3.1.2 椭圆的简单几何性质（1） 导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx
3.1.2椭圆的简单几何性质（1） 导学案 1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形2根据几何条件求出椭圆的方程重点：由几何条件求出椭圆的方程 难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围-axa且-byb-bxb且-aya顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长 长轴长为2a,短轴长为2b焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)焦距 2c对称性对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点离心率1.判断 (1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是a.()(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为x225+y216=1.()(3)设F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).()2.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223一、 情境导学 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。观察椭圆x2a2+y2b2=1（ a>b>0 ）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思考 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？思考1. 离心率对椭圆扁圆程度的影响?提示:如图所示,在RtBF2O中,cosBF2O=ca,记e=ca,则0<e<1,e越大,BF2O越小,椭圆越扁;e越小,BF2O越大,椭圆越接近于圆.二、 典例解析例1已知椭圆C1:x2100+y264=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质. 讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.跟踪训练1 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.例2 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为. 典例解析变式1 若例2改为如下:椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点F1,F2,以F1F2为底边作等腰直角三角形,其三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心率为. 例3 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1PF2,则椭圆的离心率的取值范围为. 求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程(或不等式),再将方程(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围).(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=ca求解.若已知a,b(或b,c)可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=ca求解.(2)几何法:若借助数形结合,可挖掘涉及几何图形的性质,再借助a2=b2+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入e=ca即可得到.跟踪训练2 (1)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,2),其离心率的取值范围是12,32,则椭圆短轴长的最大值是()A.4B.3C.11D.23(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为. (3)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为66|F1F2|,求椭圆C的离心率.1.已知点(3,2)在椭圆x2a2+y2b2=1上,则()A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上2.设AB是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98a B.99a C.100a D.101a3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为()A.12B.32C.34D.644.已知椭圆x23+y22=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为. 5.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为cm. 6.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.参考答案：知识梳理1.答案:(1)×(2)×(3) 2.解析:a2=4+22=8,a=22.e=ca=222=22.故选C.答案:C 学习过程例1解:(1)由椭圆C1:x2100+y264=1,可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=35.(2)椭圆C2:y2100+x264=1.性质如下:范围:-8x8且-10y10;对称性:关于x轴、y轴、原点对称;顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);焦点:(0,6),(0,-6);离心率:e=35.跟踪训练1 解:由已知得x21m2+y214m2=1(m>0),因为0<m2<4m2,所以1m2>14m2.所以椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=1m,半短轴长b=12m,半焦距c=32m,所以椭圆的长轴长2a=2m,短轴长2b=1m,焦点坐标为-32m,0,32m,0,顶点坐标为1m,0,-1m,0,0,-12m,0,12m,离心率e=ca=32m1m=32.例2 解析:方法一:如图,DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,F1NF2N.|NF2|=|OF2|=c,|NF1|=|F1F2|2-|NF2|2=4c2-c2=3c.由椭圆的定义可知|NF1|+|NF2|=2a,3c+c=2a,a=(3+1)c2.e=ca=23+1=3-1.方法二:注意到焦点三角形NF1F2中,NF1F2=30°,NF2F1=60°,F1NF2=90°,则由离心率的焦点三角形公式,可得e=sinF1NF2sinNF1F2+sinNF2F1=sin90°sin30°+sin60°=112+32=3-1.答案:3-1典例解析变式1解析:根据等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即ca=e=22.答案:22例3 解析:由PF1PF2,知F1PF2是直角三角形,所以|OP|=cb,即c2a2-c2,所以a2c.因为e=ca,0<e<1,所以22e<1.答案:22,1跟踪训练2 解析:(1)由题意,可得1a2+2b2=1,即a2=b2b2-2.因为a2=b2+c2,所以c2a2=a2-b2a2=b2b2-2-b2b2b2-2=3-b2,离心率的取值范围是12,32,所以143-b234,解得b32,112,所以椭圆短轴长的最大值是11.(2)由题意,知F2F1P=F2PF1=30°,PF2x=60°.|PF2|=2×32a-c=3a-2c.|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,3a-2c=2c,e=ca=34.答案:(1)C(2)34(3)解:由题意知A(a,0),B(0,b),从而直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,又|F1F2|=2c,aba2+b2=63c.b2=a2-c2,3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍去),e=22.达标检测1. 解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选C.答案:C2.解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.答案:D3.解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.依题意可知,BF1F2是正三角形.在RtOBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,OF2B=60°,cos 60°=ca=12.即椭圆的离心率e=12,故选A.答案:A 4.解析:根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,椭圆的标准方程为x23+y22=1,其中a=3,b=2,则c=3-2=1,则F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,2),B2(0,-2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=2,则S=4×SB1OF1=4×12×|OB1|×|OF1|=22.答案:225.解析:因为两个椭圆的扁平程度相同,所以椭圆的离心率相同,c大a大=c小a小,即a大2-b大2a大2=a小2-b小2a小2.所以2a大2b大=2a小2b小,所以4020=2a小10,所以小椭圆的长轴长为20 cm.答案:20 6解:椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1(m>0),m-mm+3=m(m+2)m+3>0,m>mm+3.a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.由e=32,得m+2m+3=32,m=1.椭圆的标准方程为x2+y214=1.a=1,b=12,c=32.椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为-32,0,32,0;四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),0,-12,0,12.
