2021-2022学年河南省南阳六校高二下学期期中数学（理）试题解析.doc

2021-2022学年河南省南阳六校高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1（       ）ABCD【答案】A【分析】依据复数除法和复数乘方去化简即可解决.【详解】故选：A2有一段演绎推理：所有的质数是奇数，是质数，所以是奇数.这段推理（       ）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的【答案】A【分析】由是质数，但不是奇数可知大前提错误.【详解】大前提为所有的质数是奇数，但是质数，但不是奇数，大前提错误.故选：A.3函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（       ）AB1C2D【答案】B【分析】分别求出在区间上的平均变化率和在时的瞬时变化率，利用相等求解即可.【详解】函数在区间上的平均变化率等于，在时的瞬时变化率为，所以，解得.故选：B4若函数，则的值为（       ）A12B16C18D24【答案】B【分析】求函数得导数，将x=-2代入，即可求得答案。【详解】由函数得：，故，则，故选：B5对任意正整数定义运算，其运算规则如下：；.则（       ）ABCD【答案】D【分析】根据新定义运算法则归纳计算【详解】由题意故选：D6若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】应用复数的除法求得，进而确定其共轭复数的点坐标，即可得答案.【详解】由题设，故，所以对应点为在第四象限.故选：D7函数在区间上（       ）A有极大值和极小值B有极大值，无极小值C有极小值，无极大值D没有极值【答案】C【分析】对函数求导后，令导数等于零，再由单调性判断即可【详解】由，得，令，得或（舍去），当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以是在上的极小值点，无极大值，故选：C8已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（       ）ABCD【答案】B【分析】首先求函数的导数，根据函数的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围.【详解】，因为函数在区间上单调，所以或，当恒成立，即或，得或，因为，所以.故选：B9下列推理正确的是（       ）A如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖B若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是C在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则D如果，均为正实数，则【答案】C【分析】按照推理、命题的否定及基本不等式相关知识依次判断.【详解】即使买了体育彩票，也不一定能中大奖，所以A错误；因命题“，使得”为假命题，故其否定“，恒成立”为真命题，因为二次函数的图象开口向上，所以，所以，所以B错误；在等差数列中，若，公差，当时有，所以在等比数列中，若，公比，由于，所以应有，故正确；当，均为正实数时，不一定为正数，所以不一定成立，所以D错误故选: C.10请阅读下列材料：若两个正实数，满足，求证：证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以根据上述证明方法，若个正实数，满足，你能得到的结论是（       ）ABCD【答案】D【分析】设函数，由对一切实数，恒有，可得答案.【详解】设函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以故选：D11“”是“，”的(       )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据，求出a的范围：令，利用导数求f(x)的最小值.【详解】若，则，令，令，在单调递增，当时，单调递减；当时，单调递增；，(Ü，“”是“，”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题关键是利用导数研究的单调性，求其最小值，利用充分条件和必要条件的概念即可解答.12已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ）ABCD【答案】A【分析】分离参数转化为用导数求函数的最小值【详解】，不等式化为，令，则，令（），则，所以在上是增函数，所以，所以时，递减，时，递增，所以，所以故选：A二、填空题13曲线在点处的切线方程为_【答案】【分析】求出代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程可得答案.【详解】，所以切线方程为，即故答案为：14若复数在复平面内对应的点为，则_【答案】2【分析】利用复数的乘、除运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】，由题意得，且，解得，所以故答案为：215若正三角形的周长为，面积为，外接圆半径为，则有类比此结论，设正四面体的表面积为，体积为，外接球半径为，则有_【答案】【分析】利用类比推理以及空间几何体的结构特征即可求解.【详解】正三角形的内切圆和外接圆圆心重合，内切圆半径是外接圆半径的一半，所以有，即，正四面体的内切球与外接球的球心重合，内切球的半径是外接球半径的，于是，所以故答案为：三、双空题16设函数，若，则的最小值为_；若无最小值，则实数的取值范围是_.【答案】          【分析】当时，分，求出函数得单调区间，从而即可求出函数得最小值；求导，根据无最小值，则或，解不等式组即可得出答案.【详解】解：当时，则当时，且单调递增；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的最小值为.综上可得，函数的最小值为.，令，则，若无最小值，则或，解得：.故答案为：；.四、解答题17已知函（1）用导数法证明在上为减函数；（2）用反证法证明方程没有负数根【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，并根据，以及，判断函数导数的正负，即可证明；（2）首先假设命题的否定，假设存在满足，则，利用等号两边函数的值域，推得矛盾.【详解】（1）由题可知，在恒成立，即在上为减函数（2）假设存在满足，则由可得，即，这与假设矛盾，故方程没有负数根【点睛】本题结合导数，考查反证法，本题第一问的关键是正确求得函数的导数，第二问的关键是假设命题的否定后，知道如何推得矛盾.18已知复数，且是纯虚数（1）求复数及；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围【答案】（1），；（2）.【分析】（1）计算出，根据纯虚数概念和模长公式即可得解；（2）计算出，实部为正，虚部为负解不等式组.【详解】（1），由题意得，所以，（2），对应的点在第四象限，所以解得，所以的取值范围是19已知函数，.(1)若在定义域上单调递增，求的取值范围；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据在定义域上单调递增，由对任意，成立求解；（2）求导，证明即可.【详解】(1)解：的定义域为，在定义域上单调递增，对任意，成立，即对任意，成立，的取值范围是.(2)，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，的极小值即最小值为，.20已知正方体的棱长为2，分别为，的中点，点为棱上靠近点的四等分点.(1)求证：且平面(2)求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）正方体中平面可得，利用三角形相似可得，即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小即可.【详解】(1)为的中点，为的中点，在正方体中，平面，平面，平面，.由已知可得，从而可得.又，平面.(2)以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，于是，.设平面的法向量为，则，令，得.设平面的一个法向量，则，令，得.，二面角的大小为.21已知数列的前项和，满足，且（1）求、；（2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】（1），；（2）猜想，证明见解析【分析】（1）分别令、，可求得、的值；（2）根据（1）猜想得出，由可知当猜想成立，假设当时猜想成立，可得出，可得出当时，由整理得出，解出即可得出结论成立.【详解】（1）对任意的，且当时，整理得，且，所以；当时，整理得，且，所以；当时，整理得，且，所以；（2）由（1）猜想，下面用数学归纳法加以证明：当时，由（1）知成立；假设当时，成立当时，所以，且，所以，即当时猜想也成立综上可知，猜想对一切都成立【点睛】思路点睛：“归纳猜想证明”的一般环节：（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；（3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.22已知函数，.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接求导后得到，直接写出切线即可；（2）直接求导确定单调性，端点作差确定最大值，得到不等式，结合单调性求解即可.【详解】(1)若，因为，所以曲线在处的切线方程为.(2)由题意知，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.设，则当时，所以当时，.则在上的最小值为，最大值为，所以，设，则当时，单调递增，由，可得，即的取值范围是.第 13 页 共 13 页