求角 C的大小； 迁移 已知 ABC 中, sinAsinB+ 3 cocB= 3 sinC,BC=3, 就 ABC 的周长的取值范畴是；4关注正弦定理中的“ 外接圆” 直径,涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理； 举例 ABC中, AB=9,AC=15, BAC=120 0,它所在平面外一点P 到 ABC三个顶点的距离是 14,那么点 P到平面 ABC的距离是：；C O P A B 解析：记 P在平面 ABC上的射影为O, PA=PB=PC OA=OB=OC,即 O是 ABC的外心,只需求出OA（ ABC 的外接圆的半径） ,记为 R,在 ABC中由余弦定理知：BC=21,在由正弦定理知：2R=sin210=143 , OA=7 3120得： PO=7； 巩固 已知 O的半径为 R,如它的内接ABC中, 2Rsin2A-sin2C=2 a-bsinB,求（ 1）C的大小；（2） ABC的面积的最大值； 迁移 直线 l ：xmynn0过点A ,443,如可行域x3myn的外接圆直径yxy00为143,就实数 n 的值是 _ 35正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正弦定理,只涉及三角形中的一个角常用余弦定理；关注两定理在解相关实际问题中的运用；举例 1已知 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为a,b,c,且 BC 边上的高为a,就cb的2bc最大值为：A.22B. 2C. 2 D.4 b2c2a2C 解析：cb=c2bcb2,这个形式很简单联想到余弦定理：cosA=bc22 bcA 而条件中的“ 高” 简单联想到面积,aabcsinAa2即a22bcsinA,将代入得：2D B b2c22 bc cosAsinA 2 ,应选 A；cb=2（cosA+sinA ） =22 sinA+4,当 A=4时取得最大值bc举例 2 如图,已知A、 B、C是一条直路上的三点,AB与 BC各等于 1 千米,从三点分别眺望塔M,在A处观察塔在北偏东450方向,在 B 处观察塔在正东方向,在C处观察塔在南偏东600方向,求塔到直路 ABC的最短距离；解析：已知 AB=BC=1, AMB=45 0, CMB=30 0, CMA=75易见 MBC与 MBA面积相等, AMsin 45 0= CMsin 30 0即 CM= 2 AM,记 AM=a ,就 CM= 2 a ,在 MAC中, AC=2,由余弦定理得：4=3a2-22 a2cos750, a2=443, 记 M到 AC的距离为 h ,就2 a2sin750=2 h得 h =753,塔到直路ABC的最短距离为753；1313巩固 1 如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上一点,且OA=2 ,B 为半圆周长上任意一点,以AB 为边作等边ABC ,问B 点在什么位置时,四边形 面积 . OACB 的面积最大,并求出这个最大名师归纳总结 巩固 2 一艘海岸缉私艇巡逻至A 处时发觉在其正东第 4 页,共 5 页方向 20km 的海面 B处有一艘走私船正以vkm /h的速度向北偏东30 0 的方向逃跑,缉私艇以3vkm /h的速度沿的方向追击, 才能最快截获走私- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 船？如 v =403,就追击时间至少为分钟；简答名师归纳总结 1、 巩固 3 ；迁移 A ；2、,巩固 1 A , 巩固 2“ 倒行逆施”：函数 y= cosx 的图象按 - a =第 5 页,共 5 页（3,2）平移,选D ；迁移 （1）fx3sin2x21,（2）6,1 33 巩固 1 （0,3（0,3 ； 巩固 2450； 迁移 先求 A=3,再用正弦定理求出：b+c= 6sinB+6 ,36 , 于是a+b+c 6,9 , 也可以用余弦定理；4、 巩固 （1） 450,（ 2）212 R； 迁移 3 或 5；25、 巩固 1设AOBx,就SAOBsinx,SABC533 cos , x S OACB2sinx353,44当x5时,S OACB有最大值2543. 巩固 2 北偏东 600, 10；6- - - - - - -