大学物理第三章习题选解.doc
|第三章 刚体的转动3-1 一飞轮受摩擦力矩作用减速转动，其角加速度与角速度成正比，即，式中 为比例常数。初始角速度为 ，求：k 0（1）飞轮角速度随时间变化的关系；（2）角速度由 减为 所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数。020解：（1）由 ，dtkdt分离变量 ，并由初始条件 ；kt0,等式两边积分 tkd00kt0lnkte0（2）当角速度由 减为 时02kte021kte2ln1lt由 ，dtt0 ktedt0分离变量 ，并由初始条件 ， ；等式两边积分dtek0tekt00ktkt 01代入 ，得飞轮转过的角度2ln1kt| kkek21002ln0 飞轮转过的转数 N403-2 一刚体由静止开始绕一固定轴作匀角加速转动。由实验可测得刚体上某点的切向加速度为 ，法向加速度为 ，试证明 ， 为任意时tana2tna间内转过的角度。解：刚体定轴转动时,设刚体上某点作圆周运动的半径为 ，则该点的R法向加速度为 Ran2切向加速度为 t2Ratn又 ，且02000,2tna3-3 一根质量为 ，长为 的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的ml竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦因数为 ，求杆转动时受摩擦力矩的大小。解：设杆的线密度为 。在杆上取一线元距转轴为 ，质量为 。rdrm该线元在转动时受桌面摩擦力为 drgmdNf 摩擦力方向与 垂直，故线元受摩擦力矩的大小为r rfM杆转动时受摩擦力矩的大小为 2020 lgrrdgdll |又 lmmglM213-4 如图所示，一长为 ，质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为l和 的小球，杆可绕通过其中心 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平2O面内转动。开始杆与水平方向成某一角度 ，处于静止状态，释放后，杆绕 轴转动。当杆转到水平位置时，求系统所受的合外力矩 与系统的角加M速度 大小。解：两小球对水平转轴的转动惯量为 题 3-4 图2243mlllJ当杆转到水平位置时，小球和直杆所受合外力矩为 题 3-4 图mglllgM212由刚体的转动定律 Jlgm3423-5 如图 所示，一轻绳绕于半径()a的飞轮边缘，现以恒力mr2.0NF98拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。已知飞轮的转动惯量为 ，飞轮25.0mkgJ与轴承之间的摩擦不计。题 3-5 图（1） 求飞轮的角加速度；（2） 求绳子拉下 时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能；5（3） 这动能和拉力 所做的功是否相等？为什么？F（4） 如以重量 的物体 挂在绳端，如图 示，飞轮将如何运动？NP98m()b试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下 时飞轮获得的动能。这动能和重力对物5|体 所做的功是否相等？为什么？m解：恒力 作用于飞轮的力矩 FmNrM6.19（1）由刚体转动第二定律 ，飞轮J的角加速度 2.39sradJ（2）绳子拉下 时，飞轮转过的角度m5题 3-5 图 题 3-5 图rl2 ()a()b设经过的时间为 ，则t 21tst3.飞轮的角速度 1.4radt飞轮获得的动能 JEk9021（3）拉力 所做的功为 FFlA与飞轮获得的动能相等（4）若在绳端挂 重量的物体N98则有 解得 TramPJ 28.1 sradJmrP绳子拉下 时，飞轮的角速度为 ，由 ，52trl10.32 sadrlt飞轮获得动能 JJEk4.712重力对物体所做的功 PlA90|物体所获动能 22117.8kEmrJv重力对物体所做的功为物体动能和飞轮动能之和。3-6 如图所示，两物体的质量分别为 和 ，滑轮转动惯量为 ，半径12mJ为 ，则r（1） 若 与桌面间滑动摩擦系数为 ，求2m系统的加速度 及绳中张力（设绳不可伸长，a绳与滑轮间无相对滑动） ；（2） 如 与桌面为光滑接触，求系统的加2速度与绳中张力；（3） 若滑轮的质量不计则结果又如何？ 题 3-6 图 解：（1）若 与桌面滑动摩擦系数为 ，则有如下方程组2mraamgTJ2211解得 21rJ122mgTJr212gTJmr（2）若 与桌面光滑接触，则有2m|解得 ramTJag21121221121rJmgTrJmga（3）若再忽略滑轮质量解得 ramTag211021211mgTa3-7 如图所示，轻弹簧、定滑轮和物体系统。已知弹簧倔强系数 ，定12Nk滑轮转动惯量 ，半径 ，5.0mgJr3.0开始物体静止，弹簧无伸长，求当质量为的物体落下 时它的速度大小。 kgm604. 题 3-7 图解：设物体 下落了 时，其速度为 ，由机械能守恒定律xv22211mgkJ又 故有rv2211Jgxkrv122mxkJrv代入 ， ， ， ，mx4.0kg60r3.25.0kg1mN得 12.678msv|3-8 如图所示，一质量为 的物体m与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 ，半径为 ，转动惯量为 ，MR2MR滑轮轴光滑。求该物体由静止开始下落过程中下落速度与时间的关系。 题 3-8 图解：方法一：由牛顿第二定律及刚体的转动定律得得 21MRJaTmg2Mga故物体 的下落速度为 题 3-8 图m2mgtatv方法二：由机械能守恒定律 221ghJv其中 221hattt21MR解得 2mgv3-9 水分子的形状如图所示。从光谱分析知水分子对 轴的转动惯量A是，对 轴的转动惯量是2471093.mkgJA B。试由此数据和各原子的质量求B出氢和氧原子间的距离 和夹角 。假设各原子都可当质d点处理。解：水分子中两个氢分子对 轴和 轴的转动惯AB|量分别为 、 题 3-9 图AJB 2sin2sin2 dMmdrH coco2JB已知氢原子质量 kgH271063.49mJA 27.kB、两式相除，得 BAJtan22510486.30.1rct 把 值代入式得 mMJdHA121058.9sin2 3-10 如图所示，从一个半径为 的均匀薄板上挖去一个直径为 的圆板。RR所形成的圆洞中心在距原薄板中心 处。所剩薄板的质量为 。求此时薄板对于通过圆中心而与板面垂直的轴的转动惯量。解：设均匀薄板被挖去圆板后的转动惯量为 ，挖去圆板前的转动惯量为J，被挖去的圆板对转轴的转动惯量为 ，则有1J 221J被挖去的圆板对通过自己圆心 并垂O直于板面的转轴的转动惯量为，由平行轴定理21Rm 2221RmJ题 3-10 图|又 322mRSm 故 281J221 3mRRmJ薄板对通过圆中心 的垂直轴的转动惯量O22221 41383J3-11 如图所示，一根质量均匀的铁丝，质量为 ，长为 ，在其中心 处mLO弯成 角，放在 平面内。120xy（1） 求对 轴和 轴的转动惯量； O、 z（2） 如果 ， （1）中结果如何？ 题 3-11 图6解：（1） 302,0在距 点为 处取线元 ，距 轴为 。线元质量为 ，对OldlOxsinlr dlLm轴的转动惯量为x dlLmlrJ22si铁丝对 轴的转动惯量 2200sinLLoxJdl2203481simLlmL同理 ，216Joy2Joz（2）若 0,60222016sinmLdlLmJox |2148oyJmL21ozJL3-12 长为 ，质量为 的匀质棒，垂直悬挂在转轴 点上，用kg5. O的水平力撞击棒的下端，该力作用的时间为 ，求：NF10 s02.（1） 棒所获得的动量矩；（2） 棒的端点上升的距离。解：棒对转轴的转动惯量为 2283.01mkglJ（1）在打击瞬间，重力对转轴不产生力矩，由角动量定理，棒所获得的动量矩 120.smkgtFlJ 题 3-12 图（2）撞击后，棒转动到最高位置时角速度为零，以棒和地球为研究对象，此过程中机械能守恒。设棒的中心 上升的距离为 。AhgJ21lmlh6232其中 代入上式14.2sradJtFlh098.棒的端点上升的距离 H1623-13 如图所示，一根质量为 ，长为 的均匀细棒，可在竖直平面内绕ml通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置。一质量为 的小球，以速m度 垂直落到棒的端点。设小球与棒作弹性碰撞。u求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度。解：棒的转动惯量为 2231mllJ题 3-13 图设碰撞后小球的速度为 ，棒的角速度为 。碰撞过程内力比外力大的多，碰v
