4.3.1等比数列的概念 (2) 导学案- (人教A版 高二 选择性必修第二册).docx

4.3.1等比数列的概念 (2) 导学案 1. 能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题2能够运用等比数列的性质解决有关问题(重点)重点：运用等比数列解决简单的实际问题 难点：等比数列的综合运用1. 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(显然q0 ) 符号语言： anan-1=q(n2,nN*) 2.等差与等比数列一、典例解析例4. 用 10 000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的 利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解跟踪训练1. 2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.(1)哪一年两林场木材的总存量相等？(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？例5. 已知数列an的首项a1=3.（1）若an为等差数列，公差 d=2，证明数列3an为等比数列；（2）若an为等比数列，公比q=19，证明数列log3an为等差数列.1.若an是等差数列，则数列ban是等比数列；2.若数列an是各项均为正的等比数列，则数列logban是等差数列例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？1（2021·江苏南通市高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ ）注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再传染个人为第二轮感染.A5 B6C7D82（2021·北京高二期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则 .3.已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4.(1)求a1的值(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列4.已知a,b,c,x,y,z都是不等于1的正数,且ax=by=cz,1x,1y,1z成等差数列.求证:a,b,c成等比数列.参考答案：知识梳理学习过程一、典例解析例4. 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和a , a1+r，a1+r2构成等比数列.解：（1）设这笔钱存 n 个月以后的本利和组成一个数列an， 则an是等比数列，首项a1=1041+0.400%，公比 q=1+0.400%，所以a12=a1q11=1041+0.400%1210 490.7.所以，12个月后的利息为10 490.7-104491（元）.解：（2）设季度利率为 r ，这笔钱存 n 个季度以后的本利和组成一个 数列bn，则bn也是一个等比数列，首项 b1=1041+r，公比为1+r，于是 b4=1041+r4. 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 1041+r4-104元. 解不等式1041+r4-104491，得r1.206%. 所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.跟踪训练1. 解：(1)由题意可得16a(125%)n125a(120%)n1，解得n2，故到2019年两林场木材的总存量相等(2)令n5，则a516a425a4<2(16a25a)，故到2021年不能翻一番例5. 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。证明（1）：由a1=3，d=2，得an的通项公式为an=2n+1.设bn=3an=32n+1，则 ： bn+1bn=32n+1+132n+1=9 ，又 b1=33=27,所以，3an是以 27为首项，9为公比的等比数列.证明（2）：由a1=3, q=19,得an=3×(19)n-1=33-2n两边取以3为底的对数，得log3an=log333-2n=3-2n.所以 log3an+1-log3an=3-2n+1-3-2n=-2.又 log3a1= log33=1，所以，log3an是首项为1，公差为-2的等差数列.例6.分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列an，bn,则各月不合格品的数量构成数列anbn，由题意可知，数列an是等比数列，数列bn是等差数列,由于数列anbn既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，bn由题意，知an=1050×1.05n-1，bn=1-90%+0.4%n-1=0.104-0.004n, 其中n=1,2,24,则从今年1月起，各月不合格产品的数量是an bn=1050×1.05n-1 ×（ 0.104-0.004n ）由计算工具计算（精确到0.1），并列表 观察发现，数列anbn先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n6时，anbn递减，且a13b13<100即可.由an+1bn+1anbn=1.05n+1×104-4(n+1)1.05n×104-4n<1 ，得n>5.所以，当n6时，anbn递减又 a13b13 98<100,所以当13n24时, anbna13b13<100所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.达标检测1【答案】B【详解】设经过第轮传染，感染人数为， 经过第一轮感染后，经过第二轮感染后，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第轮传染，感染人数为，当时，解得，因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮.2【答案】10【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且所以.3. 分析：(1)由n1代入Sn2ann4求得；(2)先由Sn2ann4，利用Sn和an的关系得an的递推关系，然后构造出数列an1利用定义证明解:(1)因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13.(2)证明：因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1(n1)4，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b1a1120，所以数列bn是以b12为首项，2为公比的等比数列4.证明:令ax=by=cz=m(m>0).则x=logam,于是1x=logma,同理1y=logmb,1z=logmc,因为1x,1y,1z成等差数列,所以2y=1x+1z,即2logmb=logma+logmc.因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.所以a,b,c成等比数列.