4.2.2等差数列的前n项和公式（2）导学案- (人教A版 高二 选择性必修第二册).docx

4.2.2等差数列的前n项和公式（1） 导学案 1.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用.2.会求等差数列前n项和的最值.重点：求等差数列前n项和的最值 难点： 等差数列前n项和的性质及应用等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Snn(a1+an)2Snna1+n(n-1)2 d功能1：已知a1，an和n，求Sn . 功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个. 1思考辨析(1)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也是等差数列()(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大()(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n1(2n1)an.()2在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A9B10 C11 D123等差数列an中，S24，S49，则S6_.4已知数列an的通项公式是an2n48，则Sn取得最小值时，n为_.一、典例解析例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？1本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列2遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.跟踪训练1. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？例9.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a110，公差d2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)(2)借助二次函数的图象及性质求最值 2寻求正、负项分界点的方法： (1)寻找正、负项的分界点来寻找 (2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点跟踪训练2. 数列an的前n项和Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.1（多选题）已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题正确的是()A.d<0； B.S11>0； C.S12<0； D.数列Sn中的最大项为S112已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_3已知数列an的前n项和公式为Snn230n.(1)求数列 an的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值.等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值特别地，若a1>0，d>0，则S1是Sn的最小值；若a1<0，d<0，则S1是Sn的最大值参考答案：知识梳理1答案(1)(2)(3)2B，.n10.故选B项3 15由S2，S4S2，S6S4成等差数列得2(S4S2)S2(S6S4)解得S615.4 23或24由an0即2n480得n24.所有负项的和最小，即n23或24.学习过程一、典例解析例8.分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列an ，设数列an 的前n项和为Sn。由题意可知， an是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项。解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列an，其前n项和为Sn.根据题意，数列an是一个公差为2的等差数列，且S20800.由S20=20a1+20×(20-1)2 ×2=800，可得； a1 =21因此，第1排应安排21个座位。解得a121.因此，第1排应安排21个座位.跟踪训练1. 分析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程解:从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a124，公差d.25辆翻斗车完成的工作量为：a1a2a2525×2425×12×500，而需要完成的工作量为24×20480.500>480，在24小时内能构筑成第二道防线例9.分析：由a1>0和d< 0，可以证明an是递减数列，且存在正整数k，使得当nk时，an<0,Sn递减，这样，就把求Sn的最大值转化为求an的所有正数项的和。另一方面，等差数列的前n项和公式可写成  Sn=d2 n2+a1-d2n，所以当d0时， Sn可以看成二次函数y=d2 x2+a1-d2x(xR)，当x= n时函数值。如图，当d< 0时， Sn关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n, Sn的值。解法1.由d2，得an1an20，得an1an ，所以an是递减数列. 由a110，d2，得an10(n1)×(2) 2n12.可知，当n6时，an0；当n6时，an0；当n6时，an0.所以, S1S2S5S6 S7也就是说，当n5或6时，Sn最大.因为S5=52×2×10+(5-1)×(-2) =30所以Sn的最大值为30.解法2：因为由a110，d2，因为  Sn=d2 n2+a1-d2n=-n2+11n=-n-1122+1214所以，当n取与112 最接近的整数，即5或6时，Sn最大，最大值为30. 跟踪训练2. 分析：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：(公式法)当n2时，anSnSn1342n， 又当n1时，a1S132342×1满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二：(结构特征法)由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：(函数性质法)由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an<0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an<0.所以当n17时，Snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2.当n18时，Sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)S17(SnS17)2S17Snn233n544.故Sn达标检测1【答案】AB解析S6>S7，a7<0，S7>S5，a6a7>0，a6>0，d<0，A正确又S11(a1a11)11a6>0，B正确S12(a1a12)6(a6a7)>0，C不正确Sn中最大项为S6，D不正确故正确的是AB2 【答案】6或7由|a5|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小3【答案】(1)Snn230n，当n1时，a1S129.当n2时，anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也适合，an2n31，nN*. (2)法一：Snn230n2225当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.法二：an2n31，a1<a2<<a15<0，当n>15时，an>0.当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.