广东省2021年中考数学试题真题(Word版+答案+解析).doc

广东省 2021 年中考数学试卷一、单选题1.（2021·广东）下列实数中，最大的数是（ ）A. B. 2 C. | 2| D. 32 .（2021·广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021 年 5 月 23 日，31 个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗 51085.8 万剂次，将“51085.8 万”用科学记数法表示为（ ）A. 0.510858 × 109B. 51.0858 × 107C. 5.10858 × 104D. 5.10858 × 1083.（2021·广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7 的概率是（ ）A. 1 1 1 1B. C. D. 12 6 3 24.（2021·广东）已知 9 = 3, 27 = 4 ，则 3 = （ ）A. 1 B. 6 C. 7 D. 125.（2021·广东）若 3| 2 2 = 0 ，则 = （ ）A. 3 B. 92C. 43 D. 96.（2021·广东）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个7（. 2021·广东）如图， 是O 的直径，点 C 为圆上一点， = 3, 的平分线交 于点 D，= 1 ，则O 的直径为（ ）A. 3 B. 23 C. 1 D. 28.（2021·广东）设 6 10 的整数部分为 a ， 小数部分为 b ， 则 的值是（ ）A. 6 B. 210 C. 12 D. 9109.（2021·广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ， b ， c ， 记 = ，则其面积2= 这个公式也被称为海伦-秦九韶公式若 = 5, = 4 ，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 5 B. 4 C.2 5 D. 510.（2021·广东）设 O 为坐标原点，点 A、B 为抛物线 = 2 上的两个动点，且 连接点 A、B ， 过 O 作 于点 C ， 则点 C 到 y 轴距离的最大值（ ）A.12B. 2 C. 3 D. 12 2二、填空题= 211.（2021·广东）二元一次方程组 = 2 的解为_12.（2021·广东）把抛物线 = 2 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为_13.（2021·广东）如图，等腰直角三角形 中， = 90°, = 4 分别以点 B、点 C 为圆心，线段 长的一半为半径作圆弧，交 、 、 于点 D、E、F ， 则图中阴影部分的面积为_14（. 2021·广东）若一元二次方程 2 = 0（b ， c 为常数）的两根< 3 ，则符合条件的一个方程为_2,12 满足 3 < 1 < 1,1 <15.（2021·广东）若 1 = 13 2 1且 0 < < 1 ，则26= _1 6（. 2021·广东）如图，在 中， = 5, = 12, =45过点 D 作 ，垂足为 E ，则 sin = _17.（2021·广东）在 中， = 90°, = 2, = 3 点 D 为平面上一个动点， =45° ，则线段 长度的最小值为_三、解答题 4 2) 18.（2019·宿迁模拟）解不等式组 > .219.（2021·广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛用简单随机抽样的方法，从该年级全体600 名学生中抽取 20 名，其竞赛成绩如图：（1）求这 20 名学生成绩的众数，中位数和平均数；（2）若规定成绩大于或等于 90 分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数20.（2021·广东）如图，在 中， = 90° ，作 的垂直平分线交 于点 D ， 延长至点 E ， 使 = （1）若 = 1 ，求 的周长；（2）若 =13，求 tan 的值21.（2021·广东）在平面直角坐标系 中，一次函数 = + > 0) 的图象与 x 轴、y 轴分别交于4A、B 两点，且与反比例函数 = 图象的一个交点为 （1）求 m 的值；（2）若 = ，求 k 的值22.（2021·广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10 元，某商家用 8000 元购进的猪肉粽和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50 元时，每天可售出 100 盒；每盒售价提高 1 元时，每天少售出 2 盒（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价 x 元 (50 65), 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于 x 的函数解析式并求最大利润2 3（. 2021·广东）如图，边长为 1 的正方形 中，点 E 为 的中点连接 ，将 沿折叠得到 交 于点 G ， 求 的长24.（2021·广东）如图，在四边形 中， / ， ， = 90° ，点 E、F 分别在线段 、 上，且 / ， = ， = （1）求证： ；（2）求证：以 为直径的圆与 相切；（3）若 = 2， = 120° ，求 的面积25.（2021·广东）已知二次函数 = 2 + + 的图象过点 (1,0) ，且对任意实数 x ， 都有 12 2 + + 2 + 6 （1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与 x 轴的正半轴交点为 A ， 与 y 轴交点为 C；点 M 是（1）中二次函数图象上的动点问在x轴上是否存在点N ， 使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由答案解析部分一、单选题1.【答案】 A【考点】实数大小的比较【解析】【解答】解：3.14，21.414，|-2|=2，3.14321.4143|-2|2故 最大。故答案为：A【分析】本题考查实数的大小比较，需要记住常用的无理数的近似数，然后排序即可。2.【答案】 D【考点】科学记数法表示绝对值较大的数【解析】【解答】解： 51085.8 万 = 510858000=5.10858×108故答案为：D【分析】考查科学记数法的表示方法，将一个大于10 或小于 1 的整数表示为 a×10n（1|a|10，n 为正整数）的记数法叫做科学记数法。注意其中 a 的范围和小数点移动的位数。3.【答案】 B【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12同时掷两枚质地均匀的骰子 ，可能出现的情况共 36 种，其中点数和为 7 的次数为 6，6 1= 故概率为36 6故答案为：B【分析】考查概率的计算，可以用列表法将所有可能出现的点数情况列出来，然后计算和为7 的情况占总情况的几分之几即为所求概率。4.【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方【解析】【解答】解：9 = (32) = 3 = 327 = (33) = 3 = 43 = 3 × 3 = 3 × 4 = 12故答案为：D【分析】考查幂的运算公式的逆运用，先将条件和结论的底数统一为3，然后观察结论的式子需要将同底数幂的乘法公式反向运用，即 = × ， 最后将条件变形整体代入运算即可。5.【答案】 B【考点】非负数之和为 0【解析】【解答】解： 3| 2 2 = 0 3| ( )2 = 0 a 3 = 0，且(3a 2b)2 = 0 = 3， = 332 9 ab= 2故答案为：B【分析】考查绝对值与二次根式的非负性问题，当几个非负数相加为0 时，这几个非负数只能都为 0，所以令各部分等于 0，计算出 a 与 b 的值即可。6.【答案】 C【考点】几何体的展开图【解析】【解答】解：根据正方体展开图的四种情况，一四一”、“二三一”、“二二二”、“三三”，第一个图属于“二三一”；第二个图是“三二一”排列顺序不对；第三个图属于“二二二”；第四个图属于“三三”；所以正确的只有 3 个。故答案为：C【分析】考查正方体展开图的情况，正方体展开图有“一四一”、“二三一”、“二二二”、“三三”几种情况，而且要注意排列的顺序，本题中第二个图是“三二一”的排列，顺序出错，故正确的只有三个。7.【答案】 B【考点】圆的综合题【解析】【解答】解：作 DEAB 于点 E 是O 的直径 ACBC， ACB=90° BD 为 ABC 的角平分线，DEAB，CD=1 DE=CD=1 AC=3 AD=AC-CD=2在 Rt ADE 中，AD=2，DE=1， AE=3 ， sin =12 CAB=30°， ABC=60°， ABD= CBD=30° ABD 为等腰三角形又 DEAB E 点为 AB 中点，即 E 点与 O 点重合，AO=AE=3 AB=2AO=23所以 的直径为23故答案为：B【分析】本题考查圆周角定理、锐角三角函数值、勾股定理、角平分线的性质的结合运用，先作DE 垂直AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，确定出点D 到 AB 的距离 DE，再在 ADE 中通过边的关系计算出 CAB 的度数，从而确定 ABD 为等腰三角形，E 点与 O 点重合，计算出AE 的长度的 2 倍即为直径AB 的长度。8.【答案】 A【考点】估算无理数的大小，代数式求值【解析】【解答】解： 91016 3104 4 10 3 6 46 106 3 26 103 6 10的整数部分 a=2，小数部分 b=6 10 2 = 4 10 + = (2 × 2 + 10)(4 10) = (4 + 10)(4 10) = 16 10 = 6故答案为：A【分析】考查无理数的估算、整数部分与小数部分，先估算出无理数的范围，确定整数部分，再用无理数减去整数部分，得到小数部分，最后再计算表达式的数值。9.【答案】 C【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：将 = 5, = 4代入 = 得，a+b=62代入面积公式 = 得= 5(5 4) = 125 25( ) = 2 25当 a=3 时，S 取得最大值2 0 = 2 5故答案为：C【分析】考查二次函数最值的计算，讲已知条件p 与 c 的值分别代入两个公式，并将面积公式整理可以得到被开方数为关于 a 的二次函数，然后求最大值即可。10.【答案】 A【考点】圆-动点问题【解析】【解答】解：如下图所示：过 C 点作 y 轴垂线，垂足为 H ， AB 与 x 轴的交点为 D ，故答案为：A 【分析】本题属于隐形圆，先证出点 C 在以点 E 为圆心，OD 长为半径的圆上，再结合图象可知，当点H和点 E 重合时，CH 最大，也就是半径。二、填空题= 211.【答案】 = 2【考点】解二元一次方程组【解析】【解答】解：方法一：加减消元法，+ = 2 + = 2 ×2-得，3y=-6，解得 y=-2将 y=-2 代入得，x=2= 2所以原方程组的解为 = 2方法二：代入消元法，+ = 2 + = 2 由得，x=-2-2y ，将代入得，2（-2-2y）+y=2解得，y=-2将 y=-2 代入得，x=2= 2所以原方程组的解为 = 2【分析】考查二元一次方程组的解法，本题用代入消元法和加减消元法都可以，按照正确的步骤解出来即可，最后不要忘记写结论。12.【答案】 = 2 +【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】解： 抛物线 = 2 + 1 向左平移 1 个单位长度 变为 = 2( + 1)2 + 1再向下平移 3 个单位长度变为 = 2( + 1)2 + 1 3整理得 = 2 +故平移后抛物线的解析式为 = 2 +【分析】考查二次函数图象抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”，左右移动 x 变化，左加右减，上下移动 y 变化，上加下减，左右移动时 x 要单独加减，根据题目要求平移并整理成一般式即可。13.【答案】 4 【考点】扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解： ABC 为等腰直角三角形， A=90°，BC=4 B= C=45°，BE=CE=2，AB=AC=22阴影= 扇形扇形= 22 × 22 × 1 45×22 45×22 = 4 2 360 360【分析】考查与圆有关的不规则图形面积的计算、扇形面积计算问题，先计算出等腰直角三角形ABC 的面积减去左右两边两个扇形的面积，即可得到阴影部分的面积。14.【答案】 2 4 = 0 （答案不唯一）【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解： 方程的 两根,12 满足 3 < 1 < 1,1 < 2 < 3 ， 在范围内任选两个值，比如 x1=-2，x2=2，然后代入方程 2 + + = 0得 4 + = 0 = 0 )解得 ) 4 + + = 0 = 4所以方程可以写为 x²-4=0【分析】考查一元二次方程的根，根据题目两个根的范围，任意选择合适的两个根，代入原方程求出系数的值，即可写出方程。15.【答案】 6536【考点】代数式求值【解析】【解答】解： + =1 13 62 + 1) = 2 + 2 + 12= 16936 2 +1 169=236 2 = 97362 1) = 2 2 + 12= 97 2 = 2536 36 0 < < 1 ， 1 1， 1 0 = 1 56 2 = + ) ) =1 1 1 1326× (5 65) = 6 361 2【分析】本题考查分式的化简求值问题中的互倒式题型，计算的时候要运用好两个公式 + ) = 2 +1 22 + ， 1) = 2 2 + 1 ， 找到平方和与两部分和差的关系，最后再利用平方差公式计算即2 2可得到结果。16.【答案】 91050【考点】平行四边形的性质，解直角三角形【解析】【解答】解：过点 B 作 BFCE 于点 F DEAB 在 Rt ADE 中， = =5=45 DE=4, = 52 42 = 3 AB=12 BE=AB-AE=9 四边形 ABCD 为平行四边形， CD=AB=12， DCE= BEC，DECD在 Rt CDE 中，CD=12，DE=4 tan = =4 1=12 3 tan = =13在 Rt BEF 中，设 BF=x，那么 EF=3x，2 + ( )2 = 92 解得 =91010 BC=AD=5 sin = =910 105= 91050【分析】本题考查平行四边形的性质，三角函数的定义，勾股定理的计算，首先根据问题构造好直角三角形，然后利用勾股定理计算出 ADE 与 CDE 各边的长度，再利用平行四边形的性质内错角相等以及正切值相等计算 BEF 的各边，找到所求正弦值需要用到的各边，最后求值即可。17.【答案】 5 2【考点】三角形-动点问题【解析】【解答】如图所示由题意可知： ADB=45°，AB=2，作 ABD 的外接圆 O，连接 OC，当 O、D、C 三点共线时，CD 的值最小。 ADB=45°， AOB=90°， AOB 为等腰直角三角形， AO=BO=sin45°×AB=2。 OBA=45°， ABC=90°， OBC=45°，作 OEBC 于点 E， OBE 为等腰直角三角形。 OE=BE=sin45°×OB=1， CE=BC-BE=3-1=2，在 Rt OCD 中，OC= 2 + 2 = 1 + 4 = 5 ， 当 O、D、C 三点共线时，CD 最小为 CD=OC-OD=5 2。故答案为：5 2【分析】本题属于隐形圆中的一种题型，先画出草图，再利用圆周角和草图可以将题目转换成圆外一点到圆上的最短距离求解即可。三、解答题18.【答案】 解： 4 2)> 2由得：x2；由得：x1，则不等式组的解集为1x2.【考点】解一元一次不等式组【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.19.【答案】 （1）解：由列表中 90 分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，由于人数总和是 20 人为偶数，将数据从小到大排列后，第10 个和第 11 个数据都是 90 分，因此这组数据的中位数应该是 90，众数：90，中位数：90，平均数 = 80×2+85×3+90×8+95×5+100×220= 90.5 答：这 20 名学生成绩的众数 90，中位数 90，和平均数 90.5；（2）解：20 名中有 8 + 5 + 2 = 15 人为优秀， 优秀等级占比：15 3=20 4 该年级优秀等级学生人数为： 600 × = 450 （人）34答：该年级优秀等级学生人数为 450 人【考点】用样本估计总体，分析数据的集中趋势【解析】【分析】（1）利用众数、中位数和平均数的定义求解即可；（2）根据条形统计图求出优秀的人数，再除以总人数，最后乘以600 即可。20.【答案】 （1）解：如图，连接 ，设 垂直平分线交 于点 F， 为 垂直平分线， = ，= + += + + = + = ， = + = = 1 （2）解：设 = ， = ，又 = ， = + = ，在 中， = 2 2 = 2 2 = 2 tan = = = 2 2【考点】线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）连接 BD，设 BC 垂直平分线交 BC 于点 F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；（2）设 AD=x，则 BD=CD=3x，AC=4x，由勾股定理可表示出 AB=22x，从而可计算出tan = = 2。 2421.【答案】 （1）解： P 为反比例函数 = 上一点， 代入得 = = 4 ，41 = 4 （2）解：令 = 0 ，即 + = 0 ， = ， , 0) ，令 = 0, = ， ， = 由图象得，可分为以下两种情况，B 在 y 轴正半轴时， > 0 ， = ，过 P 作 轴交 x 轴于点 H，又 ， = 1 1 1 1 1 1 1 1= 1 = 1 =11 121 11=12= 4 ×1 1 1= 2 ，21= 1 =11,即 = = ,1 1 1 1 = 2 ，= = 1 ，1 | | = 1, = 2 B 在 y 轴负半轴时， < 0 ，过 P 作 轴， 2 22 222 ，= 2 2 2 2， 2 22= = =12 232，2= | = = ，1 13 32=13 2=12= = 2 ， < 0 ， = 2 ，代入 | | =13 = 6 ，综上， = 2 或 = 6 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）把 P 点坐标代入反比例函数解析式即可求得；（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO 的长度，进而即可求得 k 的值。22.【答案】 （1）解：设猪肉粽每盒进价 a 元，则豆沙粽每盒进价 10) 元则 8000 = 6000解得： = 40 ，经检验 = 40 是方程的解 猪肉粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元答：猪肉粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元（2）解：由题意得，当 = 50 时，每天可售 100 盒当猪肉粽每盒售 x 元时，每天可售 100 50) 盒每盒的利润为( 40 ) = 40) · 100 50) ，= 2 + 8000配方得： = 70)2 + 1800当 = 65 时，y 取最大值为 1750 元 = 2 + 8000(50 65) ，最大利润为 1750 元答：y 关于 x 的函数解析式为 = 2 + 8000(50 65) ，且最大利润为 1750 元【考点】分式方程的实际应用，二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设猪肉粽每盒进价 a 元，则豆沙粽每盒进价 10) 元根据“某商家用 8000 元购进的猪肉粽和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同”列出分式方程，解方程即可；（2）由题意得，当 = 50 时，每天可售 100 盒 当猪肉粽每盒售 x 元时，每天可售 10050) 盒列出每天销售猪肉粽的利润y 与猪肉粽每盒售价 x 元的函数关系式，根据二次函数的性质即x 的取值范围求利润的最大值即可。23.【答案】 解：延长 交 于 H 连 ， 由 沿 折叠得到， = ， = = 90° ， E 为 中点，正方形 边长为 1， = =12， = =12， 四边形 是正方形， = = = 90° ，在 和 中， = =， ， = ，又 = ， + = 90° ， + = 90° ， = ， ， = = 12， = 14， = = 1 1 3=4 4， ， ， = = 34， = 3 3=4 4 ， = 1 ， = 1 ， = 90° ， = 2 ， = 34(2 ， = 372 【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【分析】根据题意，延长 BF 交 CD 于 H，连接 EH，通过证明 ， 得到 CH=3 3 ， 再由 得到 =4 4(2 ， 进而即可求得 CG 的长。24.【答案】 （1）证明： = ，设 = = ， = 180° ， CD AB， = 180 (180 = ，又 = ， = = 180°2= 90° ， = 180° = 180° (90° = 90° ， （2）证明：如图，取 中点 O，过点 O 作 ， CD AB， BCD=90°， = 90° ，又 ， OM AB， M 为 中点， = + ，12 = + ，又 = = ， = + = ，又 = ， = = ， 以 为直径的圆与 相切（3）解： DFE=120°，CD EF AB， = 60°， = 120°， = 60° ，又 = 为等边三角形， = = 60° ， CD EF， = = 60° ，由(2)得： = 90° ， = 30° ， = = 30° ， = 2 ，在 中，三边之比为 1: 3: 2 ， =3=233 ，在 中，三边之比为 1: 3: 2 ， = = 23 ，如图，过点 D，点 A 分别向 作垂线交 于点 M，N， = = = 90 ， 四边形 为矩形， = = 23 ，同理，四边形 BENA 为矩形， = =233 ，= + =1 1 +2 2 = +12= × 2 × (23 + 3)1 22 3=833 【考点】几何图形的面积计算-割补法，四边形的综合【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，再结合角的运算求解即可；（2） 取 中点 O，过点 O 作 ， 先证明点 M 为 BC 的中点，利用中位线得到 OM 的长，再证明点 A、M、D 再以 O 为圆心的圆上即可；（3）利用割补法求解即可。25.【答案】 （1）解：令 12 = 2 + 6 ，解得 = = 3 ，1 2当 = 3 时， 12 = 2 + 6 = 0 ， = 2 + + 必过 (3,0) ，又 = 2 + + 必过 (1,0) ， + = 0 = ， + + = 0 = = 2 ，即 12 2 ，即可看成二次函数 = 2 与一次函数 = 12 仅有一个交点，且整体位于 = 12 的上方 > 0 ， 12 = 2 有两个相等的实数根 = 0 + 4)2 = 0 ， 1)2 = 0 ， = 1 ， = 2 ， = 3 ， = 2 3 （2）解：由（1）可知： ， 3) ，设 2 3), 0) ，+ = +当 为对角线时， + = +3 + 0 = + ，解得0 + (3) = 2 3 + 0= 0 （舍）， = 2 ，1 2 = 1 ，即(1,0) 1+ = +当 为对角线时， + = +3 + = 0 + ，解得0 + 3 = 3 + 02= 0 （舍） = 2 ，1 2 = 5 ，即(5,0) 2+ = +当 为对角线时， + = +3 + = 0 + ，解得 0 + 0 = 3 + 2 3= 1 + 7, = 1 7 ，1 2 = 7 2 或 = 2 7 ，(7 2,0),3(2 7, 0) 4综上所述：N 点坐标为 (1,0) 或 (5,0) 或 (7 2,0) 或 (2 7, 0) 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）令 12 = 2 + 6 ， 解之可得交点为（3，0），则二次函数必过（3，0），又过（-1，0），则把两点坐标代入解析式可得 = 2 ， 又因为 12 2 ， 再利用一次函数与二次函数的图象，利用数形结合求解即可；（2）先求出 A、C 两点坐标，设点 M 坐标为 2 3), 0) ， 根据对角线的不同可分三类情况建立方程讨论求解即可。