2023年立体几何核心知识点梳理.doc
立体几何核心知识点梳理江苏省靖江高级中学 蔡正伟一、考试内容1平面；平面的基本性质；平面图形直观图的画法.2两条直线的位置关系；平行于同一条直线的两条直线互相平行；相应边分别平行的角；异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.3直线和平面的位置关系；直线和平面平行的鉴定与性质；直线和平面垂直的鉴定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影；直线和平面所成的角；三垂线定理及其逆定理.4两个平面的位置关系；平面平行的鉴定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的鉴定与性质.5（理科）空间向量共线、共面的充足必要条件，空间向量的加法、减法及数乘运算，空间向量的坐标表达，空间向量的数量积，空间向量的共线与垂直，直线的方向向量与平面的法向量，运用空间向量求立体几何中的角.二、考试规定1掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念.对于异面直线的距离，只规定会计算已给出公垂线时的距离.2能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与鉴定，进行论证和解决有关问题.对于异面直线上两点的距离公式不规定记忆.3会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图.可以画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，可以根据图形想象它们的位置关系.4（理科）会用空间向量计算线线角，线面角，面面角.三、考点简析1空间元素的位置关系空间由点，线，面3个元素构成，立体几何重要研究线和线，点和面，线和面，面和面之间的关系.两条直线关系涉及相交，平行，异面；直线和平面之间的关系涉及线在面内，线面相交（涉及斜交和垂直），线面平行；面面关系涉及面面相交（涉及斜交和垂直），面面平行.2.平行、垂直位置关系的转化立体几何中的证明只要围绕着平行和垂直展开.线线平行，线面平行，面面平行证明是互相依赖的，线线垂直，线面垂直，面面垂直也是互相依赖.需要对每一种关系的鉴定定理和性质定理充足理解，证明过程中，需要列出相应的条件，得出结论.3.棱柱、棱锥、棱台，球等空间几何体空间几何体一般是最为考题的载体，需要熟悉各种几何体的定义.其中还会涉及一些几何体的体积和表面积的相关问题，特别是四周体体积的求法.4.空间元素间的数量关系（1）角相交直线所成的角；异面直线所成的角转化直线方向向量夹角；假如分别是异面直线的方向向量,它们的夹角为,则当时,异面直线所成的角即为；当时,异面直线所成的角即为.直线与平面所成的角转化为直线的方向向量和平面的法向量夹角；假如是直线的方向向量, 是平面的法向量, 与的夹角为,则直线与平面所成的角等于.二面角转化成两个平面的法向量夹角.设二面角的大小为，另个平面的法向量分别为，由于二面角的取值范围是,所以二面角与这两个平面的法向量的夹角相等或互补,具体判断必须借助具体图形来拟定.（2）距离重要考点是点到面的距离，常用的方法有： 等体积法构造恰当的四周体，运用四周体的体积换底算两面遍，求出相应四周体的高；（理科） 向量法运用平面法向量和直线方向向量夹角，解直角三角形.求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：.四、典型例题解析例1 如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，A1BA1D，ABAD.求证：(1)AA1BD；(2)BB1DD1.分析：题目条件中有两个线段相等，即有两个共底的等腰三角形，自然想到取底BD的中点，找到线线垂直，从而通过证明线面垂直来证明AA1BD.题目条件中的线线平行可以证明线面平行，运用线面平行的性质定理可以证明BB1DD1.解析：(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.由于A1DA1B，ADAB，所以BDAM，BDA1M.又AMA1MM，AM，A1M平面A1AM，所以BD平面A1AM.由于AA1平面A1AM，所以AA1BD.(2)由于AA1CC1，AA1平面D1DCC1，CC1平面D1DCC1，所以AA1平面D1DCC1.又AA1平面A1ADD1，平面A1ADD1平面D1DCC1DD1，所以AA1DD1.同理可得AA1BB1，所以BB1DD1.点评：（1）要证明线线垂直有两条思绪：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明.即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面.第二条思绪用的较多，要纯熟，第一条用的较少，但也不能忘.（2）证明线线垂直也重要有两条思绪，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理.面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学忽视. 例2 如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上拟定一点N，使得MN平面DAE.分析：题目条件中出现线面垂直，三条线段相等，在证明线线垂直时候一般证明一条线段垂直通过另一条线段的一个平面.第二问是探索性问题，找点N使得过该点的直线和这个平面平行，也可找过该点的平面与这个平面平行，运用面面平行来证线面平行.解析：(1)证明AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，又AE平面ABE，则AEBC.又BF平面ACE，AEBF，又BFBCBAE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.(2)解在ABE中过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNMGG，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点点评：解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充足条件，假如找到了符合题目结果规定的条件，则存在；假如找不到符合题目结果规定的条件(出现矛盾)，则不存在例3 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBCAA1，且ACBC，点D是AB的中点证明：平面ABC1平面B1CD.分析：本题重点是寻找垂直的信息，ACBC这个条件可以用勾股定理证明线线垂直，这个是比较容易被忽视的.解析：证明ABCA1B1C1是棱柱，且ABBCAA1BB1，四边形BCC1B1是菱形，B1CBC1.由AA1平面ABC，AA1BB1，得BB1平面ABC.AB平面ABC，BB1AB，又ABBC，且ACBC，ABBC，而BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，AB平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ABB1C，而ABBC1B，AB，BC1平面ABC1.B1C平面ABC1，而B1C平面B1CD，平面ABC1平面B1CD.点评：其实证明面面垂直就是证明线面垂直，不同的是需要我们找哪条直线垂直哪个平面，一般方法是假如是要证明，那么就在内找一条直线证明，或者在内找一条直线证明ABCD例4 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点（1）求证：平面；（2）求二面角的三角函数值；（理科学生研究）（3）求点到平面的距离分析：本小题重要考察直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力对于二面角的求法，可以先找后求，重要难点是在找的过程，这种求法目前已不做规定，有爱好可以去研究思考.求二面角也可以用空间向量来求，这个在附加卷中也许会出现，文科学生不必深究了.解析：解法一：（1）取中点，连结ABCDOF为正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面（2）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（1）得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以二面角的正弦值为（3）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由，得，点到平面的距离为解法二：（1）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面xzABCDOFy取中点，认为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，平面（2）设平面的法向量为， ，令得为平面的一个法向量由（1）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（3）由（2），为平面法向量，点到平面的距离点评：本例中（3）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简朴些，因此可优先考虑使用这一种方法.本文罗列了立体几何中的核心知识点以及解决立体几何问题常用的一些思绪、方法.立体几何题在高考试卷上通常难度不会太大，但是需要证明推理严密，运用公理定理恰当.对于理科学生，附加卷中也许会出现用空间向量解决的立体几何问题，这种题型一般需要先建立合适的坐标系，写出相关点的坐标，运用直线的方法向量或平面的法向量间的夹角来求相应的角.空间向量是解决立体几何求角问题的绝好的工具，由于篇幅有限，不再赘述空间向量相关的知识点.
