2022年高考数学二轮专题复习：专题三函数.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年高考数学 < 文）复习专题三函数核 心 背 记一,函 数 的 概 念 及 定 义 域、值 域< 一）函 数 的 概 念1用变量的观点来描述函数：在一个变化过程中,有两个变量 z 和 y,假如给定了一个 z值,相应地就 _ ,那么我们就称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量2. 用对应的观点来描述函数：设集合 A 是一个 _ ,对 A 内任意数 z,依据确定的法就,都有 _ ,就这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数 -记作 y=f z>,xA 其中 z 叫做自变量,自变量取值的范畴 < 数集 A）叫做这个函数的定义域全部函数值构成的集合叫 做 这 个 函 数 的 值 域3. 根 据 函 数 的 定 义 , 要 检 验 给 定 的 两 个 变 量 之 间 是 否 具 有 函 数 关 系 , 只 要 检 验 ：1>_；2>_ <二）映射与函数1·设 A、B 是两个非空的集合,假如依据某种对应法就f 对 A 内任意 个元 Bz,在 B 中有_ 与 z 对 应 , 就 称 , 是 集 合 A 到 集 合 B 的 映 射 , 记 作 fA-B: 这 时 称 y 是 x 在 映 射 f 的 作 用 下 的 象 , 记 作 fx> x 称 作 y 的 原 象 ,其中 A 叫做映射,的定义域 函数定义域的推广 > ,由全部象 fx> 构成的集合叫做映射 f 的值 域,通 常 记 作 fA>2一一映射：假如映射,是集合A 到集合 B 的映射,并且 _. 这时我们说这两个集合的元 素 之 间 存 在 一 一 对 应 关 系 , 并 把 这 个 映 射 叫 做 从 集 合 A 到 B 的 一 一 映 射 3·映 射 是 _ 的 推 广,函 数 是-一 种 特 殊 的 _二 函 数 的 表 示 方 法 及 图 象< 一）函 数 的 表 示 方 法1·一个函数 y=f x> 除直接用自然语言来表达外,常用的方法仍有 _ 、_ 和_ _ 2 列 表 法 通 过 列 出 _ 与 _ 的 表 来 表 达 函 数 关 系 的 方 法 3. 图 象 法：用 _ 表 示 函 数 的 方 法4解读法：假如在函数 y=f<x ） x A> 中, fx> 是用 _ 或_ ）来表达的,这种表达 函 数 的 方 法 叫 做 解 读 法 < 也 称 公 式 法）< 二）分 段 函 数l ·在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同 _ 区间,有着不同的 _, 这样的函数叫做分段 函 数2复合函数：如 y=fu> ,u=gx> ,xa,b> u<m ,n）,那么 y=f g<x> 称为复合 函 数 , u 称 为 中 间 变 量 , 它 的 取 值 范 围 是 g<x> 的 值 域 < 三）函数图象对于一个函数 y=fx> ,假如把其中的自变量 x 视为直角坐标系上的某一点的_ ,把对应的唯独的函数值 y 视为此点的 _ ,那么,这个函数 y=fx> ,无论 x取何值,都同时确定了一个点,这些点在平面上组成的_ 就是此函数的图象,简称图象三、函 数 的 单 调 性1. 增 函 数 与 减 函 数 的 概 念一般地,设函数 y=fx> 的定义域为 A,区间 McA,假如取区间 M 中的任意两个值 X1,X2,当转变量 Ax -XZ -Xl >0 时,有 _ ,那么就称函数 y=fx> 在区间 M 上是增函数；当转变量 A - X2 一 Xl >O ,有 _ ,那么就称函数 y=fx> 在区间 M 上是减函数1 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2函数单调性的概念假如一个函数在某个区间 M 上是 _,就说这个函数在这个区间上具有单调性 <区间M 称 为 单 调 区 间）四,函 数 的 奇 偶 性 一 > 奇 函 数 与 偶 函 数 的 概 念1奇函数：设函数 y=fx> 的定义域为 D,假如对 D 内的任意一个 x,都有 _ ,且_ ,就 这 个 函 数 叫 做 奇 函 数2偶函数；设函数 y=gx> 的定义域为 D,假如对 D 内的任意一个 x,都有 _ ,且_,就 这 个 函 数 叫 做 偶 函 数< 二）奇 函 数 与 偶 函 数 的 图 象 特 征1.假如一个函数是奇函数,就它的图象是_ 对称图形；反之,假如一个函数的图象是_对称图形,就这个函数县奇函数2假如一个函数是偶函数,就它的图象是_ 对称图形；反之,假如一个函数的图象关 于 _ 对 称,就 这 个 函 数 是 偶 函 数,五、一 次 函 数 和 二 次 函 数,函 数 与 方 程< 一）一 次 函 数1函数 _ 叫做一次函数 < 又叫线性函数）,它的定义域为 _ ,值域也为_2-次函数 y=kx+bk O>的图象是 _ ,可以简写成直线 y=kx+b. 其中 k 叫做该直线的 _,b 叫 做 在 y 轴 上 的 截 距3一 次 函 数 的 性 质2>k>O 时,一 次 函 数 是 _；k<0 耐,一 次 函 数 是 _ 3>b-0 时 , 一 次 函 数 是 _ ； b-+-O 时 , 一 次 函 数 既 不 是 _ , 也 不 是 _ 4> 直 线 y=kx+b 与 z 轴 的 交 点 为 _ ； 与 y 轴 的 交 点 为 _< 二）二 次 函 数1函 数 _ 叫 做 二 次 函 数,它 的 定 义 域2 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - <三）函数的零点1-般地,假如函数 y=fx> 在实数 a 处的值 _ ,即 f<a ）=O ,就 a 叫做这个函数的零点2零 点 的 性 质：1> 当 函 数 的 图 象 通 过 零 点 时 < 不 是 二 重 零 点 ） , 函 数 值 _ 2> 相 邻 两 个 零 点 之 间 的 所 有 函 数 值 _ - 3假如函数 y=fx 在一个区间 a ,6 上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值_ ,即 fa>*fb><O,就这个函数在这个区间上至少有 _ 个零点,即存在一点 x<a ,b）,使 fxo>=0这样的零点叫做 _ ,有时曲线通过零点时不变号,这样的零点叫 做 _ 六、指 数 函 数,对 数 函 数、幂 函 数< 一）指 数 与 指 数 函 数 的 概 念1整 数 指 数1>an 叫 做 a 的 _,a 叫 做 幂 的 _ _,n 叫 做 幂 的 _ 2> 正 整 数 指 数 幂 的 运 算 法 就 aman=_；3 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - <二）对数与对数函数的概念1在指数函数 y=ax<a>O,且 a 1）中,对于实数集 R 内的每一个值 z,在正实数集内都有唯独确定的值 y 和它对应；反之,对于正实数集内的每一个确定的值 y,在 R 内都有唯 一 确 定 的 值 x 和 它 对 应,幂 指 数 x 又 叫 做 _2根 据 对 数 的 定 义,可 得 到 对 数 恒 等 式：_3. 根 据 对 数 的 定 义 , 对 数 logaNa>0, 且 a 1> 具 有 下 列 性 质 ：1>_；2>_；3>_4 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 常 用 对 数 ： 以 _ 为 底 的 对 数 叫 做 常 用 对 数 , 记 作log10 N , 简 记 为 _ 5对,数N>O的,运算法）就1>logaMN>=_<M>O,a>0且a 1区间O+oo>上是_函数；<3> 假如 a<0 时,就幂函数在区间 0+co> 上是 _ 函数；在第一象限内,当 z 从右边趋向于原点时,图象在了右方无限地靠近 _ 轴,当 z 趋于 +；时,图象在 x 上方无限地 逼 近 _ 轴七、导 数 及 其 应 用< 一）导 数 的 概 念 及 运 算瞬时变化率：设函数 y=fx> 在 xo 邻近有定义,当变量在 x=xo 邻近转变x 时,函数值相应地转变y=fxo 十 x> -fxo> ,假如当x 趋近于 O 时,平均变化率 _ 趋近于一个_l,就 数 l 称 为 函 数 fx> 5 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在点 xo 的瞬时变化率,记作当x_ 时 fxo+ x> -fxo> x_,仍 可以说：当xO 时,函数平均变化率的极限等于函数在 x 的瞬时化率 l,记作 _ 2.某点处的导数：函数在 Xo 的_ ,通常就定为 fx> 在 x= xo 处的导数,并记作 _ ,于 是 可 作 _-f1Xo>3导函数：假如 fx> 在开区间 <a ,b）内 _x 导数 都存在,就称 fx> 在区间 a,b> 可导这样,对开区 a,b> 内每个值 x,都对应一个确定的 _ ,于是在区间 <a , b）内,f1x> 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y=fx> 的_ ,记为 _ 导函数通常简称为 _ 今后,如不特殊指明求某一点的导数,求导数指的就是求导函数4导数的几何意义：曲线 y=fx> 过点 xo,f xo> ）的切线的 _ 等于 f1<xo ）< 二）导 数 的 应 用 1用 函 数 的 导 数 判 断 函 数 增 减 性 的 法 就设 函 数 y=fx> 在 区 间 a,b> 内 可 导,l> 如 果 在 <a, b ） 内 , _ , 就 fx> 在 此 区 间 单 调 增 加 的 ；2> 如 果 在 <a, b ） 内 ,_, 就 fx> 在 此 区 间 单 调 减 少 的 ；3> 假如函数 y=fx> 在 x 的某个开区间内总有 _ ,就 fx> 在这个区间上严格增加,这时该函数在这个区间为严格增函数；假如函数当自变量 x 在某区间上,总有 _ ,就 f x>在 这 个 区 间 为 严 格 减 函 数2极 大 < 小）值1> 已知函数 y=fx> 及其定义域内一点 x,对于存在一个包含 xo 的开区间内的全部点 x,6 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如都有 _ ,就称函数f x> 在点 xo 处取极大值,记作y 极大值 =_ ,并把 _ 称为函数 fx> 的一个极大值点；假如都有 _ ,就称函数 fx> 在点 xo 处取微小值,记作 y小 值 _ ,并 把 _ 称 为 函 数 f x> 的 一 个 极 小 值 点2> 极 大 值 与 极 小 值 统 称 _ , 极 大 值 点 与 极 小 值 点 统 称 _ 3> 求 可 导 函 数 y=fx> 极 值 的 步 骤 如 下： 求 _ _； 求 方 程 _ 的 所 有 实 数 根；对每个实数根进行检验,判定在每个根的左右侧,_ 的符号如何变化假如 f1x> 的符号由正变负,就 fxo> 是 _ ；假如 f1x> 的符号由负变正,就 fxo> 是 _ 假如, f1x>=0 根 x=xo 的左右侧符号不变,就 fxo> 不是 _ 这就是说 fx>=O 的根不一 定 是 函 数 的 _3. 求 可 导 函 数 y=fx> 在 a ,b 的 最 大 < 小）值 的 步 骤 如 下1> 求 f x> 在 开 区 间 <a,b）内 所 有 一 点；2> 运算函数 fx> 在_ 点和 _ 点的函数值,其中最大的一个为 _ 值,最小的一个 为 _ 值4求 实 际 问 题 的 最 大 < 小）值,主 要 步 骤 如 下1> 建 立 实 际 问 题 的 _ , 写 出 实 际 问 题 中 _ 之 间 的 函 数 关 系 _ ；2>求函数的导数_,解方程_,求出_点；3 > 比 较 函 数 在 区 间 _ 点 和 在 _ 点 的 取 值 大 小 , 确 定 其 最 大 < 小 ） 者 为 最_<_）值,参 考 答 案一、 一 > 1确 定 唯 一 的 一 个 y 值2非 空 的 数 集 唯 一 确 定 的 数 值 y 与 它 对 应31> 定义域和对应法就是否给出 2> 依据给出的对应法就,自变量 x 在其定义域中的每一 个 值,是 否 都 能 确 定 唯 一 的 函 数 值 y < 二）1-一 个 且 仅 有 一 个 元 素 y 2 对 于 集 合 B 中 的 任 意 一 个 元 素 , 在 集 合 A 中 都 有 且 只 有 一 个 原 象3函 数 概 念 映 射二、 一 > 1列 表 法 解 读 法 图 象 法2自 变 量 对 应 函 数 值3图 形4代 数 式 解 读 式 二 >1取 值 对 应 法 就< 三）横 坐 标 纵 坐 标 图 形7 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 规 律 探 究1对 于 映 射 定 义 的 理 解,应 注 意 以 下 几 点：1> 集 合 A 与 B 必 须 是 非 空 的 集 合 , 集 合 中 的 元 素 可 以 是 任 何 事 物 ；2> 对应关系是有 “ 方向 ”的,从集合 A 到集合 B 的对应与从集合 B 到集合 A 的对应是不一样 的；3>A 中 元 素 的 象 的 集 合 是 集 合 B 的 子 集2求 函 数 定 义 域 一 般 有 三 类 问 题1> 已 给 出 函 数 解 读 式 ： 函 数 的 定 义 域 是 使 解 读 式 有 意 义 的 自 变 量 的 取 值 集 合 ；2> 实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解读式有意义外,仍应考虑使实际问题有意义；3> 已知 fx> 的定义域求 fgx> 的定义域或已知 fgx> 的定义域求 fx> 的定义域：把握基本初等函数 < 特殊是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；,如已知 fx> 的定义域 a ,b ,其复合函数 fgx> 的定义域应由口 agx> b 解出3求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法就和定义域共同打算的其类型依解读式求的特常点分可成分三的类域：1>求见函数值域；2>由常见函数复合而的函数值；3>求由常见函数作某些“运算”而得函数域的值域,直接法：利用常见函数的值来求,10 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 换 元 法 ：通过变量代换转化为能求值域的函数三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域基本不等式法：转化成如yx+ 喜 < 忌 >o ）的形式,利用基本不等式公式求值域, 单 调 性 法 ： 函 数 为 单 调 函 数 , 可 根 据 函 数 的 单 调 性 及 定 义 域 求 值 域 数 形 结 合 ； 根 据 函 数 的 几 何 图 形 , 利 用 数 形 结 合 的 方 法 来 求 值 域 4求 函 数 解 读 式 的 题 型1> 已 知 函 数 类 型,求 函 数 的 解 读 式：待 定 系 数 法2> 已 知 fx> 求 fx> 或 已 知 fgx> 求 f x>： 换 元 法 、 配 凑 法 3> 已 知 函 数 图 象,求 函 数 解 读 式4>fx> 满意某个等式,这个等式除 fx> 外仍有其他未知量,需构造其他等式：解方程组法5> 应 用 题 求 函 数 解 读 式 常 用 方 法 有 待 定 系 数 法 等5分段函数是一个函数,而不是多个函数,它是一类表达形式特殊的重要函数,跟一般函数一样求存在下列图一些常见式问题：求自作量解取值读取象范围 ；变值的或；求函数值的取值或取值范围；函数性质；最值性、奇偶性、单调性、反函数的存在性等争论、求解与应用分段函数的定义域是各段函数自变量取值范畴的并集,分段函数的值域是各段函数值域的并集分段函数的求值要特殊留意自变量的取值范畴,要依据范畴挑选相应的对应法就求值6对于函数的单谓性要注意以下两点：1> 函 数 的 单 调 性 是 在 定 义 域 内 的 某 个 区 间 上 的 性 质 , 是 函 数 的 局 部 性 质 2>必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,X2,11 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 减函数fx>-增函数gx>是减函数10. 已知函数的单调性,求字母的取值范畴时,经常采求导数的方法与不等式有关系的问题,常 常 采 用 单 调 的 定 义 方 法 解 决11. 奇函数、偶函数的代数特点我们可以敏捷变通,即 fx>+f<-x）=0 是 fx> 为奇函数的充要条件 f-x> -fx> =0 是 fx> 为偶函数的充要条件,如奇函的定义域含有数 0,就必有f0> 一 012 也可以利用函数图象的对称性去判定函数的奇性,假如 fx> 是偶函数,那么 fx>= f|x|>. 13. 判定函数的奇偶性,包括判定一个函数是奇函数仍是偶函数,或者既不是奇函数也不是偶函数,或者既是函数又是偶函数在解题过程中要留意挖掘函数的周期和奇偶性特点,为解决问题提供方便14. 二次函数是最重要的初等函数之一,有着丰富的内涵二次函数的争论对近现代数学的进展影响深远二次函数是历年来数学竞赛和高考中的重点考查内容,同时,它是联系一数学和其他学科的重要的数学基础之12 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15. 用待定系数法求二次函数的解读式时,如经过三就用一般式；如给出了顶点,就用顶点式；如 已 知 与 x 的 两 个 交 点,就 选 用 两 点 式16 对于二次函数 y=ax2 +bx+ca>0>,其图象开口向,如对应方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 xl, X2 X1<X2> ,不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 x|x>x2 或 x<x1 ）,不等ax2+bx+c<0 的 解 集 为 x|x1<x<x2|解决与二次函数有关的问题,关键是通过配方得出顶点 <-b/2a,4ac-b2>/4a）,由此可知函 数 的 图 象、对 称 轴、单 调 区、最 值 和 判 别 式 等17.二次函数在区间上的最值问题,要充分利用二次函数的图象,同时考虑对称轴与区间的相对位置及图开口方向18. -元-次方程根的分布问题是函数、方程、不中的重要内容,解题的思想方法是：设二次方程对应次函数,然后利用其图象的特点,对判别式、给定区间的函数值、对称轴与该区间的关系作全面分析、列出式,从而解决问题19. 由于许多问题都是要化归为二次函数来处理多重要内容和方法,如配方法、换元法、分类争论法、程、解不等式、证明不等式、求函数的最值、抛物线问是迹问题等都与二次函数密切相关20 利用数形结合思想解决二次函数、一元N 次）一元二次不等式等相关的问题,其核心是 利 用 二 次 函 象 解 决 方 程 、 不 等 式 问 题 , 这 是 函 数 思 想 应 用 的 一 个 方 面 实际应用参考答案1 【 答 案 】 A 【 命 题 立 意 】 本 题 考 查 导 数 的 运 算 及 其 几 何 意 义 的 应 用 【解题思路】先判定知点1 , 0> 在曲线上,即为切点,又由于f'x>=3x2 -2 ,故,f'1>=1,即切线的斜率为1,从而切线方程为y-r-l 【举一反三】过一点的切线方程在利用导数求解时,有两类题型：一类是该点即为切点,其次类是该点不是切点,解题过程中一定要注意13 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2【答案B 【命题立意】此题考查函数单调性的判定,要求考生敏捷应用判定单调性的方法 i 定义或导 数 或 图 象 解 决 问 题【解题思路】函数 y-x2 为幂函数,由幂函数的图象与性质可知函数在区间 0 ,1> 上为增函数；函数 ylog1/3x+l> 图象是由函数 y= log 1/2 平移得到,故其在 0 ,1> 上为减函数；结合图象可知函数 y= |x-l| 在区间 0 ,1> 上为减函数；函数 y= 2x+1 为增函数,不 符 合 条 件,综 上 只 有 符 合 条 件3【命题立意】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数争论函数性质的能 力 , 考 查 分 类 讨 论 思 想 、 数 形 结 合 思 想 和 等 价 变 换 思 想 14 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 申明：全部资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途；17 / 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页