2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二下学期期中考试数学试题（平行班）（解析版 ）.doc

吉林一中20212022学年度下学期期中考试高二数学（平行班）试卷第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为或，所以，因此，.故选：A.2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解.【详解】解：由题意，即，所以，所以函数的定义域为，故选：A.3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2R，则“x1+x20”是“f（x1）+f（x2）0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数,若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，所以A选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.4. 若随机变量，且，则（ ）A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称即可计算结果.【详解】解：根据正态分布的对称性，.故选：A.5. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由题知，进而得，再根据期望、方差的性质求解即可.【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中，所以，所以，.故BD错误，AC正确.故选：BD6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数.例如：0.51，1.51.已知函数，则函数yf(x)的值域为（ ）A B. 1，0，1C. 1，0，1，2D. 0，1，2【答案】B【解析】【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案.【详解】,令，令，二次函数开口向上，对称轴为，所以，也即.所以.故选：B7. 2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出“4个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入条件概率公式计算即可【详解】事件A“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B“小组甲独自去一个国家”，则P（AB），P（B），P（A|B），故选：A【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，得函数为偶函数，且当时，为单调递增函数，进而将问题转换为，再结合奇偶性，对数函数单调性解不等式即可.【详解】解：由题知，函数的定义域为，所以为偶函数，因为当时，所以，当时，为单调递增函数，所以，当时，为单调递减函数，因为,所以即为，所以，即，所以.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A. 目标未被命中的概率为B. 目标恰好被命中一次的概率为C. 目标恰好被命中两次的概率为D. 目标被命中的概率为【答案】CD【解析】【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解.【详解】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为，故A错误；对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，概率为，故B错误；对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为，故C正确；对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为，故D正确；故选：CD10. 已知（），则下列结论正确的是（ ）A. B. 当时，n=5C. 若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13D. 当n=4时，【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由二项式展开式的系数的性质判断即可，对于B，由题意可得，从而可求出的值，对于C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可，对于D，当时，将代入结合可求得的值【详解】，A正确；的系数，则，所以，B正确；若的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数，则n等于12，当n为奇数，则n等于11或13，C错误；当时，令，则，又，所以，D正确.故选：ABD11. 袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（ ）A. 抽取次后停止取球的概率为B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为C. 取球次数的期望为D. 取球次数的方差为【答案】BD【解析】【分析】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为，可判断出B选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量的期望和方差，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论.【详解】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、，则，.对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确；对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误；对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确.故选：BD.12. 已知函数，则（ ）A. 在单调递增B. 的值域为C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】根据函数的性质分别判断每个选项即可.【详解】对于A，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递增，故A正确；对于B，故B错误；对于C，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D，则的图象关于点对称，故D正确.故选：AD.第卷（非选择题）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13. 函数的单调递增区间是_.【答案】（2，+）【解析】【分析】根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.【详解】是复合函数，可以写成，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故答案为：14. 幂函数在上单调递增，则m的值为_【答案】【解析】【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.【详解】解：因为函数是幂函数，则有，解得或，当时，函数在上单调递增，符合题意，当时，函数在上单调递减，不符合题意.所以的值为故答案为：15. 设，若是的最小值，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解.【详解】解：当时，任设，则，当时，所以，所以，当时，所以，所以，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，又因为是的最小值，所以且，解得.故答案为：.16. 某同学高考后参加国内3所名牌大学，的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学，招生考试的概率分别为，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为_；该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得的最小值，进而求出该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，由得，即，解得或，又，该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率为，最大值为故答案为：，四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列为等差数列，公差，前n项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据，且，成等比数列列出方程，即可解出，即可得出答案.（2）由（1）知，代入，再利用裂项相消求出，即可说明.【详解】（1）由题意得：，整理得，因为，所以，所以，（2），即【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，裂项相消法求数列的前项和.属于基础题.常见的裂项相消: .18. 根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：年份20162017201820192020年份代码12345每周人均读书时间（小时）1.32.85.78.913.8现要建立关于的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一；模型二，即使画出关于的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为.（1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为.附：参考数据：，其中，.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】（1）；（2）模型二的拟合效果更好.【解析】【分析】（1）首先换元令，先求得和，再根据数据和参考公式求得模型二的方程；（2）利用残差公式，求模型二的残差，比较大小，即可判断.【详解】（1）令，则模型二可化为关于的线性回归问题，则，则由参考数据可得，则模型二的方程为；（2）由模型二的回归方程可得，故模型二的拟合效果更好.19. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）调查结果如下表：A类B类C类男生x53女生y33（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的分布列与均值附：，附表：a0.100.0050.012.7063.8416.635【答案】（1）， （2）见解析 （3），分布列见解析【解析】【分析】（1）设被抽取的20人中，男、女生人数分别为；根据分层抽样的原理，求得，进而求得x，y的值；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论（3）X可能的取值为0，1，2，3，根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率，再得出X的数学期望.【小问1详解】设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则, 所以，【小问2详解】列联表如下：男生女生总计不参加课外阅读426参加课外阅读8614总计12820的观测值，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关【小问3详解】的可能取值为0，1，2，3，则， ， 所以其分布列如下表：20. 已知函数.（1）若时，存在，使得不等式成立，求的最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）【答案】（1）；（2）.【解析】分析】(1)由存在使不等式成立，只需，利用导数即可得的最小值；(2)分类讨论a保证在上是单调函数，从而确定a的范围【详解】（1）存在，使得不等式成立，则只需，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，在处取得极小值，即，又，故；（2），当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，设，函数开口向下，其对称轴，故只需，即，此时上单调递减，综上可得，.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式能成立问题，及利用导数研究函数的单调性求参数范围，考查了分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.21. 设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.（1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）.【解析】【分析】（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；（2）设直线方程为：，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值.【详解】（1）由已知得，所以抛物线方程为，椭圆方程为.（2）设直线方程为：，由消去得，设，则因为所以或（舍去），所以直线方程为：.由消去得，.设，则所以令，则，所以，当且仅当时，即时，取最大值.【点睛】本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题.22. 吉林化工集团是是集炼油、烯烃、合成树脂橡胶、合成氨于一体的特大型综合性石油化工生产企业，其子公司-星云化工厂即将交付客户一批产品“星云军防冻液”，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点（2）已知每件产品检验的成本为10元，若有不合格品进入用户手中，则工厂需要对每件不合格品赔付110元，现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，（）若余下的产品不再作检验，以（1）中作为的值，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，试求（）以（）检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）， （2）（）；（）应该作检验【解析】【分析】（1）由二项分布的概率公式求解即可，再根据导数研究单调性即可得；（2）（）令表示余下的180件产品中不合格的件数，则，进而根据期望的性质求解即可；（）计算全部作检验的费用，作比较即可得答案.【小问1详解】解：根据题意，所以，令得，所以，当时，单调递增，当时，单调递减；所以，当时，取得最大值，即.【小问2详解】解：（）由（1）知每件产品合格的概率为，所以，令表示余下的180件产品中不合格的件数，则，则，即，所以，.（）若对余下的产品作检测，则这一箱产品所需的检测费用为，所以，应该对余下的产品作检测.19