3.2.2 双曲线的简单几何性质（1） 导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx
3.2.2双曲线的简单几何性质 (1) 导学案 1.掌握双曲线的简单几何性质2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义3.根据几何条件求双曲线的标准方程.重点：运用双曲线的方程获得几何性质 难点：双曲线的渐近线及离心率的意义双曲线的几何性质 标准方程图形标准方程性质范围x-a或xa yRy-a或ya xR对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线 y=±bax y=±abx离心率a,b,c间的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点: 双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为 2 .(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.1.判断 (1)双曲线x2a2-y2b2=1与y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的形状相同. ()(2)双曲线x2a2-y2b2=1与y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同. ()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ()2.圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,则实数m的值为()A.-5B.-35 C.19 D.-11一、 问题导学类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)，的哪些几何性质，如何研究这些性质？1、范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x2a2-y2b2=1可得x2a2=1+y2b21 于是，双曲线上点的坐标（ x ， y ）都适合不等式，x2a21，yR所以xa 或x-a; yR2、对称性 x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)，关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .顶点是A1-a,0、A2 a,0，只有两个。（2）如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线4、渐近线（1）双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)，的渐近线方程为：y=±bax（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图4、渐近线慢慢靠近5、离心率（1）定义：e = c a（2）e的范围：e >1（3）e的含义：因为c>a>0,所以可以看出e>1，另外，注意到ba=c2-a2a=c2-a2a2 =e2-1；说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.如果双曲线C的标准方程是y2a2-x2b2=1 (a>0，b>0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？二、 典例解析例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.由双曲线的方程研究其几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-5),离心率为2;(2)与椭圆x29+y24=1有公共焦点,且离心率e=52;(3)与双曲线x29-y216=1有共同渐近线,且过点(-3,23).2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).(3)与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点的双曲线方程可设为x2a2-y2b2+=1(0,-b2<<a2).(4)与双曲线x2a2-y2b2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=(0).(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=(0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=(0).跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为53;(2)过点(2,0),与双曲线y264-x216=1离心率相等.1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为() A.4B.-4C.-14D.142.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±43x,则下列结论正确的是 ()A.C的方程为x29-y216=1B.C的离心率为54C.焦点到渐近线的距离为3D.|PF|的最小值为23.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是. 4.关于双曲线x29-y216=-1,有以下说法:实轴长为6;双曲线的离心率是54;焦点坐标为(±5,0);渐近线方程是y=±43x;焦点到渐近线的距离等于3.正确的说法是.(把所有正确说法的序号都填上) 5.已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(13,0)在线段PQ上,则PQF的周长为. 参考答案：知识梳理1.答案:(1)(2)×(3) 2.解析:由圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,所以m<-8,e=9-8-m3=2,解得m=-35.答案:B 学习过程二、典例解析例1 解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为x29-y24=1,即x232-y222=1,所以a=3,b=2,c=13.因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-13,0),(13,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=ca=133,渐近线方程为y=±bax=±23x.跟踪训练1 解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为x2m-y2n=1(m>0,n>0),由此可知,半实轴长a=m,半虚轴长b=n,c=m+n,焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),离心率e=ca=m+nm=1+nm,顶点坐标为(-m,0),(m,0),所以渐近线方程为y=±nm x,即y=±mnmx.例2 解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),e=2,c2a2=2,即a2=b2.又双曲线过P(3,-5),9a2-5b2=1,由得a2=b2=4,故双曲线方程为x24-y24=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),同理有a2=b2,5a2-9b2=1,由得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为x24-y24=1.(2)由椭圆方程x29+y24=1,知半焦距为9-4=5,焦点是F1(-5,0),F2(5,0).因此双曲线的焦点为(-5,0),(5,0).设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由已知条件,有ca=52,a2+b2=c2,c=5,解得a=2,b=1.所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.(3)设所求双曲线方程为x29-y216=(0),将点(-3,23)代入得=14,双曲线方程为x29-y216=14,即双曲线的标准方程为x294-y24=1.跟踪训练2 解:(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=ca=53,从而b=4,c=53a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为x29-y216=1.(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为x264-y216=(>0),将点(2,0)的坐标代入方程得=116,故所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.达标检测1.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-x2-1m=1,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,b=2,-1m=b2=4,m=-14,故选C.答案:C 2.(多选)解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±43x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,所以ba=43,因为c=5,所以b=4,a=3,所以C的方程为x29-y216=1,A正确;离心率为e=53,B不正确;焦点到渐近线的距离为d=4×542+32=4,C不正确;|PF|的最小值为c-a=2,D正确.答案:AD 3.解析:令y=0,得x=-4,等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),c=4,a2=b2=12c2=12×16=8,故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.答案:x2-y2=84.解析:双曲线x29-y216=-1,即y216-x29=1,a=4,b=3,c=9+16=5,实轴长为2a=8,故错误;双曲线的离心率是e=ca=54,故正确;焦点坐标为F(0,±5),故错误;渐近线方程是y=±43x,故正确;焦点到渐近线的距离为d=|0+15|9+16=3,故正确.答案: 5.解析:根据题意,双曲线C:x24-y29=1的左焦点F(-13,0),所以点A(13,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12.双曲线图像如图.|PF|-|AP|=2a=4,|QF|-|QA|=2a=4,+得|PF|+|QF|-|PQ|=8,周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.答案:32
