word打印版衡中2020版二轮复习 数学练习题学案含答案和解析第1部分 专题7 第3讲概率、随机变量及其分布列（理）.doc
第一部分专题七第三讲A组1小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(C)A.BCD解析根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是.2某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(A)A0.8 B0.75 C0.6 D0.45解析本题考查条件概率的求法设A“某一天的空气质量为优良”，B“随后一天的空气质量为优良”，则P(B|A)0.8，故选A.3投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析3次投篮投中2次的概率为P(k2)C×0.62×(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C×0.62×(10.6)0.630.648.4(2017·浙江卷，8)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，(i1,2)若0<p1<p2<，则(A)AE(1)<E(2)，D(1)<D(2)BE(1)<E(2)，D(1)>D(2)CE(1)>E(2)，D(1)<D(2)DE(1)>E(2)，D(1)>D(2)解析由题意可知i(i1,2)服从两点分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)又0<p1<p2<，E(1)<E(2)把方差看作函数yx(1x)，根据0<1<2<知，D (1)<D(2)故选A.5随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E()1，则D()_.解析设P(1)p，则P(2)p，从而由E()0×1×p2×(p)1，得p.故D()(01)2×(11)2×(21)2×.6(2019·河南信阳二模)如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为，则P(8)_.解析解法一(直接法)：由已知得，的可能取值为7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的概率分布列为：78910PP(8)P(8)P(9)P(10).解法二(间接法)：由已知得，的可能取值为7,8,9,10，故P(8)与P(7)是对立事件，所以P(8)1P(7)1.7(2018·天津卷，16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率解析(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0×1×2×3×.设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥，由(i)知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以，事件A发生的概率为.8甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.解析(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”由题意，EABCDBCDACDABDABC.由事件的独立性与互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()×××2×(××××××).所以“星队”至少猜对2个成语的概率为.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0)×××，P(X1)2×(××××××)，P(X2)××××××××××××，P(X3)××××××，P(X4)2×(××××××)，P(X6)×××.可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望EX0×1×2×3×4×6×.B组1(2018·全国卷，20)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p，且各件产品是否为不合格品相互独立(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f，求f的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)Cp2(1p)18.因此f(p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)(0<p<1)令f(p)0，得p0.1当p(0,0.1)时，f(p)0；当p(0.1,1)时，f(p)0.所以f(p)的最大值点为p00.1(2)由(1)知，p0.1令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知YB(180,0.1)，X20×225Y，即X4025Y.所以E(X)E(4025Y)4025E(Y)490.如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元由于E(X)400，故应该对余下的产品作检验2(2019·长春质检)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在100,150)，150,200)，200,250)，250,300)，300,350)，350,400(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示(1)现按分层抽样的方法，从质量为250,300)，300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在300,350)内的芒果个数，求X的分布列及数学期望E(X)；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解析(1)由频率分布直方图可得，随机抽取的9个芒果中，质量在250,300)和300,350)内的分别有6个和3个则X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123PE(X)0×1×2×3×1(2)方案A：(125×0.002175×0.002225×0.003275×0.008325×0.004375×0.001)×50×10 000×10×0.00125 750(元)方案B：低于250克：(0.0020.0020.003)×50×10 000×27 000(元)高于或等于250克：(0.0080.0040.001)×50×10 000×319 500(元)总计：7 00019 50026 500(元)由25 750<26 500，故B方案获利更多，应选B方案3已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200).P(X300).P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PEX200×300×400×350.4某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解析(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11，记事件Ai为第一台机器3年内换掉i7个零件(i1,2,3,4)记事件Bi为第二台机器3年内换掉i7个零件(i1,2,3,4)由题知P(A1)P(A3)P(A4)P(B1)P(B3)P(B4)0.2，P(A2)P(B2)0.4.设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22，P(X16)P(A1)P(B1)0.2×0.20.04，P(X17)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)0.2×0.40.4×0.20.16，P(X18)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)0.2×0.20.4×0.40.2×0.20.24，P(X19)P(A1)P(B4)P(A2)P(B3)P(A3)P(B2)P(A4)P(B1)0.2×0.20.4×0.20.2×0.40.2×0.20.24，P(X20)P(A2)P(B4)P(A3)P(B3)P(A4)P(B2)0.4×0.20.2×0.20.2×0.40.2，P(X21)P(A3)P(B4)P(A4)P(B3)0.2×0.20.2×0.20.08，P(X22)P(A4)P(B4)0.2×0.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)要令P(Xn)0.5，0.040.160.24<0.5,0.040.160.240.240.5，则n的最小值为19.(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n19时，费用的期望为19×200500×0.21 000×0.081 500×0.044 040，当n20时，费用的期望为20×200500×0.081 000×0.044 080.所以应选用n19.
