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2022年全国高考甲卷数学（文）试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设集合A=-2,-1,0,1,2,B=x0x<52，则AB=（       ）A0,1,2B-2,-1,0C0,1D1,22某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（       ）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3若z=1+i则|iz+3z|=（       ）A45B42C25D224如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（       ）A8B12C16D205将函数f(x)=sinx+3(>0)的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（       ）A16B14C13D126从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（       ）A15B13C25D237函数y=3x-3-xcosx在区间-2,2的图象大致为（       ）ABCD8当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2，则f'(2)=（       ）A-1B-12C12D19在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（       ）AAB=2ADBAB与平面AB1C1D所成的角为30°CAC=CB1DB1D与平面BB1C1C所成的角为45°10甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若S甲S乙=2，则V甲V乙=（       ）A5B22C10D510411已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若BA1BA2=-1，则C的方程为（       ）Ax218+y216=1Bx29+y28=1Cx23+y22=1Dx22+y2=112已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则（       ）Aa>0>bBa>b>0Cb>a>0Db>0>a二、填空题13已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)若ab，则m=_14设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为_15记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值_16已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120°,AD=2,CD=2BD当ACAB取得最小值时，BD=_三、解答题17甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，PK2k0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值19小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直(1)证明：EF/平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）20已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线y=g(x)的切线(1)若x1=-1，求a；(2)求a的取值范围21设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，MF=3(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,当-取得最大值时，求直线AB的方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t（t为参数），曲线C2的参数方程为x=-2+s6y=-s（s为参数）(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos-sin=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标23已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c3；(2)若b=2c，则1a+1c3参考答案：1A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出【详解】因为A=-2,-1,0,1,2，B=x0x<52，所以AB=0,1,2故选：A.2B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%+75%2>70%,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.故选:B.3D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出【详解】因为z=1+i，所以iz+3z=i1+i+31-i=2-2i，所以iz+3z=4+4=22故选：D.4B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V=2+42×2×2=12.故选：B.5C【解析】【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得2+3=2+k,kZ，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为y=sinx+2+3=sin(x+2+3)，又C关于y轴对称，则2+3=2+k,kZ，解得=13+2k,kZ，又>0，故当k=0时，的最小值为13.故选：C.6C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为615=25.故选：C.7A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令f(x)=(3x-3-x)cosx,x-2,2，则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x(0,2)时，3x-3-x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.故选：A.8B【解析】【分析】根据题意可知f1=-2，f'1=0即可解得a,b，再根据f'x即可解出【详解】因为函数fx定义域为0,+，所以依题可知，f1=-2，f'1=0，而f'x=ax-bx2，所以b=-2,a-b=0，即a=-2,b=-2，所以f'x=-2x+2x2，因此函数fx在0,1上递增，在1,+上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f'2=-1+12=-12故选：B.9D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出【详解】如图所示：不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A，所以sin30=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE，因为tanBAE=ca=22，所以BAE30，B错误；对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C，sinDB1C=CDB1D=a2c=22，而0<DB1C<90，所以DB1C=45D正确故选：D10C【解析】【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，根据圆锥的侧面积公式可得r1=2r2，再结合圆心角之和可将r1,r2分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙=r1lr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，又2r1l+2r2l=2，则r1+r2l=1，所以r1=23l,r2=13l，所以甲圆锥的高h1=l2-49l2=53l，乙圆锥的高h2=l2-19l2=223l，所以V甲V乙=13r12h113r22h2=49l2×53l19l2×223l=10.故选：C.11B【解析】【分析】根据离心率及BA1BA2=-1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率e=ca=1-b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，A1,A2分别为C的左右顶点，则A1(-a,0),A2(a,0)，B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b)，因为BA1BA2=-1所以-a2+b2=-1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，故椭圆的方程为x29+y28=1.故选：B.12A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，log89>m，然后由指数函数的单调性即可解出【详解】由9m=10可得m=log910=lg10lg9>1，而lg9lg11<lg9+lg1122=lg9922<1=lg102，所以lg10lg9>lg11lg10，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0又lg8lg10<lg8+lg1022=lg8022<lg92，所以lg9lg8>lg10lg9，即log89>m，所以b=8m-9<8log89-9=0综上，a>0>b故选：A.13-34#-0.75【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：ab=m+3(m+1)=0，解得m=-34.故答案为：-34.14(x-1)2+(y+1)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：点M在直线2x+y-1=0上，设点M为(a,1-2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在M上，点M到两点的距离相等且为半径R，(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R，a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，M(1,-1)，R=5，M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5152（满足1<e5皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±bax中0<ba2即可求得满足要求的e值.【详解】解：C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，所以C的渐近线方程为y=±bax,结合渐近线的特点，只需0<ba2，即b2a24，可满足条件“直线y=2x与C无公共点”所以e=ca=1+b2a21+4=5，又因为e>1，所以1<e5，故答案为：2（满足1<e5皆可）163-1#-1+3【解析】【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD=2BD=2m>0，则在ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=m2+4+2m，在ACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosADC=4m2+4-4m，所以AC2AB2=4m2+4-4mm2+4+2m=4m2+4+2m-121+mm2+4+2m=4-12m+1+3m+14-122m+13m+1=4-23，当且仅当m+1=3m+1即m=3-1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=3-1.故答案为：3-1.17(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则P(M)=240260=1213；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则P(N)=210240=78.A家公司长途客车准点的概率为1213；B家公司长途客车准点的概率为78.(2)列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=500×(240×30-210×20)2260×240×450×503.205>2.706，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18(1)证明见解析；(2)-78【解析】【分析】（1）依题意可得2Sn+n2=2nan+n，根据an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2，作差即可得到an-an-1=1，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到an的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得(1)解：因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n，当n2时，2Sn-1+n-12=2n-1an-1+n-1，-得，2Sn+n2-2Sn-1-n-12=2nan+n-2n-1an-1-n-1，即2an+2n-1=2nan-2n-1an-1+1，即2n-1an-2n-1an-1=2n-1，所以an-an-1=1，n2且nN*，所以an是以1为公差的等差数列(2)解：由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4a9，即a1+62=a1+3a1+8，解得a1=-12，所以an=n-13，所以Sn=-12n+nn-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时Snmin=-7819(1)证明见解析；(2)64033【解析】【分析】（1）分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，由平面知识可知EMAB,FNBC，EM=FN，依题从而可证EM平面ABCD，FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM/FN，即可知四边形EMNF为平行四边形，于是EF/MN，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍，即可解出(1)如图所示：，分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，因为EAB,FBC为全等的正三角形，所以EMAB,FNBC，EM=FN，又平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，EM平面EAB，所以EM平面ABCD，同理可得FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM/FN，而EM=FN，所以四边形EMNF为平行四边形，所以EF/MN，又EF平面ABCD，MN平面ABCD，所以EF/平面ABCD(2)如图所示：，分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，EF/MN且EF=MN，同理有，HE/KM,HE=KM，HG/KL,HG=KL，GF/LN,GF=LN，由平面知识可知，BDMN，MNMK，KM=MN=NL=LK，所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍因为MN=NL=LK=KM=42，EM=8sin60=43，点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d，d=22，所以该几何体的体积V=422×43+4×13×42×43×22=1283+25633=6403320(1)3(2)-1,+【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.(1)由题意知，f(-1)=-1-(-1)=0，f'(x)=3x2-1，f'(-1)=3-1=2，则y=f(x)在点-1,0处的切线方程为y=2(x+1)，即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2=2，解得x2=1，则g(1)=1+a=2+2，解得a=3；(2)f'(x)=3x2-1，则y=f(x)在点x1,f(x1)处的切线方程为y-x13-x1=3x12-1(x-x1)，整理得y=3x12-1x-2x13，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2，则切线方程为y-x22+a=2x2(x-x2)，整理得y=2x2x-x22+a，则3x12-1=2x2-2x13=-x22+a，整理得a=x22-2x13=3x122-122-2x13=94x14-2x13-32x12+14，令h(x)=94x4-2x3-32x2+14，则h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1)，令h'(x)>0，解得-13<x<0或x>1，令h'(x)<0，解得x<-13或0<x<1，则x变化时，h'(x),h(x)的变化情况如下表：x-,-13-13-13,000,111,+h'(x)-0+0-0+h(x)52714-1则h(x)的值域为-1,+，故a的取值范围为-1,+.21(1)y2=4x；(2)AB:x=2y+4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF|=p+p2，即可得解；（2）设点的坐标及直线MN:x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得kMN=2kAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得kAB=22，设直线AB:x=2y+n，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为x=-p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时|MF|=p+p2=3，所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；(2)设M(y124,y1),N(y224,y2),A(y324,y3),B(y424,y4)，直线MN:x=my+1，由x=my+1y2=4x可得y2-4my-4=0，>0,y1y2=-4，由斜率公式可得kMN=y1-y2y124-y224=4y1+y2，kAB=y3-y4y324-y424=4y3+y4，直线MD:x=x1-2y1y+2，代入抛物线方程可得y2-4(x1-2)y1y-8=0，>0,y1y3=-8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，所以kAB=4y3+y4=42(y1+y2)=kMN2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,，所以kAB=tan=kMN2=tan2，若要使-最大，则(0,2)，设kMN=2kAB=2k>0，则tan(-)=tan-tan1+tantan=k1+2k2=11k+2k121k2k=24，当且仅当1k=2k即k=22时，等号成立，所以当-最大时，kAB=22，设直线AB:x=2y+n，代入抛物线方程可得y2-42y-4n=0，>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16，所以n=4，所以直线AB:x=2y+4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.22(1)y2=6x-2y0；(2)C3,C1的交点坐标为12,1，1,2，C3,C2的交点坐标为-12,-1，-1,-2【解析】【分析】(1)消去t，即可得到C1的普通方程；(2)将曲线C2,C3的方程化成普通方程，联立求解即解出(1)因为x=2+t6，y=t，所以x=2+y26，即C1的普通方程为y2=6x-2y0(2)因为x=-2+s6,y=-s，所以6x=-2-y2，即C2的普通方程为y2=-6x-2y0，由2cos-sin=02cos-sin=0，即C3的普通方程为2x-y=0联立y2=6x-2y02x-y=0，解得：x=12y=1或x=1y=2，即交点坐标为12,1，1,2；联立y2=-6x-2y02x-y=0，解得：x=-12y=-1或x=-1y=-2，即交点坐标为-12,-1，-1,-223(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+2c2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0<a+4c3，即可得到1a+4c13，再根据权方和不等式即可得证.(1)证明：由柯西不等式有a2+b2+2c212+12+12a+b+2c2，所以a+b+2c3，当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+b+2c3；(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c3，即0<a+4c3，所以1a+4c13，由权方和不等式知1a+1c=12a+224c1+22a+4c=9a+4c3，当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a+1c3.答案第14页，共14页