2023年北师大版初中数学各册章节知识点总结.doc

北师大版初中数学七年级(上册)各章知识点第一章 丰富图形世界1、 生活中常见的几何体：2、 常见几何体的分类：3、平面图形折成立体图形应注意：4、圆柱的侧面展开图是一个长方形；表面所有展开是两个 和一个 ；圆锥的表面所有展开图是一个 和一个 ；正方体表面展开图是一个 和两个 ；长方体的展开图是一个大 和两个 。5、特殊立体图形的截面图形： (1)长方体、正方形的截面是：三角形、四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、五边形、六边形。 (2)圆柱的截面是：长方形（正方形）、圆 (3)圆锥的截面是：三角形、圆。 (4)球的截面是：圆。 6、我们经常把从正面看到的图形叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图。7、常见立体图形的俯视图 几何体 长方体 正方体 圆锥 圆柱 球主视图 长方形 正方形 三角形 长方形 圆俯视图 长方形 正方形 圆（有一点） 圆 圆左视图 长方形 正方形 三角形 长方形 圆8、点动成线，线动成面，面动成体。 第二章 有理数1 、正数与负数 在以前学过的0以外的数前面加上负号“”的数叫负数。 与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）。 2 、有理数 (1) 正整数、0、负整数统称 ，正分数和负分数统称 。 整数和分数统称 。0既不是 数，也不是 数。 (2) 通常用一条直线上的点表达数，这条直线叫数轴。 数轴三要素：原点、 、单位长度。 在直线上任取一个点表达数0，这个点叫做 。 (3) 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例：2的相反数是 ；-2的相反数 ；0的相反数是 。 (4) 数轴上表达数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作 。 一个正数的绝对值是它自身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。 3 、有理数的加减法 (1)有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加和为0。 一个数同0相加，仍得这个数。 (2) 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 4、 有理数的乘除法 (1) 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 (2) 乘积是1的两个数互为倒数。例：-5的倒数是；绝对值是5；相反数是5。 (3) 有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 (4) 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。-1的奇次方是 -1；-1的偶次方是1。第三章、字母表达数1、用运算符号把数和表达数的字母连接而成的字母叫做代数式。2、求代数式值要注意：字母的取值必须保证代数式故意义；字母的取值要保证它自身所表达的数量故意义。3、代数式的系数应涉及这一项前的符号；假如代数式的某一项只具有字母因数，它的系数就是1或-1，而不是0。4、同类项所含的字母相同；相同字母的指数也相同。注意：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。5、合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变。6、去括号法则：(1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里的符号不变 (2)括号前市“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的“+”变“-”，“-”变“+”。第四章 平面图形及位置关系1、直线、射线、线段 (1) 直线、射线、线段的区别：直线无端点：射线一个端点：线段有两个端点。(2) 线段公理：两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。 连接两点间的线段的长度，叫做 。(3)线段的比较方法：叠和法和度量法。(4)线段的中点：假如M是AB的中点，那么AM=MB；反之，假如点M在线段AB上，并且有（ABBM），那么点M是AB的中点。例：C是线段AB的中点，可得AC=CB=AB，或者2AC= 2CB=AB，AC+CB =AB ， BC=AB-AC。2、角的度量与表达(1) 1度=60分； 1分=60； 1周角=360度 ；1平角=180度2倍周角 (2)角的三种表达方法：用三个大写英文字母表达或用一个大写英文字母表达(如：ABC，A；用希腊字母表达（如）；用数字表达（如1，2）3、 角的比较与运算 (1)角按大小分可分为锐角、直角、钝角、平角、周角。(2)角平分线把一个角提成两个相等的角，角平分线是一条射线。假如射线OC是<AOB的角平分线，则我们可知道AOC <BOC<AOBAOB2BOCAOC，<AOC+ <BOC =<AOB，<BOC=<AOB-AOC 4、平行线(1)如何画平行线？(2)平行线的性质1：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 平行线的性质2：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 平行。5、垂直(1) 如何画垂线？ (2) 垂线的性质1：过一点有且只一条直线与已知直线垂直。 垂线的性质2：直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线最短。 垂直的性质3：点到直线的最短距离。6、 有趣的七巧板：七巧板是由5个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形组成的。第五章 一元一次方程1、 从算式到方程 方程是具有未知数的等式。 方程都只具有一个未知数x，未知数x的指数都是一次，这样的方程叫做一元一次方程。 就是求出使方程中档号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。2、等式的性质： (1). 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 (2) 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 3、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（要移就得变）4、在日历牌中，一个竖列上相邻两个数相差 7 ，下面的数比上面的数大7；一个横行上相邻的两个数相差1，后面的数比前面的数大1。5、常用体积公式：长方形的体积=长X宽X 高； 正方形的体积=边长X边长X边长 ； 棱柱的体积=底面积x高； 圆柱的体积=底面积X 高 ； 圆锥的体积= ×底面积 X高。6、常用的相等关系：(1)利润=售价-成本；利润率=利润÷成本（进价）(2) 利息=本金X利率X时间； 本息和=本金+利息=本金X（1+利率X期数）利息税=利息X税率=本金X利率X时间X5%； 7、行程问题的重要类型及相等关系：(1) 追及问题：甲乙同向不同地，则：追者走的路程=前者走的路程+两地间的距离。(2) 问题：甲乙相向而行，则：甲走的路程+乙走的路程=总路程。8、解应用题的关键是找出关键句，建立等量关系。第六章生活中的数据1、把一个大于10的数表达成a×的形式（其中1a<10,n为正整数），就叫科学记数法。 （从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。）2、扇形记录图的性质：各扇形分别代表每部分在总体中的比例大小；各扇形占整个圆的比例之和为100%。3、 (1) 扇形圆心角的度数=X该部分占总体的比例；(2) 每部分占总体的比例=部分数量÷总体比例=该部分所相应圆心角的度数与的比。4、制作扇形记录图的环节是：先记录比例，计算出圆心角，画出扇形，标上比例。5、各记录图的特点：(1)扇形记录图能清楚地表达出部分在总体中的比例；(2)折线记录图能清楚地反映反映事物的变化情况；(3)条形记录图能清楚地表现出每个项目的具体数目。第七章 也许性必然事件：事先能肯定它 拟定事件不也许事件：事先能肯定它一定 事件不拟定事件：事先无法肯定它 1、事情发生的也许性的大小：机会大的不拟定事件不一定发生，机会小的不拟定事件也不一定不发生，机会大大小只能说明发生的限度不同。2、要学会判断事情发生的也许性的大小。北师大版初中数学七年级(下册)各章知识点第一章：整式的运算单项式 整 式 多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方 幂运算 同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减 单项式与单项式相乘 整式的乘法 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。4、单独一个数或一个字母也是单项式。5、只具有字母因式的单项式的系数是1或1。6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它自身。 7、单独的一个非零常数的次数是0。8、单项式中只能具有乘法或乘方运算，而不能具有加、减等其他运算。9、单项式的系数涉及它前面的符号。10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。11、单项式的系数是1或1时，通常省略数字“1”。12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。3、多项式中不含字母的项叫做常数项。4、一个多项式有几项，就叫做几项式。5、多项式的每一项都涉及项前面的符号。6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。三、整式1、单项式和多项式统称为整式。2、单项式或多项式都是整式。3、整式不一定是单项式。4、整式不一定是多项式。5、分母中具有字母的代数式不是整式；而是此后将要学习的分式。四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分派律。2、几个整式相加减，关键是对的地运用去括号法则，然后准确合并同类项。3、几个整式相加减的一般环节：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。（2）按去括号法则去括号。（3）合并同类项。4、代数式求值的一般环节：（1）代数式化简。（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。五、同底数幂的乘法1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。2、底数相同的幂叫做同底数幂。3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：aman=am+n。4、此法则也可以逆用，即：am+n = aman。5、开始底数不相同的幂的乘法，假如可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。六、幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n表达n个am相乘。2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =am n。3、此法则也可以逆用，即： am n =（am）n=（an）m。七、积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）n=an b n。3、此法则也可以逆用，即：an b n =（ab）n。八、三种“幂的运算法则”异同点1、共同点：（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。（3） 对于具有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。2、不同点：（1）同底数幂相乘是指数相加。（2）幂的乘方是指数相乘。（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。九、同底数幂的除法1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a0）。2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a0）。十、零指数幂1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1（a0）。十一、负指数幂1、任何不等于零的数的p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即： 注：在同底数幂的除法、 零指数幂、负指数幂中底数不为0。十二、整式的乘法（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字 母连同它的指数不变，作为积的因式。2、系数相乘时，注意符号。3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。4、对于只在一个单项式中具有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样合用。（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分派率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+m c。2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都涉及它前面的符号。3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+n b。2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。3、多项式的每一项都包含它前面的符号，拟定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。4、运算结果中有同类项的要合并同类项。5、对于具有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 。十三、平方差公式1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，一方面看两个数能否转化成（a+b）(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易计算。十四、完全平方公式1、 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。3、掌握理解完全平方公式的变形公式：（1） （2） （3） 4、完全平方式：我们把形如: 的二次三项式称作完全平方式。5、当计算较大数的平方时，运用完全平方公式可以简化数的运算。6、完全平方公式可以逆用，即： 十五、整式的除法（一）单项式除以单项式的法则1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里具有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是提成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。（二）多项式除以单项式的法则1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。用字母表达为： 2、多项式除以单项式，注意多项式各项都涉及前面的符号。第二章平行线与相交线余角余角补角补角角 两线相交 对顶角同位角三线八角 内错角同旁内角平行线的鉴定平行线平行线的性质尺规作图一、余角与补角1、假如两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、假如两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的性质用数学语言可表达为：（1） 则 (同角的余角（或补角）相等)。（2） 且 则 (等角的余角（或补角）相等)。6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。二、对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、对顶角的性质在此后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。三、同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。四、六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关 系，与其数量无关。4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。五、平行线的鉴定方法1、同位角相等，两直线平行。2、内错角相等，两直线平行。3、同旁内角互补，两直线平行。4、在同一平面内，假如两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。5、在同一平面内，假如两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。六、平行线的性质1、两直线平行，同位角相等。2、两 直线平行，内错角相等。3、两直线平行，同旁内角互补。4、平行线的鉴定与性质 具有互逆的特性，其关系如下：在应用时要对的区分积极向上的题设和结论。七、尺规作线段和角1、在几 何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。3、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功能是：（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；5、纯熟掌握以下作图语言：（1）作射线××；（2）在射线上截取××=××；（3）在射线××上依次截取××=××=××；（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；（7）在×××的外部（或内部）画×××=×××；6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必反复作图的具体过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段××=××； （2）画×××=×××；第三章生活中的数据单位换算科学记数法近似数生活中的数据 精确数有效数 字精确度记录图（象形记录图）一、单位换算1、长度单位：（1）百万分之一米又称微米，即1微米=10-6米。（2）10亿分之一米又称纳米，即1纳米=10-9米。（3）1微米=103纳米。（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109纳米。2、面积单位（1）10-6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=1018纳米2。3、质量单位（1）1吨=103公斤=106克。二、科学计数法表达绝对值小于1的较小数据1、用科学计数法表达绝对值小于1的较小数据时，也可以表达为a×10n的形式，其中1a<10,n为负整数，n等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个数（ 涉及小数点前面的一个零）的相反数。三、近似数与精确数1、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。2、近似数是指用测量或记录的方法、四舍五入、估计等得到的数。3、近似数产生的因素有：（1）由于测量工具和测量方法的局限性不也许得到物体的准确值；（2）有些事件也不也许或没有必要得出它的精确值。4、近似数a的真值的范围大于或等于a与它的最末位的半个单位的差而小于a与它的最末位的半个单位的和。例如近似数1.60的真值范围为大于或等于1.595而小于1.605。四、有效数字1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。2、对于科学计数法型的近似数，由a×10n（1a<10）中的a来拟定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字。与× 10n无关。3、对带有记数单位的近似数，由数字来拟定，与单位无关。五、近似数的精确度1、近似数的精确度是近似数精确的限度。2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。4、对于单独一个近似数，根据最后一位有效数字在该数中所处的位置直接拟定精确度。5、对用科学记数法表达的数应注意将其还原为本来的数后，再拟定其精确度。6、对带单位的近似数，也要还原为本来的数后再拟定其精确度。7、对近似数进行取舍时需要注意一般形式与科学记数法形式。六、记录图（表）1、条形记录图：能清楚地表达出每个项目的具体数目。2、折线记录图：能清楚地反映事物的变化情况。3、扇形记录图：能清楚地表达出各部分在总体中所占的比例。4、象形记录图：能直观地反映数据之间的意义。5、从记录图中获取更多的有用信息，应做到以下几步：（1）审清记录图横轴和纵轴代表的意义，若是象形记录图则要看准每个形象图标代表什么意义；（2）把各部分的数据找出来；（3）以图中读出的信息作为参考（已知），推测相关量的变化趋势或规律；（4）对需要计算后回答的信息要准确地进行计算。6、制作象形记录图（1）象形记录图比一般的记录图更直观、更简洁生动，极富有个性和情感，但准确性差一些。（2）制作象形记录图没有固定的格式，需要具有较强的想像力和发明力。（3）制作象形记录图：一是要明确制作的记录图的特点；二是要结合具体问题，分析数据特点和规律，通过设计简明、直观、形象的记录图，加深对问题的理解。第四章概率必然事件 事件不也许事件不拟定事件概率等也许性游戏的公平性概率的定义 概率几何概率 设计概率模型一、事件1、事件分为必然事件、不也许事件、不拟定事件。2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不也许不发生，即发生的也许是100%（或1）。3、不也许事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的也许性为零。4、不拟定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件也许发生，也也许不发生，即发生的也许性在0和1之间。5、三种事件都是相对于事件发生的也许性来说的，若事件发生的也许性为100%，则为必然事件；若事件发生的也许性为0，则为不也许事件；若事件不一定发生，即发生的也许性在01之间，则为不拟定事件。6、简朴地说，必然事件是一定会发生的事件；不也许事件是绝对不也许发生的事件；不拟定事件是指有也许发生，也有也许不发生的事件。7、表达事件发生的也许性的方法通常有三种：（1）用语言叙述也许性的大小。（2）用图例表达。（3）用概率表达。二、等也许性1、等也许性：是指几种事件发生的也许性相等。2、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有等也许性。（1）一方面要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不也许事件，若有一个必然事件或不也许事件，则游戏是不公平的；（2）另一方面假如两个事件都为不拟定事件，则要看这两个事件发生的也许性是否相同；即看双方获胜的也许性是否相同，只有双方获胜的也许性相同，游戏才是公平的。（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的也许性都是一半，只要对游戏双方获胜的事件发生的也许性同样即可。三、概率1、概率：是反映事件发生的也许性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表达，P（A）=事件A也许出现的结果数/所有也许出现的结果数。2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；3、不也许事件发生的概率为0，记作P（不也许事件）=0；4、不拟定事件发生的概率在01之间，记作0<P（不拟定事件）<1。5、概率是对“也许性”的定量描述，给人以更直接的感觉。6、概率并不提供拟定无误的结论，这是由不拟定现象导致的。7、概率的计算：（1）直接数数法：即直接数出所有也许出现的结果的总数n，再数出事件A也许出现的结果数m，运用概率公式 直接得出事件A的概率。（2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。四、几何概率1、事件A发生的概率等于此事件A发生的也许结果所组成的面积（用SA表达）除以所有也许结果组成图形的面积（用S全表达），所以几何概率公式可表达为P（A）=SA/S全，这是由于事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。2、求几何概率：（1）一方面分析事件所占的面积与总面积的关系；（2）然后计算出各部分的面积；（3）最后代入公式求出几何概率。五、设计概率模型（游戏或事件）1、设计符合规定的简朴概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向 运用。2、设计通常分四步：（1）一方面分析设计应符合什么条件；（2）另一方面拟定选用什么图形表达更合理；（3）然后再按一定规定和操作经验来设计模型；（4）最后再通过计算或其他方法来 验证设计的模型是否符合条 件。第五章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质 SSS三角形 SAS 全等三角形 全等三角形的鉴定 ASA AAS HL（合用于Rt） 全等三角形的应用 运用全等三角形测距离 作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“”表达。2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表达，顶点A所对的边BC用a表达，边AC、AB分别用b，c来表达；4、A、B、C为ABC的三个内角。二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。用字母可表达为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。3、拟定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即 .三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt”表达“直角三角形”,其中直角C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。3 、鉴定一个三角形的形状重要看三角形中最大角的度数。4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。5、任 意一个三角形都具有六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。2、三角形的角平分线：（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。3、三角形的中线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点 。4、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。区别相同中线平分对边三条中线交于三角形内部（1）都是线段（2）都从顶点画出（3）所在直线相交于一点角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部高线垂直于对边（或其延长线）锐角三角形：三条高线都在三角形内部直角三角形：其中两条恰好是直角边钝角三角形：其中两条在三角表外部五、全等图形1、两个可以重合的图形称为全等图形。2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。3、全等图形的面积或周长均相等。4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。6、全等图形中的相应角和相应线段都分别相等。六、全等分割1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。2、对一个图形全等分割：（1）一方面要观测分析该图形，发现图形的构成特点；（2）另一方面要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完毕。七、全等三角形1、可以重合的两个三角形是全等三角形，用符号“”连接，读作“全等于”。2、用“”连接的两个全等三角形，表达相应顶点的字母写在相应的位置上。3、全等三角形的性质：全等三角形的相应边、相应角相等。这是此后证明边、角相等的重要依据。4、两个全等三角形，准确鉴定相应边、相应角，即找准相应顶点是关键。八、全等三角形的鉴定1、三边相应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。2、两角和它们的夹边相应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。3、两角和其中一角的对边相应相等的两个三角形全等，简写为“角 角边”或“AAS”。4、两边和它们的夹角相应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。5、注意以下内容（1）三角形全等的鉴定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边相应相等。（2）三边相应相等，两边及夹角相应相等，一边及任意两角相应相等，这样的两个三角形全等。（3）两边及其中一边的对角相应相等不能鉴定两三角形全等。6、纯熟运用以下内容（1）纯熟运用三角形鉴定条件，是解决此类题的关 键。（2）已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”。（3）已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边，即“SAS”。（4）已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”。7、三角形的稳定性：根据三角形全等的鉴定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度拟定了，这个三角形的形状和大小就完全拟定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。九、作三角形1、作图题的一般环节：（1）已知，即将条件具体化；（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；（4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；（5）证明，即验证所作图形的对的性（通常省略不写）。2、纯熟以下三种三角形的作法及依据。（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。（3）已知三角形的三边，作三角形。十、运用三角形全等测距离1、运用三角形全等测距离，事实上是运用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（相应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。2、运用全等三角形解决实际问题的环节：（1）先明的确际问题应当用哪些几何知道解决；（2）根据实际问题抽象出几何图形；（3）结合图形和题意分析已知条件；（4）找到解决问题的途径。十一、直角三角形全等的条件1、在直角三角形中，斜边和一条直角边相应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。2、“HL”是直角三角形特有的鉴定条件，对非直角三角形是不成立的；3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。十二、分析-综合法1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。2、综合法：从问题的条件出发，通过度析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。3、分析法：从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，