2022年高考全国卷I数学试题及参考答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年一般高等学校招生全国统一考试文科数学（必修 +选修）本试卷分第卷（挑选题）和第卷（非挑选题）两部分第卷 1至 2 页,第卷 3 至 4 页考试终止后,将本试卷和答题卡一并交回第一卷留意事项：1答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5 毫 M 黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清晰,并贴好条形码请仔细核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每道题选出答案后,用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其他答案标 号在试卷卷上作答无效 3本卷共 12 小题,每道题5 分,共 60 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的参考公式：假如大事 A,B互斥,那么球 的 表面积公式P ABP AP BS4 R2其假如大事A,B相互独立,那么中 R 表示球的半径P A BP A P B 球的体积公式1 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如大事 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么V4 R 33k 次的概率其中 R 表 示 球n次独立重复试验中恰好发生的半径P k k C Pk1Pn kk01,2, , ,n一、挑选题（1）sin585o的值为2 2 C3 2 D 3A 2 2 B2【解读】本小题考查诱导公式、特别角的三角函数值,基础题；解：sin585osin360o225osin 180o45osin45o2,故挑选2A；2设集合 A= 4,5, 7, 9, B= 3,4, 7, 8, 9,全集U A B,就集合 e UA B 中的元素共有A 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个【解读】本小题考查集合的运算,基础题；（同理1）应选 A；也可解：AB3,4,5,7,8,9,AB4,7,9e UAB3,5,8用摩根定律：痧 U ABUA . UB （3）不等式x11的解集为x1（A）x0x1x x1（B）x0x1（C）x1x0（D）x x0【解读】本小题考查解含有肯定值的不等式,基础题；2 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：x11|x1|x1|x1 2x1 204x0x0,x1故挑选 D；（4）已知 tana=4,cot=1 3,就 tana+= A7 11 B11 C 7 13 D 713【解读】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基 础题；解：由题tan3,tan1tantan437,故挑选tantan11211B；（ 5）设双曲线x2y21a , 0 b 0的渐近线与抛物线yx 相a2b2切,就该双曲线的离心率等于（A）3（B）2 （C）5（D）6【解读】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置 关系、双曲线的离心率,基础题；解：由题双曲线x2y21a , 0 b 0的一条渐近线方程为ybx,a2b2a代入抛物线方程整理得ax2bxa0,因渐近线与抛物线相切,所以b24 a20,即c25 a2e5,故挑选 C；（6）已知函数f x 的反函数为g x 1 2lgxx0,就f1g 1 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解读】本小题考查反函数,基础题；解 ： 由 题 令12lgx1得x1, 即f1 1, 又g 11, 所 以3 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - f1g 12,故挑选 C；（7）甲组有 5 名男同学、 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学,如从甲、乙两组中各选出2 名同学,就选出的4 人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种（B）180 种（C）300 种（D）345种【解读】本小题考查分类运算原理、分步计数原理、组合等问题,基础题；解：由题共有C2C1C1C1C1C2345,故挑选 D；a,b562536（8）设非零向量 a、 b、 c满意|a|b|c|, abc,就（C）60°（D）30°（A）150°（B）120°【解读】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题；解：由向量加法的平行四边形法就,知a 、 b可构成菱形的两条相邻边,且 a、 b为起点处的对角线长等于菱形的边长,故挑选 B；（9）已知三棱柱 ABC A B C的侧棱与底面边长都相等,A 在底面ABC 上的射影为 BC 的中点,就异面直线 AB 与 CC 所成的角的余弦值为A3 4 B 5 4 C 4 D 3【解读】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角,基础题；（同理 7）解：设 BC 的中点为 D,连结1A D,AD ,易知A AB 即为异面直线AB与CC 1所 成的 角定 理,易知, 由三 角余 弦4 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - coscosA ADco sDABADAD3.应选 D A AAB4 10 假如函数y3cos2x的图像关于点4,0中心对称,那么3的最小值为A6 B 4 C 3 D2【解读】本小题考查三角函数的图象性质,基础题；解: 函数y3cos 2xl的图像关于点4,0 中心对称324k2k13kZ 由此易得| min6.应选 A 36（11）已知二面角为 600 ,动点 P、Q 分别在面,内,P 到的距离为3 ,Q 到的距离为 2 3 ,就 P、Q 两点之间距离的最小值为【解读】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题,综合题；（同理 10）解:如图分别作QA于A ACl于C PB于B ,C；l ,线段PDl于D,连CQ BD就ACQPBD60 ,AQ2 3,BP3,ACPD2又PQAQ2AP212AP22 3当且仅当AP0,即点 与点P重合时取最小值；故答案选（12）已知椭圆C:x2y21的右焦点为F,右准线 l ,点 A2AF 交 C 于点 B；如FA3 FB ,就 AF = A 2 B 2 C 3 D3 【解读】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础 5 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题；解：过点 B 作 BMl 于 M,并设右准线 l 与 X轴的交点为 N,易知FN=1.由题意FA3 FB , 故|BM|2. 又由椭圆的其次定义 , 得3|BF|222|AF|2. 应选 A2332022 年一般高等学校招生全国统一考试文科数学（必修 选修）第二卷留意事项：1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5 毫 M 黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清晰,然后贴好条形码请仔细核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第二卷共 7 页,请用直径 0.5 毫 M 黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试卷卷上作答无效 3本卷共 10小题,共 90 分二、填空题：本大题共4 小题,每道题5 分,共 20 分把答案填在题中横线上（留意：在试卷卷上作答无效 ）（ 13 ） x y 10 的 展 开 式 中 ,x y 的 系 数 与 x y 的 系 数 之 和 等 于_. 6 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解读】本小题考查二项绽开式通项、基础题；（同理 13）解:因Tr11rCrx10ryr所以有3 C 107 C 103 2 C 10240S 972, 就10（ 14 ） 设 等 差 数 列 a n的 前 n 项 和 为S ； 如a 2a4a9_. 【解读】本小题考查等差数列的性质、前 14）n 项和,基础题；（同理解:a n是等差数列 ,由S 972,得S 99 a 5,a 58a 2a 4 a 5a 43 a 524；a 9 a 2a 9a 4a 615已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面 得 到 圆M , 如 圆M 的 面 积 为3 _. , 就 球O 的 表 面 积 等 于【解读】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题；解：设球半径为R ,圆 M 的半径为 r ,就r2y33,即r23由题得R2R23,所以R244R216；0所截得的线段2（16）如直线 m被两平行线l 1:xy10 与l2:x的长为22,就 m的倾斜角可以是15 30 45 60 75其中正确答案的序号是 .（写出全部正确答案的序号）【解读】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思想；解：两平行线间的距离为d|31|2,由图知直线m 与1l 的夹角117 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为30 ,1l的倾斜角为45 ,所以直线 m的倾斜角等于30o450750或45o300150；故填写或三解答题：本大题共 过程或演算步骤 . 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明 ,证明17本小题满分 10 分留意:在试卷卷上作答无效 设等差数列 a 的前 n 项和为 ns ,公比是正数的等比数列 b 的前 n项和为 T ,已知 a 1 1, b 1 3, a 3 b 3 17, T 3 S 3 12, 求a n , b n 的通项公式. 【解读】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 n项和,基础题；解：设an的公差为 d ,数列b n的公比为qb n0,n 21；1,3由a 3b 317得12 d3 q217T 3S 312得2 qqd4由及q0解得q2 d2故所求的通项公式为a n12 n12 n18本小题满分 12 分（留意：在试用题卷上作答无效）a2在2ABC 中 , 内 角 A、 、C的 对 边 长 分 别 为 a、 、c. 已 知c2b ,且 sinB4cosAsinC ,求 b . 【解读】本小题考查正弦定理、余弦定理；解：由余弦定理得a2c2b22 bccosA,又a2c22 b ,b0,b22bccosA2 b,8 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即b2ccosA2由正弦定理得b csinBAsinCsinC又由已知得sinB4cossinB4cosA,sinC所以b4 cosA故由解得b 419本小题满分 12 分（注决：在试卷卷上作答无效）如图,四棱锥SABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD底面ABCD ,AD2,DCSD2,点M 在侧棱SC 上,ABM60（）证明： M 是侧棱 SC 的中点；（）求二面角SAMB的大小；（同理 18）解法一：（I ）作ME CD 交 SD 于点 E,就 ME AB , ME平面 SAD 连接 AE,就四边形 ABME为直角梯形作 MFAB ,垂足为 F,就 AFME为矩形2x 22设MEx ,就 SEx ,AEED2AD2MFAE2x22,FB2x9 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由MFFBtan 60 ,； 得2x2232x解得x1ME1DC1,从而即ME2所以 M 为侧棱 SC 的中点（）MBBC2MC22,又ABM60 ,AB2, 所以ABM 为等边三角形,又由（）知 M为 SC中点B GSM2,SA6,AM2,故SA 2SM2AM2,SMA90取AM 中 点G, 连 结BG, 取SA 中 点H, 连 结GH, 就A MG HA M , 由此知BGH 为二面角 SAMB 的平面角连接 BH ,在BGH 中,BG3AM3,GH1SM2,BHAB2AH2222222所以cosBGHBG2GH2BH262BGGH3二面角 SAMB 的大小为arccos63解法二 : 以 D为坐标原点,射线 系 D-xyz DA为 x 轴正半轴,建立如下列图的直角坐标设A 2,0,0,就B 2,2,0,C0,2,0,S 0,0,2（）设SMMC0, 就,12M0,2,12,MB2,12110 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又AB0,2,0,MB AB60故MBAB|MB| |AB| cos6022即14 221221解得1,即 SMMC所以 M为侧棱 SC的中点（II ）由 M 0,1,1, 2,0,0,得 AM的中点 G 2 1 1, , 2 2 2又 GB 2 3, , 1, MS 0, 1,1, AM 2,1,12 2 2GB AM 0, MS AM 0所以 GB AM MS AM因此 GB MS 等于二面角 S AM B 的平面角GB MS 6cos GB MS| GB | | MS | 3所以二面角 S AM B 的大小为 arccos 63 20（本小题满分 12 分）（留意：在试卷卷上作答无效 ）甲、乙二人进行一次围棋竞赛,商定先胜3 局者获得这次竞赛的成功,竞赛终止；假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局竞赛结果相互独立；已知前 2 局中,甲、乙各胜 1局；（）求再赛 2 局终止这次竞赛的概率；11 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）求甲获得这次竞赛成功的概率；【解读】本小题考查互斥大事有一个发生的概率、相互独立大事同时发生的概率,综合题；解：记“ 第 i 局甲获胜” 为大事 Ai i 3 4, , 5 ,“ 第 j 局乙获胜” 为大事 jB j 3,4,5；（）设“ 再赛 2 局终止这次竞赛” 为大事 A,就A A 3 A 4 B 3 B 4,由于各局竞赛结果相互独立,故P A P A 3 A 4 B 3 B 4 P A 3 A 4 P B 3 B 4 P A 3 P A 4 P B 3 P B 4 0 . 6 0 . 6 0 . 4 0 4. 0 . 52（）记“ 甲获得这次竞赛成功” 为大事B,因前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得这次竞赛成功当且仅当在后面的竞赛中,甲先胜 2 局,从而BA 3A 4B 3A 4A 5A 3B 4A 5,由于各局竞赛结果相互独立,故P B P A 3 A 4 B 3 A 4 A 5 A 3 B 4 A 5 P A 3 A 4 P B 3 A 4 A 5 P A 3 B 4 A 5 P A 3 P A 4 P B 3 P A 4 P A 5 P A 3 P B 4 P A 5 0 6. 0 . 6 0 . 4 0 6. 0 . 6 0 . 6 0 . 4 0 6. .0 648（21）（本小题满分 12 分）（留意：在试卷卷上作答无效 ）已知函数 f x x 43 x 26 . （）争论 f x 的单调性；（）设点 P 在曲线 y f x 上,如该曲线在点 P 处的切线 l 通过12 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标原点,求 l 的方程【解读】本小题考查导数的应用、函数的单调性,综合题；解：（）f ' 4 x 36 x 4 x x 6 x 62 2令 f ' 0 得 6x 0 或 x 6；2 2令 f ' 0 得 x 6 或 0 x 62 2因 此 ,f x 在 区 间 6 , 0 和 6, 为 增 函 数 ； 在 区 间2 2 , 6 和 0 , 6 为减函数；2 2（）设点 P x 0 , f x 0 ,由l 过原点知,l 的方程为 y f ' x 0 x,因此 f x 0 x f ' x 0 ,即 x 0 43 x 0 26 x 0 4 x 0 36 x 0 0,整理得 x 0 2 1 x 0 2 2 0,解得 x 0 2 或 x 0 2因此切线 l 的方程为 y 2 或 y 2 2 x 22（本小题满分 12 分）（留意：在试卷卷上作答无效 ）如 图 , 已 知 抛 物 线 E y 2 x 与 圆 M : x 4 2y 2r 2 r 0 相 交 于A、B、C、D 四个点；（）求 r 的取值范畴（）当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交点 P的坐标；解： （）将抛物线E y2x 代入圆M: x2 42 yr2 r0的方程,13 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 消去 y ,整理得x27x16r20E 与 M 有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根x 1、x 2x 、B x 1,x 1、C x 2,x 2、 72416r20由此得x 1x270x 1x 216r20解得15r2164又r0所以 r 的取值范畴是15,42（II ） 设四个交点的坐标分别为A x 1,D x 2,x 2；7,x x 216r ,r15, 4就由（ I）依据韦达定理有x 1x 22就S1 2 | 2x2x 1| x 1x 2|x2x 1| x 1x 2S2x 1x 224x x 2x 1x22x x272 16r24r215令16r2t ,就2 S72 2 72 下面求S 的最大值；方法 1：由三次均值有：2 2 1S 7 2 7 2 7 2 7 2 14 4 21 7 2 t 7 2 t 14 4 t 3 1 28 3 2 3 2 3当 且 仅 当 7 2 1 4 t , 即 t 7 时 取 最 大 值 ； 经 检 验 此 时6r 15, 4 满意题意；2方 法 2 ： 设 四 个 交 点 的 坐 标 分 别 为 A x 1 , x 1 、B x 1 , x 1 、14 / 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - C x 2,x 2、D x 2,x 2就直线 AC、BD 的方程分别为yx 1x2x 1x1xx 1,yx 1x 2x 1xx1x2x 2x 1解得点 P的坐标为x1x20, ；t0,7设tx 1x2,由t16r2及（）得2由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积S12x12x2|x1x2|S2,得2就S2x 12x 1x2x2x 1x224x 1x2将x 1x 27,x1x2t代入上式,并令ft7,ft72 t272t8t328t298t3430t2f' 24 t256 t9822 t76 t7,令f' 0得t7,或t7（舍去）627t7时,f' 0当0t7时,f' 0；当t7时f' 0；当6662故当且仅当t7时,ft有最大值,即四边形ABCD 的面积最大,6故所求的点 P 的坐标为7,0 615 / 15 名师归纳总结 - - - - - 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