微分方程解法小结.doc

微分方程解法小结最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下：一、 一阶微分方程： F（x,y,y）=0可变量分离方程形如（x）dx-(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。解法：两边积分得：xdx=ydy。齐次方程dy y=（ ）dx x解法：换元。令 y= m x，则原方程可化为可分离变量方程。3.一阶线性微分方程dydx+P（x）y=Q（x）yn解法：两边同时乘以一个积分因子 e ò ，可得其通解公式：P(x)dx- P（x）dx éy=e ò Q(x)eò dx + cù 。P（x）dxò ûúêë4.Bernouli 方程：dydx+P（x）y=Q（x）yn解法：两边除以 y n 得：1 dyy dxn+ P（x）y1-n =Q（x），再做代换= y1-n ，就化成dydx+（1-n）P（x）=Q（x）的线性方程。二、二阶微分方程 F（x，y，y，y）=0可降阶的二阶微分方程 f ( x , y,y)=0 型：令 p= y， 则 y=p，将方程降阶为 f（x，p，p）=0 的一阶方程。 f（y，y，y）=0 型：令 p= y， 则 y=pdp dp ，将方程降阶为 f（y，p，p ）=0. dy dy2.二阶线性微分方程齐次方程 y+ P（x）y+q（x）y=0由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y1，用 y=z y1带入方程，整理后得出另一特解 y2= y1ò1y 21-òeP（x）dx dx 。(或可通过 Liouville 公式，亦可得出另一特解。)再由叠加原理得:齐次方程的通解为 y=c1y1+c y 。2 2非齐次方程 y+ P（x）y+q（x）y=f（x）解法：先解出对应的齐次方程的通解 yp= c1y +c y1 2 2。再用“常量变易法”得出另一特解 yf= c （x）y1+ c （x）y1 2 2。其中 c1（x）=-òy（t）f（t）dt2w（t），c （x）=2òy（t）f（t）dt 。1w（t）再由叠加原理得:非齐次方程的通解为 y= y + y 。pf3.二阶常系数线性微分方程：y+p y+q y=f（x）齐次方程 y+p y+q y=0.利用特征方程：特征方程 r 2 +pr+q=0 的根 通解两不等实根 r1¹ r2y= c1e +c er x r x1 22两相等实根 r1= r2y=e-p2 （c + c12x）两个复根 r=a ± b（b ¹ 0）y=eax （c1cosx+ c sinx）2非齐次方程y+p y+q y=f（x）对于各种类型的二阶常系数非齐次方程，先解出其齐次方程的通解，特解大多可用“待定系数法”求得。以上为我在学习过程中对微分方程解法的总结，有不对之出望老师指正。