2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）-附答案.docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合M=2,4,6,8,10，N=x|1<x<6，则MN=(     )A. 2,4B. 2,4,6C. 2,4,6,8D. 2,4,6,8,102. 设(1+2i)a+b=2i，其中a，b为实数，则(   )A. a=1，b=1B. a=1，b=1C. a=1，b=1D. a=1，b=13. 已知向量a=(2,1)，b=(2,4)，则|ab|=(   )A. 2B. 3C. 4D. 54. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：)，得如下茎叶图：则下列结论中错误的是(   )A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65. 若x，y满足约束条件x+y2,x+2y4,y0,则z=2xy的最大值是(   )A. 2B. 4C. 8D. 126. 设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=()A. 2B. 22C. 3D. 327. 执行右边的程序框图，输出的n=()A. 3B. 4C. 5D. 68. 右图是下列四个函数中的某个函数在区间3,3的大致图像，则该函数是(   )A. y=x3+3xx2+1B. y=x3xx2+1C. y=2xcosxx2+1D. y=2sinxx2+19. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A. 平面B1EF平面BDD1B. 平面B1EF平面A1BDC. 平面B1EF/平面A1ACD. 平面B1EF/平面A1C1D10. 已知等比数列an的前3项和为168，a2a5=42，则a6=()A. 14B. 12C. 6D. 311. 函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间0,2的最小值，最大值分别为(      )A. 2，2B. 32，2C. 2，2+2D. 32，2+212. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(   )A. 13B. 12C. 33D. 22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记Sn为等差数列an的前n项和.若2S3=3S2+6，则公差d=          14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为          15. 过四点(0,0)，(4,0)，(1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为          16. 若f(x)=ln|a+11x|+b是奇函数，则a=          ，b=          三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(AB)=sinBsin(CA)(1)若A=2B，求C:(2)证明：2a2=b2+c218. 如图，四面体ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E为AC的中点(1)证明：平面BED平面ACD;(2)设AB=BD=2，ACB=60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积19. 某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：m2)和材积量(m3)，得到如下数据：样本数号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得i=110xi2=0.038，i=110yi2=1.6158，i=110xiy1=0.2474(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值附：相关系数r=i=1nxixyiyi=1nxix2i=1nyiy2，1.8961.37720. 已知函数f(x)=ax1x(a+1)lnx.(1)当a=0时，求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(0,2)，B(32,1)两点(1)求E的方程;(2)设过点P(1,2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH，证明：直线HN过定点22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x=3cos2ty=2sint(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin(+3)+m=0(1)写出l的直角坐标方程：(2)若l与C有公共点，求m的取值范围已知a.b.c为正数，且a32+b32+c32=1，证明：(1)abc19(2)ab+c+ba+c+ca+b12abc答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】 本题考查了集合的交集运算，属于基础题【解答】 解： M=2,4,6,8,10 ， N=x|1<x<6 ， MN=2,4   2.【答案】A【解析】【分析】 本题考查了复数代数形式的运算，涉及复数相等的条件，属基础题【解答】 解： (1+2i)a+b=2i ，其中 a ， b 为实数， (a+b)+2ai=2i ， 即 a+b=02a=2 得 a=1b=1 ，故 A 正确  3.【答案】D【解析】【分析】 本题主要考查向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算，属于基础题【解答】 解： a=(2,1) ， b=(2,4) ， ab=(4,3) ab=(4,3)=42+(3)2=5   4.【答案】C【解析】【分析】 本题考查了茎叶图，平均数，中位数，用频率估计概率，属于基础题【解答】 解：首先将茎叶图的数据还原： 甲同学 16 周各周课外体育运动时长： 5.1 ， 5.6 ， 6.0 ， 6.3 ， 6.5 ， 6.8 ， 7.2 ， 7.3 ， 7.5 ， 7.7 ， 8.1 ， 8.2 ， 8.4 ， 8.6 ， 9.2 ， 9.4 ， 乙同学 16 周各周课外体育运动时长： 6.3 ， 7.4 ， 7.6 ， 8.1 ， 8.2 ， 8.2 ， 8.5 ， 8.6 ， 8.6 ， 8.6 ， 8.6 ， 9.0 ， 9.2 ， 9.3 ， 9.8 ， 10.1 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为： 7.3+7.52=7.4 ， 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为： 6.3+7.4+7.6+8.1+8.2×2+8.5+8.6×4+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8 ， 甲同学周课外体育运动时长大于 8 的有 6 周，故甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值为 616=0.375<0.4 ， 乙同学周课外体育运动时长大于 8 的有 13 周，故乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值为 1316=0.8125>0.6 ， 故 C 是错误的  5.【答案】C【解析】【分析】 本题考查了线性规划问题，属于基础题 【解答】 解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示： 将 z=2xy ，变形为 y=2xz ，这是斜率为 2 、随 z 变化的一族平行直线 l ， z 是直线 l 在 y 轴上的截距，当 z 取最小值时， z 的值最大 作出直线 l0:y=2x ， 将直线 l 从直线 l0 位置平移至直线 l1 的位置时，截距 z 最小，对应 z 最大， 即直线 l 经过如图所示的点 C 时， z 取最大值， 由 x+2y=4y=0 得 x=4y=0 ，即点 C 坐标为 (4,0) ， 因此， zmax=2×40=8   6.【答案】B【解析】【分析】 本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题【解答】 解： 易知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0) ，于是有 |BF|=2 ，故 |AF|=2 ，注意到抛物线通径 2p=4 ， 通径为抛物线最短的焦点弦，分析知 AF 必为半焦点弦，于是有 AFx 轴， 于是有 |AB|=22+22=22   7.【答案】B【解析】【分析】 本题考查程序框图，属于基础题【解答】 解： 第一次循环： b=1+1×2=3 ， a=31=2 ， n=1+1=2 ， |b2a22|=|(32)22|=14>0.01 第二次循环： b=3+2×2=7 ， a=72=5 ， n=2+1=3 ， |b2a22|=|(75)22|=325>0.01 第三次循环， b=7+2×5=17 ， a=175=12 ， n=3+1=4 ， |b2a22|=|(1712)22|=1144<0.01 故输出 n=4  8.【答案】A【解析】【分析】 本题主要考查函数图象的识别，属于中档题【解答】 解：对于 B ，当 x=1 时， y=0 ，与图象不符，故 B 不正确 对于 C ，当 时， y=0 ，与图象不符，故 C 不正确 对于 D ，当 x=3 时， y=sin35>0 ，与图象不符，故 D 不正确 故综合分析 A 选项符合题意   9.【答案】A【解析】【分析】 本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题【解答】 解： 对于 A 选项：在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，因为 EF 分别为 AB ， BC 的中点，易知 EFBD ，从而 EF 平面 BDD1 ，又因为 EF 平面 BDD1 ，所以平面 B1EF 平面 BDD1 ， 所以 A 选项正确 ; 对于 B 选项：因为平面 A1BD 平面 BDD1=BD ，由上述过程易知平面 B1EF 平面 A1BD 不成立 ; 对于 C 选项的直线 AA1 与直线 B1E 必相交，故平面 B1EF/ 面 A1AC 有公共 点，从而 C 的错误 ; 对于 D 选项：连接 AC ， AB1 ， B1C ，易知平面 AB1C/ 平面 A1C1D ， 又因为平面 AB1C 与平面 B1EF 有公共点 B1 ，故平面 AB1C 与平面 B1EF 不平行，所以 D 选项错误   10.【答案】D【解析】【分析】 本题主要考查等比数列前 n 项和中的基本量计算，属于基础题 根据题干列出等式求得 a1 与 q ，进而求出 a6 【解答】 解： 设等比数列 an 首项 a1 ，公比 q 由题意， a1+a2+a3=168a2a5=42 ，即 a1(1+q+q2)=168a1q(1q3)=42 ，即 a1(1+q+q2)=168a1q(1q)(1+q+q2)=42 解得， q=12 ， a1=96 ，所以 a6=a1q5=3   11.【答案】D【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，考查了运算求解能力，属于基础题【解答】 解： f(x)=cosx+(x+1)sinx+1 ，则 f(x)=sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx ， 当 ；当 ， f(x)<0 ；当 则 f(x) 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， 又 f(0)=2 ， ， 在区间 0,2 上， ，   12.【答案】C【解析】【分析】 本题考查圆锥体积，最值计算【解答】 解： 考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是 边长为 a 的正方形，底面所在圆面的半径为 r ，则 r=22a ， 所以该四棱锥的高 =1a22 ，所以体积 V=13a21a22 ，设 a2=t0<t<2 ， V=13t2t32 ， t2t32=2t3t22 ，当 0<t<43 ， t2t32>0 ，单调递增， 当 43<t<2 ， t2t32<0 ，单调递减，所以当 t=43 时， V 取最大，此时 =1a22=33 ，   13.【答案】2【解析】【分析】 本题考查了等差数列前 n 项和中的基本量计算，属基础题【解答】 解： 2S3=3S2+6 ， 2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6 ， d=2   14.【答案】310【解析】【分析】 本题考查了古典概型及其计算，属于基础题【解答】 解：设“甲、乙都入选”为事件 A ，则 P(A)=C31C53=310   15.【答案】(x2)2+(y3)2=13或(x2)2+(y1)2=5或(x43)2+(y73)2=659或(x85)2+y12=16925【解析】【分析】 本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题 圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径，每种情况逐一求解即可 【解答】 解：设点 A(0,0) ， B(4,0) ， C(1,1) ， D(4,2) (1) 若圆过 A 、 B 、 C 三圆圆心在直线 x=2 ， 设圆心坐标为 (2,a) ， 则 4+a2=9+(a1)2a=3 ， r=4+a2=13 ，所以圆的方程为 (x2)2+(y3)2=13; (2) 若圆过 A 、 B 、 D 三点， 同 (1) 设圆心坐标为 (2,a) ， 则 4+a2=4+(a2)2a=1 ， r=4+a2=5 ，所以圆的方程为 (x2)2+(y1)2=5; (3) 若圆过 A 、 C 、 D 三点，则线段 AC 的中垂线方程为 y=x+1 ，线段 AD 的中垂线方程 为 y=2x+5 ，联立得 x=43y=73r=169+499=653 ，所以圆的方程为 (x43)2+(y73)2=659; (4) 若圆过 B 、 C 、 D 三点，则线段 BD 的中垂线方程为 y=1 ， 线段 BC 中垂线方程为 y=5x7 ，联立得 x=85y=1r=8542+1=135, 所以圆的方程 (x85)+(y1)2=16925   16.【答案】12ln2【解析】【分析】 本题主要考查利用函数的奇偶性求参，属于较难题【解答】 解： f(x)=lnaax+11x+b=lnaxa1x1+b ， f(x)=lnax+a+1x+1+b ， f(x)+f(x)=lnax(a+1)x1+lnax+(a+1)x+1+2b=0 ， lna2x2(a+1)2x21+2b=0 ， 故 a21=(a+1)212a+1=0a=12 ， 2b=ln14=2ln2b=ln2 ， 故 a=12,b=ln2   17.【答案】(1)解：A=2B，知sinCsin(AB)=sinBsin(CA)，sinCsinB=sinBsin(C2B)，又sinB0，sinC=sin(C2B)，可得C+C2B=180°，又A=2B，A+B+C=180°，可解得C=112.5°；(2)证明：由sinCsin(AB)=sinBsin(CA)可化简为：sinCsinAcosBsinCcosAsinB=sinBsinCcosAsinBcosCsinA，由正弦定理可得accosBbccosA=bccosAabcosC，即accosB=2bccosAabcosC，由余弦定理可得ac×a2+c2b22ac=2bc×b2+c2a22bcab×a2+b2c22ab，即证得2a2=b2+c2【解析】本题主要考查了正余弦定理的综合应用，以及两角和与差的正弦公式，考查了运算求解能力，属于中档题18.【答案】(1)证明：因为ADB=BDC，AD=CD，BD=BD，所以ADBCDB，所以AB=BC，又因为E是AC的中点，所以BEAC，又因为AD=DC，所以DEAC，又因为BEDE=E，且BE、DE平面BED，所以AC平面BED，因为AC平面ACD，所以平面BED平面ACD;(2)解：因为AB=BD=2，ACB=60，所以结合(1)可知AB=BC=AC=2，又E为AC的中点，则BE=3，连接EF，因为ADBCDB，所以AF=CF，所以EFAC，所以在BED中，当EFBD时，SAFC最小，因为ADCD，AD=DC，AC=2，E为AC的中点，所以DE=1，又DE2+BE2=BD2，所以BEED，若EFBD，在BED中EF=BE·DEBD=32，得BF=BE2EF2=32，则SBEF=12BF·EF=12×32×32=338，因此，VFABC=VABEF+VCBEF=13SBEF·AC=13×338×2=34【解析】本题考查了面面垂直的判定、线面垂直的判定、棱锥的体积等知识，属中档题19.【答案】解：(1)设这种树木平均一课的根部横截面积为x，平均一个的材积量为y，则x=0.610=0.06，y=3.910=0.39(2)r=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2i=1nyi2ny2=0.247410×0.06×0.390.03810×0.0621.615810×039)2=0.01340.002×0.0948=0.01340.01×1.896=0.01340.01377=0.97；(3)设从根部面积总和为X，总材积量为Y，则XY=xy，故Y=3.90.6×186=1209(m3).【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题20.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=1xlnx，定义域为(0,+)f(x)=1x21x=1xx2，当x(0,1)时,f(x)>0,f(x)单调递增，当x(1,+)时,f(x)<0,f(x)单调递减，故f(x)max=f(1)=10=1(2)f(x)=ax1x(a+1)lnx，定义域为(0,+)f(x)=a+1x2a+1x=ax2(a+1)x+1x2，令g(x)=ax2(a+1)x+1,x(0,+)若a=0，g(x)=x+1，由(1)知f(x)1，此时无零点若a0，=(a+1)24a=(a1)2，当a=1时，g(x)=(x1)20，f(x)0，故f(x)单调递增，且f(1)=0，符合题意当a1时，g(x)=0有两个不等的实根，x1=1,x2=1a，若a<0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)单调递减，此时f(x)f(1)=a1<0，此时无零点若0<a<1，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,1a)单调递减，在(1a,+)单调递增，又f(1)=a1<0，f(1a)=1a+(a+1)lna<0，当x+时，f(x)>0，符合题意，若a>1，f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,1)单调递减，在(1,+)单调递增，又f(1)=a1>0，f(1a)>0，当x0时，f(x)<0，符合题意综上，a的取值范围为(0,+)【解析】本题主要考查利用导数研究函数的最值及利用导数研究函数的零点，属于难题21.【答案】解：(1)设E的方程为x2a2+y2b2=1，将A(0,2)，B(32,1)两点代入得4b2=194a2+1b2=1，解得a2=3，b2=4，故E的方程为x23+y24=1(2)由A(0,2)，B(32,1)可得直线AB:y=23x2若过P(1,2)的直线的斜率不存在，直线为x=1.代入x23+y24=1，可得M(1,263)，N(1,263)，将y=263代入AB:y=23x2，可得T(6+3,263)，由MT=TH，得H(26+5,263).易求得此时直线HN:y=(2263)x2.过点(0,2)；若过P(1,2)的直线的斜率存在，设kxy(k+2)=0，M(x1,y1)，N(x2,y2)。联立kxy(k+2)=0x23+y24=1，得(3k2+4)x26k(2+k)x+3k(k+4)=0，故有x1+x2=6k(2+k)3k2+4x1x2=3k(4+k)3k2+4,y1+y2=8(2+k)3k2+4y1y2=4(4+4k2k2)3k2+4，且x1y2+x2y1=24k3k2+4()联立y=y1y=23x2，可得T(3y12+3,y1)，H(3y1+6x1,y1)，可求得此时HN:yy2=y1y23y1+6x1x2(xx2)将(0,2)代入整理得2(x1+x2)6(y1+y2)+x1y2+x2y13y1y212=0将()式代入，得24k+12k2+96+48k24k4848k+24k236k248=0，显然成立综上，可得直线HN过定点(0,2)【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题(1)根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；(2)分类讨论过点P的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出T，N坐标，表示出直线HN方程，判断直线过定点即可22.【答案】解：(1)由sin(+3)+m=0可得，(sincos3+cossin3)+m=0，即(12sin+32cos)+m=0，12y+32x+m=0，故l的方程为：3x+y+2m=0(2)由x=3cos2t，得x=3(12sin2t)=312y22=332y2，联立x=332y23x+y+2m=0，3y22y4m6=0，即3y22y6=4m(2y2)，34m36，即1934m10，1912m52，故m的范围是1912m52【解析】本题考查极坐标，极坐标的直线方程，求解参数，属于中档题(1)根据题意，求出直线方程；(1)求出C的方程，联立求解参数范围23.【答案】解：(1)证明：因为a，b，c为正数，所以a32+b32+c3233a32b32c32=3abc，当且仅当a=b=c=323时取等号，所以3abc1，即abc19，得证(2)要证ab+c+ba+c+ca+b12abc成立，只需证a32bcb+c+b32aca+c+c32aba+b12，又因为b+c2bc，a+c2ac，a+b2ab，当且仅当a=b=c=323时，同时取等，所以a32bcb+c+b32aca+c+c32aba+ba32bc2bc+b32ac2ac+c32ab2ab=12，得证.【解析】  本题考查了不等式的证明，掌握均值不等式是关键，属于中档题(1)由均值不等式即可证；(2)先对不等式进行转化，再由均值不等式进行放缩可证.第15页，共16页