复变函数课后部分习题解答.doc

|1.2求下列各式的值。（1）( -i)35解： -i=2cos( -30°)+isin(-30°)=2cos30°- isin30°( -i) =2 cos(30° 5)-isin(30° 5)5=2 (- /2-i/2)5=-16 -16i3|1.2求下列式子的值（2） （1+i） 6解：令 z=1+i 则 x=Re（z）=1，y=Im（z）=1r= = =z2yxtan = =1x>0,y>0属于第一象限角=41+i= （cos +isin ）24（1+i） =（ ） （cos +isin ）6646=8（0-i）=-8i1.2求下式的值(3)61|因为-1=（cos +sin ）所以=cos( /6)+sin( /6) (k=0,1,2,3,4,5,6). 61k2k2习题一1.2（4）求(1-i) 的值。31|解：(1-i) = (cos- +isin- )312431= cos( )+isin( )61)8(k2)8(k(k=0,1,2)1.3求方程 +8=0的所有根。3z解：所求方程的根就是 w=38因为-8=8（cos +isin ）所以 = cos( +2k )/3+isin( +2k )/3 k=0,1,238|其中 = = =23r8即=2cos /3+isin /3=1 i1w3=2cos( +2 )/3+isin( +2 )/3=-22 =2cos( +4 )/3+isin( +4 )/3= 1 i3 3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。(1) Im(z)>0 解：设 z=x+iy因为 Im(z)>0，即，y>0|而 ),(x所以，不等式所确定的区域 D为：不包括实轴的上半平面。由所确定的区域可知，不存在某一个正数 M，使得确定区域内的每个点 z满足 ，所以该区域是无界的。M在该区域 D内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于D区域，所以区域 D为单连通区域。综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。1.5（2） |+1|4解：该不等式的区域如图所示：|圆 + =4的外部（不包括圆周） ，无界的，为开的多连通区域（ 1） 221 5 x y|1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的0<Re(z)<1由直线 X=0与 X=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界|的还是无界的，单连通的还是多连通的：（4） 32z解： 即 为由圆周9422yx与 所围成的环形闭区域（包括圆周） ，22yx22是有界多连通闭区域。如图：已知映射 w=z3， 求（1） 点 z1=i，z 2=1+i，z 3= +i，在 w平面上的像。解：z=r ei ，则 w=z3r3 。于是3|1 Z1=i=e ,2i2z2=1+i= ( )=2cos4+isin4 24Z3= +i=2（ +i ）=2( )=332 12 cos6+isin62 6经映射后在 w平面上的像分别是W1= =-i,33W2= = （- +i ）=-2+i2，2323422 12 12W3= =8i232