2022年高考数学_冲刺必考专题解析_解析几何怎么解.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析几何题怎么解名师归纳总结 高考解析几何试题一般共有4 题2 个挑选题 , 1 个填空题 , 1个解答题 , 共计 30 分左第 1 页,共 9 页右, 考查的学问点约为20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 挑选题和填空题考查直线, 圆 , 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础学问. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要学问点, 通过学问的重组与链接, 使学问形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 求解有时仍要用到平几的基本学问, 这点值得考生在复课时强化. 例 1已知点 T 是半圆 O的直径 AB上一点, AB=2、OT=t 0<t<1,以 AB为直腰作直角梯形AABB,使AA垂直且等于AT,使BB垂直且等于BT,AB交半圆于P、Q两点,建立如下列图的直角坐标系. 1 写出直线AB的方程；（2）运算出点P、Q的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q. 讲解 : 通过读图 , 看出A', B' 点的坐标 . 1 明显A'1,1t, B1,1t,于是直线AB的方程为ytx1；（2）由方程组x2y21,ytx1,解出P0, 1、Q12t2,1t2；t1t2（3）k PT101, 0ttk QT12t20t1t21. 1t t22t1t2t1t由直线 PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P 发出的光线经点T 反射,反射光线通过点Q. 需要留意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 好玩吗 . 例 2已知直线l 与椭圆x2y21 ab0有且仅有一个交点Q,且与x 轴、 ya2b2轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P 的轨迹方程讲解： 从直线 l 所处的位置 , 设出直线 l 的方程 ,由已知,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为ykxmk0.代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得b2x2a2 k2x22kmxm2a2b2.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 化简后,得关于x 的一元二次方程学习必备欢迎下载a2k2b2x22 ka2mxa2m2a2 b20.m2.于是其判别式2 ka2m24 a2k2b2a2m2a2b24a2b2a2k2b2由已知,得=0即a2k2b2m2.在直线方程ykxm中,分别令y=0,x=0,求得Rm, 0 ,S0,m .k令顶点 P的坐标为（ x,y）,由已知,得xm,解得ky,kxym .my .的直线到原点的距代入式并整理,得a2b21, 即为所求顶点P 的轨迹方程22xy方程a2b21形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗. 22xy例 3 已知双曲线x2y21的离心率e233,过Aa ,0 ,B0,ba2b2离是3.2（1）求双曲线的方程；名师归纳总结 （2）已知直线ykx5 k0交双曲线于不同的点C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆第 2 页,共 9 页上,求 k 的值 . 讲 解 ： （ 1 ）c233,原 点 到 直 线AB ：xy1的 距 离aabdaabb2ab3. 2c2b1,a3.故所求双曲线方程为x2y21.3（2）把ykx5代入x23y23中消去 y,整理得 13k2x230kx780. 设Cx 1,y1,Dx2,y2,CD的中点是Ex 0y0,就x0x12x2115k2y0kx0515k2,3k3kBEy0011.xkx0ky0k0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即115k215kk2学习必备,又欢迎下载0,k27k0k3k3故所求 k=±7 . 为了求出 k 的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构 k 的方程 . 例 4 已知椭圆 C的中心在原点,焦点F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且F1PF2 的最大值为90° ,直线l 过左焦点F1与椭圆交于A、B 两点,ABF2 的面积最大值为12（ 1）求椭圆 C的离心率；（ 2）求椭圆 C的方程讲解：（1）设|PF 1|r 1|,PF2|r 1r2|,F 1F2|12c, 对PF 1F 2,由余弦定理 , 得1cosF 1PF20r1r2r24 c2r222 rr24 c24 a24 c214a224 c2122r 12r 1r 22r 1r22r 1r 2212e2,解出e2.2（2）考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情形： i 当 k 存在时,设l 的方程为ykxc 210. 椭圆方程为x2y2,1A x1,y 1,B x2,y2a2b2由e2.得a22 c2,b22c2. 2x22y2c20 于是椭圆方程可转化为将代入,消去y 得x22 k2xc 22 c20, 整理为 x 的一元二次方程,得 12k2x24ck2x2c2k就 x1、x2 是上述方程的两根且名师归纳总结 |x2x 1|22c12k2,c 1k2,22|k|2,也可这样求解：y 1|y2|第 3 页,共 9 页12 k|AB|1k2|x 2x 1|2212 k22 cAB边上的高h|F 1F 2|sinBF 1F2S1|F 1F2|1kS122 c 11k2|k|222c22k21k1kk4k4c|k|x 1x22c222 c21k2|k|2k412k2422 c24k11k22 c2.4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ii 当 k 不存在时,把直线2c |, AB | 2 c , S22xc学习必备欢迎下载c代入椭圆方程得y22 c21由知 S 的最大值为 2c 2由题意得 2c =12 所以 2c 26 2 b 2a 212 22 2故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：x y1 .12 2 6 2下面给出此题的另一解法 , 请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：x my c （这样设直线方程的好处是什么？仍请读者进一步反思反思 . ）2 2椭圆的方程为：x2 y2 ,1 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 a b由 e 2. 得：a 22 c 2, b 2c 2, 于是椭圆方程可化为：x 22 y 22 c 20 2把代入并整理得： m 22 y 22 mcy c 20于是 y 1, y 2 是上述方程的两根 . | AB | x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 1 m 2 | y 2 y 1 |1 m 2 4 m 2c 22 4 c 2 m 22 2 2 c2 1 m 2 , m 2 m 2AB边上的高 h 2 c2 , 1 m2 2从而 S 12 | AB | h 12 2 2m c2 12 m 1 2 cm 2 2 2 c 2 1m m2 22 2 c 2 1 2 c 2 .2 1m 1m 2 1 2当且仅当 m=0取等号,即 S max 2 c 2 .由题意知 2 c 212 , 于是 b 2c 26 2 , a 212 2 . 2 2故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：x y1 .12 2 6 22 2例 5 已知直线 y x 1 与椭圆 x2 y2 1 a b 0 相交于 A、B 两点,且线段 ABa b的中点在直线 l : x 2 y 0 上. （）求此椭圆的离心率；名师归纳总结 （2 ）如椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆x2y2y 24上,求此椭圆的方程. 第 4 页,共 9 页讲解 : （1）设 A、B两点的坐标分别为A x 1,yx1,得y 1,Bx2,. 就由x2y21a22 b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2b2x22a2xa学习必备2欢迎下载2a2b0, 依据韦达定理,得2 2x 1 x 2 2 2 a2 , y 1 y 2 x 1 x 2 2 2 2 b2 ,a b a b线段 AB的中点坐标为（a 2 a 2b 2 ,a 2 b 2b 2）. 2 2a 2 b 2 2 2 2 2 2由已知得 2 2 2 2 0 , a 2 b 2 a c a 2 ca b a b故椭圆的离心率为 e 2 . 2（ 2） 由 （ 1 ） 知 b ,c 从 而椭 圆 的 右 焦 点 坐标 为 F b , 0 , 设 F b 0, 关 于 直 线y 0 0 1 x 0 b y 0l : x 2 y 0 的对称点为 x 0 , y 0 , 就 1 且 2 0 ,x 0 b 2 2 2解得 x 0 3 b 且 y 0 4 b5 5由已知得 x 0 2y 0 24 , 3 b 2 4 b 2 4 , b 2 45 52 2故所求的椭圆方程为 x y 1 . 8 4例 6 已知 M：x 2 y 2 2 1 , Q 是 x 轴上的动点, QA,QB分别切 M于 A,B 两点,（1）假如 | AB | 4 2,求直线 MQ的方程；3（2）求动弦 AB的中点 P 的轨迹方程 . 讲解 :（1）由| AB|42,可得|MP|MA|2|AB|22 123221,由323射影定理,得|MB2 |MP|MQ|,得|MQ|,3在 Rt MOQ中,|22|OQ|MQ|2MO|22 35,故a5 或a5,所以直线 AB方程是名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2x5y250 或2x5y学习必备0;欢迎下载25（ 2）连接 MB,MQ,设Px,y,Qa0,由点 M,P,Q在始终线上,得2 y 2, * 由射影定理得 | MB | 2 | MP | | MQ |,a x即 x 2 y 2 2a 2 4 ,1 * 把（ *）及（ * ）消去a,并留意到 y 2,可得x 2 y 7 2 1 y 2 .4 16适时应用平面几何学问,这是快速解答此题的要害所在,仍请读者反思其中的奥妙 . 例 7 如图,在 Rt ABC中, CBA=90° , AB=2,AC= 2 ；DO AB于 O点, OA=OB,2DO=2,曲线 E 过 C点,动点 P在 E 上运动,且保持 | PA |+| PB | 的值不变 . （ 1）建立适当的坐标系,求曲线 E的方程；（ 2）过 D点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N且 M在 D、N之间,设 DM,DN试确定实数 的取值范畴讲解 :（1）建立平面直角坐标系 , 如下列图 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y =2点222222迹C 椭 O 圆B . 22动的轨是 A Px名师归纳总结 a2,b,1y2, c1 .x22y22,得第 6 页,共 9 页曲线 E 的方程是x21 . 2（2）设直线 L 的方程为ykx2, 代入曲线 E 的方程2k21x28kx60就设 M1（x ,1y1,Nx2,y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8 k24 2 k16学习必备欢迎下载0 , 名师归纳总结 i Lx 1x 228 k1,2 . , 第 7 页,共 9 页k2x 1x 22 k61.2与 y 轴重合时,|DM|1|DN|3ii L与 y 轴不重合时,由得k23.2又DMxDxMx 1, DNxDxNx2x2x 10,或x2x 10 ,01 , x 1x 22x 1x 221x 1x 2x2x 1xx2264 k21 3 232x 1x26 2k21k2而k23,63218 .2k21043 23216,13k241216, 21330,112 ,11 .3110,3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的取值范畴是11, . 学习必备欢迎下载3A值得读者留意的是,直线L 与 y 轴重合的情形易于遗漏,应当引起小心. 例8直 线 l 过 抛 物 线y22px p0 的 焦 点 , 且 与 抛 物 线 相 交 于x 1,y 1和Bx2,y2两点 . （1）求证：4x 1x2p2; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦讲解 : （1）易求得抛物线的焦点F P 2,0. CD,直线 l 不是 CD的垂直平分线 . 如 l x 轴,就 l 的方程为xP,明显x 1x 22 P. P,代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得24如l不 垂 直 于x轴 , 可 设ykx2x2P 12PxP20,就x 1x 2P2. k244, 就CD 的 垂 直 平 分 线 l的 方 程 为综上可知4x1x2p2. （ 2 ） 设C c2,c ,Dd2,d 且cd2p2pc24d2yc2dcdxc24d22pp假设 l 过 F,就0c2dcdp整理得2p2p只相交于原点 . 而 l 与抛物线有两个不同cd2p2c2d20p02p2c2d20,cd0. 22px这时 l 的方程为y=0,从而 l 与抛物线y的交点,因此 l 与 l 不重合, l 不是 CD的垂直平分线 . 此题是课此题的深化, 你能够找到它的原形吗？学问在记忆中积存,才能在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线大路 l 一侧的土石,通过大路上的两个道口 A和 B,沿着道路 AP、BP运往大路另一侧的 P 处, PA=100m,PB=150m, APB=60° ,试说明怎样运土石最省工？讲解 : 以直线 l 为 x 轴,线段 AB的中点为原点对立直角坐标系,就在 l 一侧必存在经A 到 P和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,就 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 名师归纳总结 即 |MA| |MB|=|BP| |AP|=50, 第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - | AB|507, 学习必备欢迎下载M在双曲线x2y26. 1的右支上 . A 沿 AP运往 P252252故曲线右侧的土石层经道口B 沿 BP运往 P 处,曲线左侧的土石层经道口处,按这种方法运土石最省工相关解析几何的实际应用性试题在高考中好像仍未涉及,范例,你知道吗？其实在课本中仍可找到典型的名师归纳总结 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 表达在重视才能立意, 强调思维空间 , 是用第 9 页,共 9 页活题考死学问的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合 , 分类争论 , 函数与方程等数学思想 , 以及定义法 , 配方法 , 待定系数法 , 参数法 , 判别式法等数学通法.- - - - - - -