复变函数与-积分变换(修订版-复旦大学~)课后的习题-答案~.doc
|复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）课后习题答案 |习题一1. 用复数的代数形式 a+ib 表示下列复数./43513;(2)4;71iieii解 i42ecosinii4 解： 3517i613i7i+5解： 24i84i0i解： 311=iii22.求下列各复数的实部和虚部(z= x+iy)R); (za3331;.2niiz ： 设 z=x+iy则 ,2iiiixayxyyayz 22Rezaxy2Imzxay解： 设 z=x+iy , 323 22323iiiiiyxyxyx32Rezxy323Imzxy解： 2321ii 1280i8 , 1i3Re21i3Im02解： 33 21ii 8 180i , 1iRe21iIm02|解： 1,2i 1iknnkA当 时， ， ；2kReknImi0n当 时， ， 1ni1k3.求下列复数的模和共轭复数 12;3(2);.2iii解： 2i415解： 33解： 2i2i51362i47 解： 1ii22iii4、证明：当且仅当 时，z 才是实数证明：若 ，设 ，zixy则有 ，从而有 ，即 y=0iixy20z=x 为实数若 z=x，x A ，则 zx 命题成立5、设 z,wA，证明： zw证明 2zw22Rezwz22zzw| zw6、设 z,wA，证明下列不等式 2 2Rezzw222wz并给出最后一个等式的几何解释证明： 在上面第五题的证明已经证明了2 2Rezzw下面证 w 2 2zzzw从而得证2Rezz 2w几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3352;1;8(3);.cosin79ii解： 35i1i7其中 3816i98i7e5025i 8arctn19解： 其中 ei2i解： ii1e解： .283163 iie解：32cosin9解： 3si132i.3i92cosine9|8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1 的三次根；(3) 的平方根.3ii 的三次根解： 133 22icosincosisn0,123kk 1ii6z 2531cosini62z391cosini6-1 的三次根解： 1332+1cosincosin0,123kk 1iiz2cosn1353ii2z 的平方根i解：i43i=6i6e2 1i42iecosin0,1kk 11i8446csin6e8z9i29oi 9.设 . 证明：e,inz110nz证明： ，即 2in 110zz又n2 z1从而 21+n11.设 是圆周 令:,e.iracrc,:Im0zaLb其中 .求出 在 a 切于圆周 的关于 的充分必要条件 .eibL|解：如图所示因为 =z: =0表示通过点 a 且方向与 b 同向的直线，要使得直线在 a 处与圆相切，则LImzabCA 过 C 作直线平行 ，则有BCD=，ACB=90°L故 -=90°所以 在 处切于圆周 T 的关于 的充要条件是 -=90°L12.指出下列各式中点 z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg;23|;(4)ReIm512.ziz且解：(1)、argz=表示负实轴(2)、|z-1|=|z|表示直线 z= 12(3)、1Imz解：表示直线 y=x 的右下半平面5、Imz>1，且|z|<2解：表示圆盘内的一弓形域。习题二1. 求映射 下圆周 的像.1wz|2z解：设 则i,ixyuv2221i()ixyyuv x因为 ,所以24xy53i4uiv所以 ,5u3v534xy所以 即 ，表示椭圆.2534uv22531uv2. 在映射 下，下列 z 平面上的图形映射为 w 平面上的什么图形，设 或 .2wz eiwiuv|（1） ； （2） ;02,4r02,4r(3) x=a, y=b.(a, b 为实数 )解：设 i(iwuvxiyxy所以2,.(1) 记 ，则 映射成 w 平面内虚轴上从 O 到 4i 的一段，即ei02,4r04,.2(2) 记 ，则 映成了 w 平面上扇形域，即eiw0,24r 04,.2(3) 记 ，则将直线 x=a 映成了 即 是以原点为焦点，张口向左的wuiv2,.uayv224().au抛物线将 y=b 映成了 2,.xbvx即 是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.224()vbu3. 求下列极限.(1) ;21limz|解：令 ,则 .1zt,0t于是 .220limlizt(2) ;0Re()liz解：设 z=x+yi，则 有e()izxy00Re()1limliiizxykk显然当取不同的值时 f(z)的极限不同所以极限不存在.（3） ；2li(1)zi解： = .2lim()zi 1llim()()2zi zi（4） .21liz解：因为2(2)12,zz所以 .2113limlim2z z4. 讨论下列函数的连续性：(1) 2,0,()0;xyzfz解：因为 ,20(,)0,limlizxyf若令 y=kx,则 ,22(,)0,li1xyk因为当 k 取不同值时，f(z)的取值不同，所以 f(z)在 z=0 处极限不存在 .从而 f(z)在 z=0 处不连续，除 z=0 外连续.(2)|342,0,()0.xyzfz解：因为 ,33422xyx所以342(,)0,lim(0)xyf所以 f(z)在整个 z 平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) (n 为正整数 )；1()nfz解：因为 n 为正整数，所以 f(z)在整个 z 平面上可导.1()fz(2) .2()()zf解：因为 f(z)为有理函数，所以 f(z)在 处不可导.2(1)0z从而 f(z)除 外可导.1,iz22232()()(1)(1)543(1)zzfz (3) .87fz解：f(z)除 外处处可导，且 .=5 223(57)(8)561) (7)zf z(4) .22()ixyfz解：因为.所以 f(z)除 z=0 外处处可导，且 .2222i()i()i(1)i()xyxyxyzfz 2(1i)fz6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) ;2()ifzxy解： 在全平面上可微.2,()uvxy2 2,y vxxyy所以要使得
