2022年高中理科数学离散型随机变量及分布列.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 理科数学复习专题 统计与概率离散型随机变量及其分布列学问点一1、离散型随机变量： 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母,X,Y ,x hggg表示,全部取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量；2、离散型随机变量的分布列及其性质：（1）定义：一般的,如离散型随机变量X 可能取的不同值为x1,x2,ggg ,xi, gggx n,X 取每一个值ix i=1,2,ggg , 的概率为P X=xi=p i,就表X x1x2gggixgggxnp p 1p2gggipgggp n称为离散型随机变量离散型随机变量X,简称 X 的分布列；n（2）分布列的性质： ip . 0, i 1,2, ggg ； . p i = 1i = 1（3）常见离散型随机变量的分布列：x 0 1 两点分布：如随机变量 X 的分布列为 , p p 1-p 就称 X 听从两点分布,并称 p = P x = 1 为胜利概率超几何分布：一般的,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有k n-kX 件 次 品 , 就 P X = k = C M g Cn N-M k = 0,1,2, ggg m , 其 中 m = min M n , , 且C NnN M N n M N . N * ,称分布列为超几何分布列；假如随机变量 X 的分布列具有下表的形式,就称随机变量 X 听从超几何分布X 0 1 ggg m P C M 0C g CN n N n-0M C M 1C g CN n N n-1M ggg C M mC g CN n N n-mM3、随机变量的数学期望（均值）与方差名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例 1】已知一随机变量的分布列如下,且 E6.3,就 a 值为 4 a 9 P 0.5 0.1 bA. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【变式 1】 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,假如胜利,一年后可获利12%；一旦失败,一年后将丢失全部资金的50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果：投资胜利 投资失败192 次 8 次就该公司一年后估量可获收益的期望是 _题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布）【例 2】在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值50 元的奖品；有二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某顾客从今 10 张奖券中任抽 2 张,求：1该顾客中奖的概率；名师归纳总结 2该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 2】某饮料公司聘请了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别公司预备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4杯 A 饮料如 4 杯都选对,就月工资定为3 500 元；如 4 杯选对 3 杯,就月工资定为 2 800 元；否就月工资定为 2 100 元令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别才能1求 X 的分布列； 2求此员工月工资的期望学问点二1条件概率及其性质对于两个大事 A 和 B,在已知大事 B 发生的条件下,大事 A 发生的概率叫做条件概率,用符号 PA|B来表示,其公式为 PA|BP AB P B PB>0在古典概型中,如用 nB表示大事 B 中基本领件的个数,就 PA|Bn AB n B . 2相互独立大事1对于大事 A、B,如大事 A 的发生与大事 B 的发生互不影响,称 A、 B 是相互独立大事2如 A 与 B 相互独立,就 PAB PAPB3如 A 与 B 相互独立,就A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立4如 PABPAPB,就 A 与 B 相互独立3二项分布1独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有 _两_种结果, 即要么发生, 要么不发生, 且任何一次试验中发生的概率都是一样的2在 n 次独立重复试验中,用 X 表示大事 A 发生的次数,设每次试验中大事 A 发生的概率为 p,就 PXkCk np k1p nkk0,1,2, , n,此时称随机变量 X 听从二项分布,记为XBn,p,并称 p 为胜利概率名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型三 条件概率例 11 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,大事A 为“ 取到的2 个数之和为偶数”,大事 B为“ 取到的2 个数均为偶数”,就 PB|A_. 2如下列图, EFGH 是以 O 为圆心,半径为1 的圆的内接正方形,将一粒豆子随机地扔到该圆内,用A 表示大事“ 豆子落在正方形EFGH内” ,B 表示大事“ 豆子落在扇形OHE 阴影部分 内” ,就PB|A_. 练：某地空气质量监测资料说明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,就随后一天的空气质量为优良的概率是 _题型四 由独立大事同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布）例 1 在一场消遣晚会上,有 5 位民间歌手 1 至 5 号登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手1求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；2X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,“ 求 X2” 的大事概率例 2 在一次数学考试中,第 21 题和第 22 题为选做题 规定每位考生必需且只须在其中选做一题设 4 名同学选做每一道题的概率均为 12. 1求其中甲、乙两名同学选做同一道题的概率；名师归纳总结 2设这 4 名考生中选做第22 题的同学个数为,求 的概率分布第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：一款击鼓小嬉戏的规章如下：每盘嬉戏都需击鼓三次,每次击鼓要么显现一次音乐,要么不显现音乐； 每盘嬉戏击鼓三次后,显现一次音乐获得 10 分,显现两次音乐获得 20 分,显现三次音乐获得 100 分,没有显现音乐就扣除 200 分 即获得 200 分设每次击鼓显现音乐的概率为1 2,且各次击鼓显现音乐相互独立1设每盘嬉戏获得的分数为 X,求 X 的概率分布2玩三盘嬉戏,至少有一盘显现音乐的概率是多少？【误区解密】抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？例：某学校 10 个同学的考试成果如下： （ 98 分为优秀）（1）10 人中选 3 人,求至多 1 人优秀的概率（2）用 10 人的数据估量全级,从全级的同学中任选 X 的分布列3 人,用 X 表示优秀人数的个数,求名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练： 18、某市在“ 国际禁毒日” 期间,连续如干天发布了“ 珍爱生命,远离毒品” 的电视公益广告,期望让更多的市民知道毒品的危害性. 禁毒理想者为了明白这就广告的宣传成效,随机抽取了 100 名年龄阶段在 10,20 , 20,30 , 30,40 , 40,50 , 50,60的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图如下列图 . （）求随机抽取的市民中年龄在 30,40 的人数；（）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5 从,求50,60 年龄段抽取的人数；（）从（）中方式得到的5 人中再抽到2 人从中随机抽取50 个作为作为本次活动的获奖者,记X 为年龄在50,60年龄段的人数,求X的分布列及数学期望. 2、一个盒子中装有大量外形大小一样但重量不尽相同的小球,样本,称出它们的重量（单位：克）,重量分组区间为（5,15 ,（15,25 （25,35 ,（35,45 ,由此得到样本的重量频率分布直方图,如图（）求 a 的值；（）依据样本数据, 试估量盒子中小球重量的平均值；（）从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在（5,15 内的小球个数为 ,求 的分布列和数学期望及方差名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
