2021-2022学年辽宁省朝阳市第二高级中学高二下学期4月月考数学试题解析.doc

2021-2022学年辽宁省朝阳市第二高级中学高二下学期4月月考数学试题一、单选题1数列，的第10项是ABCD【答案】C【分析】通过分析可知该数列的奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数或分母比分子大1，即可得到通项公式.【详解】观察数列的前四项可知，该数列奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数或分母比分子大1，故可得通项公式为：，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据数列的特点经过分析观察猜想归纳得出数列的通项公式，考查逻辑思维能力和分析能力，属于基础题.2已知数列满足，且，则的值是（       ）A5BC3D【答案】B【分析】由已知可得到数列为公比为3的等比数列，进而计算求解.【详解】，且各项非负，数列为公比为3的等比数列，故选：B3正项等比数列中，若，则的最小值等于（          ）A1BCD【答案】B【详解】设正项等比数列的公比为q,(q>0)，由,得q2=q+2，解得q=2或q=1(舍去).又因为,即，所以m+n=6.因此，当且仅当m=4，n=2时，等号成立故选B.4若，则（       ）A1B2C4D8【答案】A【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.【详解】由题意，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查了导数的运算、导数概念的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5某家庭连续五年收入与支出如下表：年份20122013201420152016收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.58.08.59.8画散点图知：与线性相关，且求得的回归方程是，其中，则据此预计该家庭2017年若收入15万元，支出为万元.A11.4B11.8C12.0D12.2【答案】B【分析】回归方程一定经过样本中心点，求出样本中心点，代入方程可以求出，然后令，可以解出答案【详解】得,令x=15得y=11.8.故选:B【点睛】本题主要考查了线性回归方程的样本中心点，属于基础题6已知函数，则（       ）AB1CD【答案】C【分析】由基本初等函数的导数公式，结合复合函数的导数运算法则求，进而求.【详解】，当时，.故选：C7已知数列的前n项和为，则=（       ）ABCD【答案】D【分析】利用公式计算得到，得到答案【详解】由已知得，即，而，所以故选：D8已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】利用的导函数在区间的函数值有正有负列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】，令，由于函数在内不是单调函数，则在区间的函数值有正有负，而二次函数开口向上，对称轴为轴，所以在区间上递增，所以，解得：.所以实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.二、多选题9已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（       ）A为单调递增数列BC，成等比数列D【答案】BD【解析】根据利用等比数列的性质建立关系求出，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案【详解】由，可得，则，当首项时，可得为单调递减数列，故错误；由，故正确；假设，成等比数列，可得，即不成立，显然，不成等比数列，故错误；由公比为的等比数列，可得，故正确；故选：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用求得，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式.10下列选项中，在上单调递增的函数有（       ）ABCD【答案】BD【分析】根据导数的方法逐项判定各选项对应函数的单调性，即可得出结果.【详解】A选项，由得，当时，则单调递增；当时，则单调递减，故排除A；B选项，由得显然恒成立且不恒为零，所以在上单调递增，故B满足题意；C选项，由得，当时，则单调递增；当时，则单调递减，故排除C；D选项，由得显然恒成立且不恒为零，所以在上单调递增，故D满足题意；故选：BD.【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，属于基础题型.11已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（       ）ABCD【答案】ABC【分析】根据等比数列定义依次判断选项即可.【详解】设数列是公比为的等比数列，则对选项A，因为，所以数列为等比数列，故A正确；对选项B，因为，所以数列为等比数列，故B正确；对选项C，因为，所以数列为等比数列，故C正确；对选项D，若等比数列公比，则，即，此时数列不是等比数列，故D错误.故选：ABC12关于函数，下列判断正确的是（       ）A是的极大值点B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得恒成立D对任意两个正实数，且，若，则【答案】BD【分析】A选项借助导数研究函数的极值情况；BC选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系【详解】A：函数的定义域为，当时，单调递减；当时，单调递增，所以是的极小值点，故A错误；B：，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，故B正确；C：若，即，则，令，则，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数，使得恒成立，故C错；D：因为在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，对任意两个正实数，且，若，则令，则，由，得，即，即，解得，所以故要证，需证，需证，需证，则，证令，所以在上是增函数因为时，则，所以在上是增函数因为时，则，所以，故D正确，故选：BD【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系三、填空题13已知函数在处有极值10，则_【答案】15【分析】利用函数在处有极值10，求出a、b的值，再代入验证.【详解】函数定义域为R，.因为函数在处有极值10，所以，解得：或.当时，.令，得或；令，得.所以在单增，在单减，在单增，所以函数在处有极值，符合题意.当时，恒成立.所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意.综上所述：.所以15.故答案为：1514在等差数列中，则使成立的最大自然数n为_【答案】4042【分析】由等差数列的性质可得，的正负，再通过等差数列的求和公式得到答案.【详解】由等差数列的性质可得又，所以异号，又，所以等差数列必为递减数列，所以，使成立的最大自然数n为4042.故答案为：4042.15函数在点处的切线方程为_【答案】【分析】利用函数解析式求出切点坐标，利用导数求得切线斜率，利用点斜式求得切线方程.【详解】，,切线的方程为：，即,故答案为：.16设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_.【答案】【详解】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.四、解答题17已知数列满足，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)记，数列的前n项和为.【答案】(1)证明见解析(2)当n为奇数时，；当n为偶数时，.【分析】（1）利用定义法证明等差数列；（2）先求出，对n分奇偶进行讨论，邻项相消求和.【详解】(1)，即，数列是以为公差的等差数列.(2)由（1）可知数列是以为公差的等差数列，且，当n为奇数时，当n为偶数时，18致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表规定：成绩在内，为成绩优秀成绩人数510152520205(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；优秀非优秀合计男10女35合计(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望参考公式：，附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关(2)分布列见解析，期望值为2.5分【分析】（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论；（2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可.(1)优秀非优秀合计男104050女153550合计2575100假设: 此次竞赛成绩与性别无关.,所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；(2)p,P(X=0)=P(X=1)=,P(X=2)=,X的分布列为：X012P期望值E(X)=1×+2×=2.5（分）19已知在等差数列中，；是各项都为正数的等比数列，.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）求出的值，根据已知条件求得等差数列的公差，进而可求得等差数列的通项公式，设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）求得，然后利用错位相减法可求得.【详解】解：（1）由，得即，所以等差数列的公差，则数列的通项公式为，设等比数列的公比为，所以，由，得，即，由，所以等比数列的公比，所以数列的通项公式为；（2），则，得，因此，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.20已知(1)若在处取得极值，求的最小值；(2)若对恒成立，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得函数的导函数，然后利用极值的必要条件求得的值，进而判定导数的正负区间，得到函数的单调性，然后结合左右两端的极限值与极小值，求得函数的最小值；（2）分离参数得到对于任意恒成立.构造函数，利用导数求得不等号右侧的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围.【详解】(1)，在处取得极值，当时，；当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又当时，的最小值为.(2)由已知得对于任意恒成立.令，则，在时，所以函数在时上单调递减，所以，所以的取值范围是21经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值【答案】（1）（）；（2）当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元,厂家的利润最大，为万元.【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数可求出该函数的最值【详解】（1）由题意知，将代入化简得：（）；（2），（）当时，当时，所以函数在上单调递增，当时，所以函数在上单调递减，从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大；（）当时，因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，故当时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题.22设函数，（）讨论函数的单调性；（）令，当时，证明.【答案】（）见解析，（）见解析【解析】（）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对进行分类讨论，可求函数的单调性；（）把代入可得，对求导，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求的最大值，结合不等式的恒成立与最值的相互转化关系可证【详解】（），当时，函数在上单调递增，当时，令可得，当时，解得，令可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，（），当时，令，则，所以在上单调递减取，则，（1），所以函数存在唯一的零点，即，所以当，当，故函数在单调递增，在，单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，由可得，两边同时取对数可得，所以，故，由基本不等式可得，因为，所以，所以，又因为 即，所以当时，成立【点睛】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题第 16 页 共 16 页