概率论与-数理统计答案~第四版第1章(浙大~).doc
|1、 写出下列随机试验的样本空间 S：（1） 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。（2） 生产产品直到有 10 件正品为之，记录生产产品的总件数。（3） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续查出了 2 件次品就停止检查，或检查了 4 件产品就停止检查，记录检查结果。（4） 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。(1)解：设该班学生数为 n，总成绩的可取值为 0,1,2,3，100n，(2)解：S=10、11、12所以试验的样本空间为 S=i/n| i=1、2、3100n(3)解：设 1 为正品 0 为次品S=00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101，1010 (4)解：取直角坐标系，则 S=（x，y）|x 2+y2<1取极坐标系，则 S=（，）|<1,0 <22.设 A,B,C 为三个事件，用 A,B,C 的运算关系表示下列各事件：（1）A 发生，B 与 C 不发生（2）A 与 B 都发生，而 C 不发生（3）A,B,C 中至少有一个要发生（4）A,B,C 都发生（5）A,B,C 都不发生（6）A,B,C 中不多于一个发生（7）A,B,C 中不多于两个发生（8）A,B,C 中至少有两个发生解：以下分别用 Di（i=1,2,3,4,5,6,7,8）来表示（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6）,(7),(8)（1）A 发生，B 与 C 不发生表示 , 同时发生，故 D1= ABCABC（2）A 与 B 都发生，而 C 不发生表示 A，B， 同时发生，故 D2= AB（3）法一 ：A,B,C 中至少有一个要发生由和事件定义可知，D3=ABC法二：A,B,C 中至少有一个要发生是事件 A,B,C 都不发生的对立面，即 D3=AB法三：A,B,C 中至少有一个要发生可以表示为三个事件中恰有一个发生，恰有两个发生或恰有三个发生，即 D3= ABC ABCABC(4) A,B,C 都发生 表示 A,B,C 都发生，故 D4=ABC=ABC(5) A,B,C 都不发生表示 都不发生，故 D5=(6)法一： A,B,C 中不多于一个发生可以表示为三个事件中恰有一个发生或一个都不|发生，即 D6= ABCABC法二：A,B,C 中不多于一个发生可以表示为至少有两个不发生，即 D6= ABC法三：A,B,C 中不多于一个发生是至少有两个发生的对立面，即 D6= (7)法一： A,B,C 中不多于两个发生即为三个事件发生两个，发生一个或者一个都不发生，即 D7= ABCABCABC法二：A,B,C 中不多于两个发生可以表示为至少有一个不发生，即 D7= 法三：A,B,C 中不多于两个发生可以表示为三个都发生的对立面，即 D7=(8)法一：A,B,C 中至少有两个发生即为三个事件中发生两个或者三个都发生，即 D8= ABCABC法二：A,B,C 中至少有两个发生，即 D8=ABACBC法三：A,B,C 中至少有两个发生可以表示为三个事件只发生一个或一个都不发生的对立面，D8= UBC3（1）设 A,B,C 三个事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8,求 A,B,C 至少有一个发生的概率。(2)已知 P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求的概率, , ,（3）P(A)=1/2,(A.)若 A,B 互不相容，求 P(A)(B.)若 P(AB)=1/8,求 P(A ) （1）P(ABC)P（A）P（B）P(C) P（AB）P（AC）P（BC）3/4-1/85/8（2）P(AB)P（A）+P（B）-P（AB）=5/6-1/10=11/15P（AB ）=()=1-P( )111/154/15|P(ABC)P（A）P（B）P（C）P（AB）P（AC）P（BC）P（ABC）17/20P（ABC）=()=1-()1-17/203/20P（AB C）P（C）-P（AC）-P（BC）P(ABC)7/60P（ABC）=()=1-P(A)-P(B)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)7/20（3）A.P（AB）P(A)=1/2因为 AB 不相容所以 AB 一个发生另一个一定不发生B.P（AB）P（A）-P（AB）3/84.设 A,B 是两个事件. （1） 已知 验证 A=B.=（2） 验证事件 A 和事件 B 恰有一个发生的概率为 P(A)+P(B)-2P(AB).解：法一（1） =，()()=()(),()=()=,=.（2）事件 A 与事件 B 恰有一个发生即事件 A B AP(A B) A=P(A B)+(A=PA(S-B)+P(S-A)B=P(A-AB)+P(B-AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)法二（1） = , =;又 ， = =即证。=|（2）原理同（1） ，事件 A 与事件 B 恰有一个发生即事件 A B A即 P(A B) A= P(A B)+(A=P(A-B)+P(B-A)= P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-2P(AB)5.10 片药片中有 5 片安慰剂。（1）从中任意抽取 5 片，求其中至少有两片是安慰剂的概率。(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前 3 次都取到安慰剂的概率。解：（1）设其中至少有两片是安慰剂的概率为事件 A.()=1555104515510=1-110×9×8×7×65×4×3×2×1 -(5×5)10×9×8×7×65×4×3×2×1 =113126（2）设前三次都取到安慰剂为事件 B。()=1514131101918=5×4×310×9×8=1126 在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章。任选 3 人记录其纪念章的号码。(1)求最小号码为 5 的概率. (2)求最大号码为 5 的概率.解：E:在房间里面任选 3 人，记录其佩戴纪念章的号码.10 人中任选 3 人 =120 种，310即样本总数。记事件 A 为最小号码为 5，记事件 B 为最大号码为 5.（1） P(A)= / = =253105!3!7!2!3!10! 112（2） P(B)= / = = . 243104!3!7! 2!2!10!1207. 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶，黑漆 4 桶，红漆 3 桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2 桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设事件“该订户得到 4 桶白漆，3 桶黑漆，2 桶红漆订货”为事件 A共 17 桶油漆，该客户订货共 4+3+2=9 桶，题意即为客户在 17 桶中选 9 桶，其中 10 桶白漆中占有 4 桶，4 桶黑漆中占有 3 桶，3 桶红漆中占有两桶。所以分母为 C9 17，分子为 C4 |10C3 4C2 3，即所求概率为P（A）= =4103423917 25224318在 1500 件产品中有 400 件次品、1100 件正品。任取 200 件（1）求恰有 90 件次品的概率。（2）求至少有 2 件次品的概率。解：设 A 表示事件“恰好有 90 件次品” ，B i表示事件“恰好有 i 件次品（i0、1） ”，C 表示事件“至少有 2 件次品” 。E 表示“从 1500 件产品中任取 200 件”（1）N (S)= 2001500N(A)=904001101100=()()=9040011011002001500（2）C=S-B 0-B1P(C)=P(S- B0-B1)=P(S- B0B 1)1-P(B 0)-P(B1)()=1(0)()(1)()=1200110020015001400199110020015009.从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解、法一、设至少有两只配成一对的为事件 A,这四只鞋中没有配成一对的为事件 ,则AP（A）=1-P( ) =1- =41052*C3故四只鞋中至少有两双配成一双的概率为 13/21法二、设至少有两只配成一对的为事件 A,这四只鞋中没有配成一对的为事件 ,则AP（A）=1-P（ ）=1 - = （因为不考虑次序所以除以 4！）410*68C！ 23故四只鞋中至少有两双配成一双的概率为 13/21法三、设至少有两只配成一对的为事件 A，则P(A)= =410252*C13法四、设至少有两只配成一对的为事件 A,这四只鞋中没有配成一对的为事件 ,则AP（A）=1-P（ ）=1- = 7*89106213|10.在 11 张卡片上分别写上 probability 这 11 个字母，从中任意连抽 7 张，求其排列结果为 ability 的概率。解：方法一：假设连抽 7 张排列结果为 ability 为事件 AP（A）= =12×12711 1415800方法二：以 A，B，C，D，E，F，G 依次表示取得字母 a,b,i,l,i,t,y 各事件，则所求概率为P（ABCDEFG）=P（A）P（B|A）P（C|AB）P（D|ABC）P（E|ABCD）P（F|ABCDE）P（G|ABCDEF）×= =111×210×29×18×17×16×15 471111、将 3 只球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率。解：将 3 只球随机放入 4 个杯子中去的方法总数有 种4×4×4=43设杯子中球的最大个数为 i 个为事件 则有 132()8PA2349()16C3()PA12、50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上，其中有 3 只铆钉强度太弱，每个部件用 3 只铆钉。若将 3 只强度太弱的铆钉都用在一个部件上，则这个部件强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解：方法一设一个部件轻度太弱为事件 AP（A）=110347344341338335332329326323350347344341338335332329326323=11960方法二将部件自 1 到 10 编号。E：随机地取铆钉，使各部件都装 3 只铆钉。以 表示事件“第 i号部件强度太弱”P（ ）= ，i=1,2，1033350= 119600已知 两两互不相容，因此， 10 个部件中有一个强度太弱的概率为1， 2， 10|P=P 1210=P（ ）+ P（ ）+ + P（ ）1 2 10=1019600=1196013、一俱乐部有五名一年级学生，2 名二年级学生，3 名三年级学生，2 名四年级学生。（1）在其中任选 4 名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选 5 名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）设所求事件为 A 事件=4/33()=15121312412（2）设所求事件为 B 事件，B 事件包括一二三四年级中有一个年级有两人入选，其余年级一人入选的四种情况。+()=2512131251215221312512+15122312512+15121322512=10/3314.（1）已知 P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（AB）=0.5，求条件概率 P（B| AB）先完整题干再解题！（2）已知 P（A）1/4，P（B|A）1/3，P（A|B）1/2，求 P（A B）P（A B）P（A）P（B）P（AB）解：P（B|AB）（ ）（ ）（ ）（ ）P（A）1-P（A）1-0.30.7P（B）1-P（B）1-0.40.6又P（AB）P（A）-P（AB）0.7-0.50.2P（AB）P（A）P（B）-P（AB）0.70.6-0.5|0.8P（B|AB）（ ）（ ）0.20.80.25（2）P（B|A）（ ）（ ）P（AB）P（B|A）P（A） ×13 14112P（A|B）（ ）（ ）P（B）（ ）（ |）1/121/216P（AB）P（A）+P（B）-P（AB） + -14161121315.掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率。法一：题设的样本空间为（1,6） （2,5） （3,4） （6,1） （5,2） （4,3），由题得，其中有一颗为 1 点的事件有（1,6） （6,1）两个样本点设要求的事件为事件 A ()=26=13法二：投掷两颗筛子其中一颗为一点为事件 C设投掷两颗骰子，两颗骰子点数之和为 7 为事件 B因为题设事件为 C|_P(CB)= P(B)= 12×16×16 66×6所以,根据条件概率公式，|= =1/3(|_)=()() 12×16×1666×6 16.根据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P孩子得病=0.6 P母亲得病|孩子得病=0.5P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：设孩子得病为事件 A，母亲得病为事件 B，父亲得病为事件 C。则 P（A）=0.6 P（B|A）=0.5= P(C|AB)=0.4=()() ()()所以 P(AB)=0.3 P(ABC)=0.12所以 P( |AB)=0.6P（AB ）=P（ |AB） =0.6 0.3=0.18 ×（ ） ×17.已知在 10 件产品中有 2 件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两次都是正品；（2）两次都是次品；（3）一件是正品一件是次品；（4）第二次取出的是次品。解（1）设连续两次都是正品为事件 AP（A）=810×79=2845（2）设连续两次都是次品为事件 BP（B） =210×19=145（3）设一件是正品一件是次品为事件 CP（C） =210×89+810×29=1645（4）设第二次取出的是次品为事件 DP（D）=210×19+810×29=1518.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过 3 次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：（1）设拨号不超过 3 次而接通所需电话为事件 AP（A）=110+910×19+910×89×18=310|（2）设在已知最后一个数字是奇数的情况下，拨号不超过 3 次而接通所需电话为事件BP（B）=15+45×14+45×34×13=3519.（1）设甲袋中装有 n 只白球，m 只红球；乙袋中装有 N 只白球、M 只红球。今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子中装有 5 只红球，4 只白球；第二只盒子中装有 4 只红球、5 只白球。先从第一只盒中任取 2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒中任取一只球，求取到白球的概率是多少？解:（1）设 A,B 分别表示“从甲袋取得白球，红球放入乙袋” ，C 表示“再从乙袋中取得白球”因为 C=AC+BC 且 AB 互斥所以 P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=+ +1+1+ +1（2）设 A 为“从第一个盒子中取得两只红球” ，B 为“从第一个盒子中取得两只白球” ，C为“从第一个盒子中取得一只红球，一只白球” ，D 为“从第二个盒子中取得白球”显然 A,B,C 两两互斥，AUBUC=S，所以 P（D）=P（A）P（D|A）+ P（B）P（D|B）+ P（C）P（D|C）=2529511+2429711+151429611539920某种产品的商标为“MAXAM” ，其中有 2 个字母脱落，有人随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。解法一：任意拿下 2 个的方法总共 种，其中不关心顺序的 2 种，每种掉落的方式放25回方式有 2 种，其中有错误的方式是 -225因此总的放回方式根据乘法原理是 *2，错误的放回方式为 -2。25 25设 A 表示“错误的放回方式”B 表示“正确的放回方式” ，显然 AUB=S，且 A，B 互斥P（A）= =0.425225*2所以 P（B）=1-P（A）=1-0.4=0.6解法二：以 A，B，C，D，E 依次表示事件“脱落 M、M” ， “脱落 A、A” “脱落 M、A”“脱落 X、A” “脱落 X、M” ，以事件 G 表示事件“放回后仍为 MAXAM”，所需求的是 P（G） ，可知 A、B、C、D、E 两两互不相容，且 AUBUCUDUE=S。已知 P（A） = =0.1 P（B）= =0.1 P（C）= =0.4 P（D）= =0.2 P（E）=2225 2225 121225 111225
