2021-2022学年湖北省部分重点中学高二下学期4月联考数学试题解析.doc

2021-2022学年湖北省部分重点中学高二下学期4月联考数学试题一、单选题1小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（       ）ABCD【答案】C【分析】根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由求解.【详解】因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，所以，解得.故选：C【点睛】本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2甲乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（       ）ABCD【答案】B【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：，所以，故选：B3为了支援新冠疫情发生的地区，某医院安排6名医生和5名护士前往疫区其中2名医生和1名护士负责疫情监控，另外4名医生和4名护士分两组（每组医生和护士各2人），分别负责内科和外科，则所有不同的安排方案有（       ）A10800种B1350种C5400种D2700种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理以及平均分组分配即可求解.【详解】负责疫情监控需要2名医生和1名护士，其安排方案为；负责内科和外科各需要2名医生，2名护士，其安排方案为，所以总的安排方案为， 故选：D4抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知是抛物线的焦点，从发出的光线经上的点反射后经过点，则（       ）A2B3C4D5【答案】C【分析】依题意可得，从而求出，再根据抛物线的定义计算可得；【详解】解：因为从发出的光线经上的点反射后经过点，由抛物线的光学性质可知.代入得，又抛物线的准线为，所以.故选：C.5已知数列的前项和为，且，则当取得最大值时，A5B6C7D8【答案】C【分析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，当时，即可得到答案.【详解】由题意，数列满足，即，所以数列为等差数列，设等差数列的公差为，则，所以数列的通项公式为，令，即，解得，所以当时，当时，所以数列中前项的和最大，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线与平面所成角为（       ）ABCD【答案】C【分析】利用空间向量法求解线面角即可.【详解】由题知：平面的法向量，直线的方向向量，所以，因为，所以.故选：C7已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（       ）ABCD【答案】A【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域、奇偶性以及f (x)函数值的符号,验证与函数图象是否一致，综合可得答案.【详解】对于，有，解可得，即的定义域为，又由，为奇函数，在区间上，在区间上，符合题意，对于，有，解可得，即的定义域为，在区间上，与图象不符，不符合题意，对于，有，解可得，即的定义域为，与图象不符，不符合题意，对于，有，解可得，即的定义域为，与图象不符，不符合题意，故选：A8在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（       ）ABCD【答案】A【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，再根据向量的关系计算即可得答案.【详解】， ，即:，；平面，直线，所以当、最短时，平面，为的中心，为线段的中点，如图：又正四面体的棱长为1，平面，故选：A【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，再求解.二、多选题9已知数列是公比为的等比数列，且，成等差数列，则的值可能为（       ）AB1CD2【答案】BC【分析】根据等差中项列方程，化简求得的值.【详解】由题意，可知，即又，或故选：BC10下列说法正确的是(       )A的展开式中，的系数为30B将标号为，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种C已知，则D记，则【答案】ACD【分析】A：根据结构可知，由2个y、1个x、2个构成，据此即可作答；B：先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6分成两组，将两组分别放入两个信封，据此即可求出不同的数量；C：根据排列数和组合数计算公式解方程即可；D：根据二项式系数求；令x1和x0分别求和，据此即可求解【详解】A选项：的展开式中，的系数为，故A正确；B选项：将标号为，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种(先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6均分成两组，将两组分别放入两个信封)，故B错误；C选项：，故C正确；D选项：，；令x0得，；令x1得，；，故D正确故选：ACD11已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（       ）A双曲线的离心率为2B若，且，则C以线段，为直径的两个圆外切D若点P在第二象限，则【答案】ACD【分析】通过求得，从而求得双曲线的离心率，由此判断A选项的正确性.结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性.通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性.结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.【详解】对于A，设，则，因为，所以，由，得，故A正确.对于B，因为，所以，根据双曲线的定义可得，又因为，所以，整理得.由，可得，即，解得，故B错误，对于C，设的中点为，O为原点.因为为的中位线，所以，则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确.对于D，设，则，.因为，所以，则渐近线方程为，所以，.又，所以，因为，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】求解双曲线离心率有关问题，可考虑直接法计算出，从而求得双曲线的离心率；也可以考虑建立或的关系式，通过整体求出或来求得双曲线的离心率.12函数f（x）lnx1，g（x）ex-1，下列说法正确的是（       ）（参考数据：e27.39，e320.09，ln20.69，ln31.10）A存在实数m，使得直线yxm与yf（x）相切也与yg（x）相切B存在实数k，使得直线ykx-1与yf（x）相切也与yg（x）相切C函数g（x）-f（x）在区间上不单调D当x（0，1）时，恒成立【答案】ABD【分析】对于AB，利用导数求出和的公切线即可判断；对于CD，构造函数，两次求导判断出函数的单调性即可判断.【详解】对于AB，设直线分别与与分别相切于点，则，且，故，且，化简得，故或，故公切线的斜率为或，对应的截距分别是或，故公切线为或，故选项A，B都正确；对于CD，令，则，故时，在上单调递增，又，则，故时，故函数在区间上单调递增，故选项C错误；又，故存在，使得，即，且时，时，故在上单调递减，在上单调递增，则，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：本题考查导数的应用，解题的关键是求出导数，利用导数判断出函数的单调性.三、填空题13数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为_.【答案】【分析】将递推关系式转化为，进而得出通项，再进一步验证得出通项公式.【详解】由得：（且）（且）即（且）数列是第二项起公比为的等比数列，（且）又不满足上式，14已知直三棱柱的各棱长都是，则点到直线的距离为_.【答案】【分析】连接，取中点，根据垂直关系可求得，由此可求得，利用面积桥可构造方程求得所求距离.【详解】连接，取中点，连接，三棱柱为直三棱柱，平面，平面，又平面，；为中点，；设点到直线的距离为，则，解得：，即点到直线的距离为.故答案为：.15已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则的解集为_.【答案】【解析】构造新函数，利用已知可以判断出新函数的单调性，最后利用单调性进行求解即可.【详解】设，因为，所以是上的减函数，因为，所以，因此.所以的解集为.故答案为：16如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为_.【答案】452【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n项和.【详解】设数列为，当为偶数时，易知；前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且，所以偶数项之和为：；当为奇数时，所以，则，所以前23项里面奇数项和为： =364，所以.故答案为：452.四、解答题17已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小求：(1)展开式中的系数；(2)展开式中所有的有理项【答案】(1)(2)第项，第项，第项【分析】（1）根据二项式系数和与各项系数和之间关系可构造方程求得，由此可得展开式通项，令即可求得的系数；（2）由展开式通项公式，分别令，可求得有理项.【详解】(1)令，则二项式展开式各项系数和为；又二项式展开式各项二项式系数之和为，即，解得：（舍）或，；则展开式通项公式为：；令，解得：，展开式中的系数为.(2)由（1）知：展开式通项公式为；令，则；令，则；令，则；展开式中的有理项有第项，第项，第项.18已知一圆C的圆心为C（2，-1），且该圆被直线：x-y-1=0 截得的弦长为2，求：（1）求该圆的标准方程，并求圆C关于直线对称的曲线方程；（2）若P(x，y)为圆上一点，若恒成立，求m的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）先算出关于直线的对称点，再算出圆心到直线的距离后可求得圆的半径，从而可得圆的标准方程.（2）求出原点与圆上的点的连线段长的的最小值，从而可求的取值范围.【详解】（1）圆C关于直线对称的曲线方程为圆，设关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故.到直线的距离为，故圆的半径为，故圆的半径为2，其标准方程为：.圆的半径也为2，其标准方程为：.（2），当在圆上运动变化时，故，所以.【点睛】关键点点睛：（1）圆中的弦长问题，往往利用垂径定理来沟通半径、弦长、弦心距的关系；（2）圆上的点与定点（在圆内）的距离的最值，往往转化半径与定点到圆心的距离的和和差来计算.19已知等差数列的前项和是，若，并且，成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)记的前项和是，求【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等比中项的性质求解方程即可；（2）错位相减法求解数列的前项和.【详解】(1)因为，成等比数列且，所以得，化简得，所以或者1，当时，所以，不是等比数列，与已知矛盾，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；(2)（2），所以，所以，.20如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACDE是正方形，平面ABC，.(1)求证：平面平面BEF；(2)求平面ABF与平面BEF的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证明面面垂直即证明线面垂直，即证线线垂直，根据图形中的垂直关系证明即可；（2）以A为原点，以AB，AC，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，运用空间向量中的法向量求二面角的大小.【详解】(1)因为，平面，所以平面，在正方形中，平面，所以平面.因为，所以平面平面.因为平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.由题意知，则，所以.因为，所以平面.又平面，所以平面平面.(2)因为，平面ABC，所以以A为原点，以AB，AC，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，.设为平面的法向量，则即取，则为平面的一个法向量设为平面的法向量，则即取，则为平面的一个法向量，所以.由图可知，二面角夹角为锐二面角，所以二面角的夹角余弦值为.21点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为(1)求点P的轨迹方程；(2)记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）设，点P到定直线的距离为d.利用直接法求轨迹方程；（2）设.先求出斜率不存在时，；当斜率不存在时，可设.由O到l的距离为，求得，用“设而不求法”表示出弦长，利用二次函数求最值.【详解】(1)设，点P到定直线的距离为d.由题意可得：，即，整理化简得：.即点P的轨迹方程为.(2)设.当直线l的斜率不存在时，由原点O到l的距离为，由对称性不妨设直线l：.所以满足，解得：，所以.当直线l的斜率存在时，可设.因为原点O到l的距离为，所以，即.则满足，消去y可得：.所以.所以因为，所以恒成立，所以.所以令则，则综上所述：的取值范围为.【点睛】（1）待定系数法、定义法、直接法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求法 ”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.22已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；(3)若，且，证明：.【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)(3)证明见解析【分析】（1）先求定义域，然后对进行分类讨论，求解不同情况下的单调区间；（2）在第一问的基础上，讨论实数的取值，保证函数有两个不同的零点，根据函数单调性及极值列出不等式，求出时满足题意，再证明充分性即可；（3）设，对题干条件变形，构造函数对不等式进行证明.【详解】(1)函数定义域为，当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为当时，解得，当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递减区间为，综上可知：当时，函数的单调递减区间为当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为(2)由（1）知，当时，函数在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，又函数有两个零点，又，使得，又，设函数在上单调递减，使得，综上可知，为所求.(3)依题意，是函数的两个零点，设，因为，不等式，所证不等式即设，在上是增函数，且，所以在上是增函数，且，即，从而所证不等式成立.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第 20 页 共 20 页