2023年八年级数学竞赛讲座全等三角形.doc

第十讲 全等三角形 全等三角形是平面几何内容基本，这是由于全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质有力工具，是解决与线段、角有关问题一种出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常用几何问题运用全等三角形证明问题，核心在于从复杂图形中找到一对基本三角形，这对基本三角形从实质上来说，是由三角形全等鉴定定理中一对三角形变位而来，也也许是由几对三角形构成，其间关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角如下两类基本图形：例题求解 【例1】 如图，E=F=90°，B=C，ACAF，给出下列结论：1=2；BE=CF；ACNABM；CD=DN，其中对的结论是 (把你认为所有对的结论序号填上) (广州市中考题)思绪点拨 对一种复杂图形，先找出比较明显一对全等三角形，并发既有用条件，进而判断推出其她三角形全等 注 两个三角形全等是指两个图形之间一种相应”关系，“相应两字，有“相称”、“相应”含意，相应关系是按一定原则一对一关系，“互相重叠”是判断其相应某些原则实际碰到图形，两个全等三角形并不重叠在一起，但其中一种三角形是由另一种三角形按平行移动、翻拆、旋转等办法得到，这种变化位置，不变化形状大小图形变动叫三角形全等变换 【例2】 在ABC中，AC5，中线AD4，则边AB取值范畴是( ) A1<AB<9 B3<AB<13 C5<AB<13 D9<AB<13 (连云港市中考题) 思绪点拨 线段AC、AD、AB不是同一种三角形三条边，通过中线倍长将分散条件加以集中 【例3】 如图，BD、CE分别是ABC边AC和AB上高，点P在BD延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQ=AB求证：(1)AP=AQ；(2)APAQ(江苏省竞赛题) 思绪点拨 (1)证明相应两个三角形全等；(2)在(1)基本上，证明PAQ=90° 【例4】 若两个三角形两边和其中一边上高分别相应相等，试判断这两个三角形第三边所对角之间关系，并阐明理由 ( “五羊杯”竞赛题改编题) 思绪点拨 运用全等三角形鉴定和性质，探讨两角之间关系，解题核心是由高特殊性，分三角形形状讨论注 有时图中并没有直接全等三角形，需要通过作辅助线构造全等三角形，完毕恰当添辅助线任务，咱们思堆要经历一种观测、联想、构造过程边、角、中线、角平分线、高是三角形基本元素，从以上诸元素中选用三个条件使之组合可得到关于三角形全等鉴定若干命题，其中有真有假，课本中全等三角形鉴定办法只涉及边、角两类元素【例5】 如图，已知四边形纸片ABCD中，AD BC，将ABC、DAB分别对折，假如两条折痕正好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论?思绪点拨 折痕先后重叠某些是全等，从线段关系、角关系、面积关系等不同方面进行摸索，以获得更多结论注 例5融操作、观测、猜想、推理于一体，需要一定综合能力推理论证既是阐明道理，也是摸索、发现逄径 善于在复杂图形中发现、分解、构造基本全等三角形是解题核心，需要注是，普通面临如下状况时，咱们才考虑构造全等三角形： (1)给出图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；(2)从题设条件无法证明图形中三角形全等，证明需要另行构造全等三角形学力训练 1如图，AD、AD分别是锐角ABC和ABC中BC、BC边上高，且AB= AB，ADAD，若使ABCABC，请你补充条件(只需要填写一种你认为恰当条件) (黑龙江省中考题)2如图，在ABD和ACE中，有下列4个论断：AB=AC；ADAC；B=C；BD=CE，请以其中三个论断作为条件，余下一种论断作为结论，写出一种真命题(用序号形式写出) (海南省中考题)3如图，把大小为4×4正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1请在下图中，沿着虚线画出四种不同分法，把4×4正方形方格图形分割成两个全等图形4如图，DAAB，EAAC，ABAD，ACAE，BE和CD相交于O，则DOE度数是 5如图，已知OA=OB，OC=OD，下列结论中：A=B；(DECE；连OE，则OE平分O，对的是( ) A B C D6如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，123，则DE长等于( ) ADC B BC CAB DAE+AC (武汉市选拔赛试题)7如图，AECD，ACDB，AD与BC交于O，AEBC于E，DFBC于F，那么图中全等三角形有( )对A5 B6 C 7 D88如图，把ABC绕点C顺时针旋转35°，得到ABC，AB交AC于点D，已知ADC=90°，求A度数 (贵州省中考题)9如图，在ABE和ACD中，给出如下4个论断：AB=AC；ADAE；AMAN；ADDC，AEBE以其中3个论断为题设，填人下面“已知”栏中，一种论断为结论，填人下面“求证”栏中，使之构成一种真命题，并写出证明过程 已知：求证： (荆州市中考题)10如图，已知1=2，EFAD于P，交BC延长线于M，求证：M=（ACBB） (天津市竞赛题)11在ABC中，高AD和BE交于H点，且BHAC，则ABC 12如图，已知AE平分BAC，BEAE于E，EDAC，BAE36°，那么BED (河南省竞赛题)13如图，D是ABC边AB上一点，DF交AC于点F，给出3个论断：DE=FE；AECE；FCAB，以其中一种论断为结论，别的两个论断为条件，可作出3个命题，其中对的命题个数是 (武汉市选拔赛试题)14如图，ADBC，12，34，AD=4，BC=2，那么AB= 15如图，在ABC中，AD是A外角平分线，P是AD上异于A任意一点，设PBm，PCn，AB=c，AC=b，则（m+n）与(b+c)大小关系是( ) Am+n> b+c B m+n<b+c Cm+n= b+c D不能拟定16如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，AB>AD，下列结论中对的是( ) AABAD>CBCD BABADCBCDCABAD<CBCD DABAD与CBCD大小关系不拟定 (江苏省竞赛题)17考察下列命题( )(1) 全等三角形相应边上中线、高、角平分线相应相等；(2) 两边和其中一边上中线(或第三边上中线)相应相等两个三角形全等；(3) 两角和其中一角角平分线(或第三角角平分线)相应相等两个三角形全等；(4)两边和其中一边上高(或第三边上高)相应相等两个三角形全等其中对的命题个数有( ) A4个 B3个 C 2个 D1个18如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE=(AB+AD)，求ABC+ADC度数 (上海市竞赛题)19如图，ABC中，D是BC中点，DEDF，试判断BE+CF与EF大小关系，并证明你结论20如图，已知AB=CD=AEBC+DE=2，ABC=AED=90°，求五边形ABCDC面积 (江苏省竞赛题)21如图，在ABC中，ABC=60°，AD、CE分别平分BAC、ACB，求证：AC=AF+CD(武汉市选拔赛试题)22(1)已知ABC和ABC中，AB= AB，BC= BC，BACBAC=100°，求证：ABCABC；(2)上问中，若将条件改为ABAB，BC= BC，BACBAC =70°，结论与否成立?为什么?