2023年概率论知识点总结.doc
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可反复性(2)多结果性(3)不拟定性的实验或观测称为随机实验,简称为实验,常用 E 表达。随机事件:在一次实验中,也许出现也也许不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。不也许事件:在实验中不也许出现的事情,记为。 必然事件:在实验中必然出现的事情,记为。 样本点:随机实验的每个基本结果称为样本点,记作. 样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用表达. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本领件单点集,复合事件多点集一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)包含关系:若事件 A 发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为或。 相等关系:若且,则称事件A与事件B相等,记为AB。事件的和:“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A与事件B的和事件。记为 AB。事件的积:称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A B或AB。事件的差:称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 AB。用交并补可以表达为。互斥事件:假如A,B两事件不能同时发生,即AB,则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为AB。对立事件:称事件“A不发生”为事件A的对立事件(逆事件),记为。对立事件的性质:。事件运算律:设A,B,C为事件,则有(1)互换律:AB=BA,AB=BA(2)结合律:A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC(3)分派律:A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC(4)对偶律(摩根律): 第二节 事件的概率概率的公理化体系:(1)非负性:P(A)0;(2)规范性:P()1(3)可数可加性:两两不相容时概率的性质:(1)P()0(2)有限可加性:两两不相容时当AB=时P(AB)P(A)P(B)(3)(4)P(AB)P(A)P(AB)(5)P(AB)P(A)P(B)P(AB)第三节 古典概率模型1、设实验E是古典概型, 其样本空间由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为2、几何概率:设事件A是的某个区域,它的面积为 (A),则向区域上随机投掷一点,该点落在区域 A 的概率为假如样本空间可用一线段,或空间中某个区域表达,则事件A的概率仍可用上式拟定,只但是把理解为长度或体积即可. 第四节 条件概率条件概率:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为条件概率,记作 P(A|B).乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)全概率公式:设是一个完备事件组,则P(B)=P()P(B|)贝叶斯公式:设是一个完备事件组,则第五节 事件的独立性两个事件的互相独立:若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B),则称A、B独立,或称A、B互相独立.三个事件的互相独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)= P(A) P(B),P(AC)= P(A)P(C),P(BC)= P(B) P(C),P(ABC)= P(A) P(B)P(C),则称A、B、C互相独立三个事件的两两独立:对于三个事件A、B、C,若P(AB)= P(A) P(B),P(AC)= P(A)P(C),P(BC)= P(B) P(C),则称A、B、C两两独立独立的性质:若A与B互相独立,则与B,A与,与均互相独立总结:1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演重要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用, 应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一,应对的理解并应用于概率的计算。第二章 一维随机变量及其分布第二节 分布函数分布函数:设X是一个随机变量,x为一个任意实数,称函数为X的分布函数。假如将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 F(x)的值就表达X落在区间 内的概率分布函数的性质:(1)单调不减;(2)右连续;(3)第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律:设(k=1,2, )是离散型随机变量X所取的一切也许值,称 为离散型随机变量X的分布律,也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时,常用表格形式表达分布律。分布律的性质:(1);(2)离散型随机变量的概率计算:(1)已知随机变量X的分布律,求X的分布函数;(2)已知随机变量X的分布律, 求任意随机事件的概率;(3)已知随机变量X的分布函数,求X的分布律三种常用离散型随机变量的分布:1.(01)分布:参数为p的分布律为2.二项分布:参数为n,p的分布律为,。例如n重独立反复实验中,事件A发生的概率为p,记X为这n次实验中事件A发生的次数,则XB(n,p)3.泊松分布:参数为的分布率为,。例如记X为某段事件内电话互换机接到的呼喊次数,则XP()第四节 连续型随机变量连续型随机变量概率密度f(x)的性质(1)f(x)0(2),(3)(4)连续型随机变量的概率计算:(1)已知随机变量X的密度函数,求X的分布函数;(2)已知随机变量X的分布函数,求X的密度函数;(3)已知随机变量X的密度函数, 求随机事件的概率;(4)已知随机变量X的分布函数,求随机事件的概率;三种重要的连续型分布:1均匀分布:密度函数,记为 XUa,b.2. 指数分布:密度函数,记为XE()3. 正态分布:密度函数 ,记为N(0,1)称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,然后再计算概率.第五节 随机变量函数的分布离散型:在分布律的表格中直接求出;连续型:寻找分布函数间的关系,再求导得到密度函数间的关系;注意分段函数情况也许需要讨论,得到的结果也也许是分段函数。第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数联合分布函数,表达随机点落在以(x ,y)为顶点的左下无穷矩形区域内的概率。联合分布函数的性质:(1)分别关于x和y单调不减;(2)分别关于x和y右连续;(3)F (- , y ) = 0,F ( x ,- ) =0,F(-,-) = 0F ( + ,+ ) = 1第二节 二维离散型随机变量联合分布律:联合分布律的性质:;第三节 二维连续性随机变量联合密度:联合密度的性质:;第四节 边沿分布二维离散型随机变量的边沿分布律:在表格边沿,相应概率相加求出;二维连续性随机变量的边沿密度:先求出边沿分布函数,在求导求出边沿密度第六节 随机变量的独立性独立性判断:(1)若取值互不影响,可认为互相独立;(2)根据独立性定义判断 离散型可用 连续型可用独立性的应用:(1)判断独立性;(2)已知独立性,由边沿分布拟定联合分布第四章 随机变量的数字特性离散型随机变量数学盼望的计算,连续型随机变量数学盼望的计算,方差的计算:,数学盼望的性质(1)E (C ) = C(2)E (CX ) = CE (X )(3)E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )(4)当 X ,Y 独立时,E (X Y ) = E (X )E (Y )方差的性质(1)D (C) = 0(2)D (CX ) = D(X)(3)若 X ,Y 互相独立,则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )常见分布的数学盼望和方差两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布