2022年高中数学平面向量专题复习.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 专题八 平面对量 一、复习要求 一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量,留意向量和数量 的区分；向量常用有向线段来表示,留意不能说向量就是有向线 段,为什么？向量可以平移 ；如：2零向量：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意零向 量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与AB 共线的单位向量是 AB ；| AB | 4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；5平行向量也叫共线向量 ：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量, 记作： a b ,规定零向量和任何向量平行；提示：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 重合；, 但两条直线平行不包含两条直线平行向量无传递性！ 由于有 0 ；三点 A、 、C 共线 AB、AC 共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；如以下命题：1假设 a b ,就 a b ；2两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同；3假设 AB DC ,就ABCD 是平行四边形；4假设 ABCD 是平行四边形, 就 AB DC ；5假设 a b b c ,就 a c ；6假设 a / , / c ,就 a / c ；其中正确的选项是 _ 二、向量的表示1几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如 前,终点在后；AB ,留意起点在2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如 a ,b ,c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系,以与 x轴、 y 轴方向1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 相同的两个单位向量i , j 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx y ,称,x y 为向量 a 的坐标,a ,x y 叫做向量 a 的坐标表示；假如向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；三平面对量的基本定理： 假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数1、2 ,使 a= 1e12e2；如1假设 a 1,1, b 1, 1, c 1,2,就 c _ 2以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是 A. e 1 0,0, e 2 1, 2 B. e 1 1,2, e 2 5,71 3 C. e 1 3,5, e 2 6,10 D. e 1 2, 3, e 2 , 2 4 3已知 AD BE 分别是 ABC 的边 BC AC 上的中线 , 且AD a BE b , 就 BC 可用向量 a b 表示为 _ 4已知 ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD 2 DB,CD r AB s AC,就 r s 的值是 _ 四实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量, 记作 a ,它的长度和方向规定如下：1 a a , 2 当 >0时,a的方向与 a 的方向相同,当 <0 时,a 的方向与 a 的方向相反,当0 时,a 0,留意：a 0；五平面对量的数量积：1两个向量的夹角： 对于非零向量 a ,b ,作 OA a OB b ,AOB0称为向量 a ,b 的夹角,当0 时, a ,b 同向,当时, a , b 反向,当2时, a , b 垂直；2平面对量的数量积：假如两个非零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量 | a b | cos 叫做 a 与 b 的数量积或内积或点积,记作： a . b ,即 a . b a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0,留意数量积是一个实数, 不再是一个向量；如 1 ABC 中 ,| AB|3,| AC|4,| BC|5, 就2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABBC_ 为42已知a1, , 12b0,1,cakb dab,c 与 d 的夹角2,就 k 等于_ 3已知a2,b5,a b3,就 ab 等于 _ 4已知,a b是两个非零向量, 且abab ,就 与ab的夹角为 _ 3 b 在 a上的投影为 |b| cos,它是一个实数,但不肯定大于 0；如已知| a|3,| b|5,且ab12,就向量 a 在向量 b 上的投影为 _ 4a . b 的几何意义： 数量积 a . b 等于 a 的模 | a 与b在a上的投影的积；5向量数量积的性质： 设两个非零向量 a ,b ,其夹角为,就：aba.b0； 当 a , b 同 向 时 , a . b a b , 特 别 地 ,2 2 2a a a a , a a；当 a 与 b 反向时, a . b a b ；当为锐角时, a . b 0,且 a b、 不同向,a b 0 是 为锐角的必要非充分条件； 当 为钝角时, a . b 0,且 a b、 不反向,a b 0 是为钝角的必要非充分条件； 非 零 向 量 a , b 夹 角 的 计 算 公 式 ： cos a b；a b | a . b | | a | b |；如1已知 a , 2 ,b 3 2, ,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就 的取值范畴是 _ 2 已 知 OFQ 的 面 积 为 S , 且 OF FQ 1, 假 设1S 3,就 OF , FQ 夹角 的取值范畴是 _ 2 2六向量的运算：3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1几何运算：向量加法：利用“ 平行四边形法就” 进行,但“ 平行四边形法就” 只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法仍可利用“ 三角形法就” ：设 AB a BC b ,那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和,即 a b AB BC AC ； 向 量 的 减 法 ： 用 “三 角 形 法 就 ” ：设AB a AC b , 那么 a b AB AC CA,由减向量的终点指向被减向量的终点；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如化 简 ： AB BC CD _ ； AB AD DC _ ； AB CD AC BD _ 2坐标运算：设 a x y 1 1 , b x 2 , y 2 ,就：向量的加减法运算：a b x 1 x ,2 y 1 y 2；如1已知点 A 2,3, B 5,4,C 7,10,假设AP AB AC R ,就当_时,点 P 在第一、三象限的角平分线上就 x2已知A 2,3,B1,4,且1ABsin ,cos ,x y2,2,2y实数与向量的积：ax 1,y 1x 1,y 1；,即一个假设A x 1,y 1,B x2,y2,就ABx 2x y2y 1向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；如设A 2,3,B 1,5,且AC1AB ,AD3AB ,就 C、D的坐标3分别是 _ a bx x 1 2y y 1 2；如平面对量数量积：已知向量asinx ,cosx, bsinx ,sinx , c1,0；1假设 x3,求向量 a 、c的夹角；2假设 xa3,4,8函数fx ab的最大值为1 ,求22 2y , a|的值x22 y ；如向量的模：|a|2 xa2 |3 | b 已知a b 均为单位向量,它们的夹角为60 ,那么 |_ 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两点间的距离：假设A x y 1,B x 2,y 2,就|AB|x 2x 12y 2y 12；七向量的运算律：1交换律： a b b a ,a a , a b b . a；2 结 合 律 ：a b c a b c a b c a b c,a . b a . b a . b；3 分 配 律：a a a , a b a b,a b . c a . c b . ；如以下命题中： a b c a b a c； a b c a b c； a b 2| a | 222 | a | | b | | b |； 假设 a b 0,就 a 0 或 b 0；假设a b c b 就 a c ； a 2a ； 2 a b2 b； a b 2a 2b ；2a a a b 2a 22 a b b ；其中正确的选项是 _ 2提示：1向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量, 切记两向量不能相除 相约 ；2向量的“ 乘法” 不满意结合律,即 a b . c a . b c,为什么？八向 量 平 行 共 线 的 充 要 条 件：2 2a / b a b a b | a b | | x y 2 y x 0；如1 假设向量 a ,1, b 4, x ,当 x _时 a 与 b 共线且方向相同2已知a1,1, b4, x ,ua2 b ,v2ab ,且u/v ,就 x_ 3设PA ,12,PB4,5,PC10, k ,就 k_时,A,B,C 共线九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：aba b0|ab| |ab|5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - x x 2y y 20. 特殊地 ABACABAC；如ABACABAC1 已知 OA 1,2, OB 3, m ,假设 OA OB ,就 m2以原点 O和 A4,2 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,B 90,就点 B的坐标是 _ 3已知 n , , a b 向量 n m ,且 n m ,就 m 的坐标是_ 十向量中一些常用的结论：1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用；2 | a | | b | | a b | | a | | b ,特殊地,当 a b、 同向或有0 | a b | | a | | b | a | | b | | a b |；当 a b 反 向 或 有0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b |； 当 a b 不 共 线| a | | b | | a b | | a | | b 这些和实数比较类似 . 3在 ABC 中,假设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , C x 3 , y 3,就其重心的坐标为 G x 1 x 2 x 3 , y 1 y 2 y 3；如3 3假设 ABC的三边的中点分别为 2,1、-3 ,4、-1 ,-1 ,就 ABC的重心的坐标为 _ PG 1 PA PB PC G 为 ABC 的 重 心 , 特 别 地3PA PB PC 0 P 为 ABC 的重心； PA PB PB PC PC PA P 为 ABC的垂心；向量 AB AC 0 所在直线过 ABC 的内心 是| AB | | AC |BAC 的角平分线所在直线 ； 4向量 PA PB PC 中三终点 A、 、C 共线 存在实数、使得 PA PB PC且 1. 如平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A 3 1, , B 1 3, ,假设点 C 满意 OC 1 OA 2 OB , 其中 1, 2 R 且 1 2 1 ,6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就点 C 的轨迹是 _ 四：同步练习2022 年高考文科数学解析分类汇编：平面对量一、挑选题1 2022 年高考重庆文 设 xR , 向量a ,1,b1, 2,且 ab ,就 |ab|A5B10C 2 5D103 2022年高考天津文 在ABC 中,A90,AB1 , 设点P Q 满 足APAB AQ1AC,R . 假 设BQ CP2, 就A 1 3B2 3C4 3D24 2022年高考四川文 设 a 、 b 都是非零向量 , 以下四个条件中, 使|a|b|成立的充分条件是abA |a| |b 且a/bBabC /bDa2 b5 2022 年高考辽宁文 已知向量a = 1, 1,b = 2,x.假设 a ·b = 1, 就 x =A 1 B1 2C1 2D16 2022年高考广东文对任意两个非零的平面对量和, 定义, 假设平面对量a 、 b 满意ab0, a 与 b 的夹角7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0,4, 且 ab 和 ba 都在集合n n 2Z中, 就 a bA1 2B1 C3 2D5 27 2022年高考广东文 向量 假设向量AB1,2,BC3,4, 就ACA 4,6B4, 6C2, 2D 2,29 2022年 高 考 大 纲 文 ABC 中 , AB 边 的 高 为 CD , 假 设CBa , CAb ,a b0, |a| 1, |b| 2, 就 ADA1 3a1bB2 3a2bC3 5a3bD4 5a4b3355二、填空题102022 年高考浙江文 在 ABC中,M 是 BC的中点 ,AM=3,BC=10, 就AB AC =_.12 2022年 高 考 课 标 文 已 知 向 量 a , b 夹 角 为450, 且|a|=1,|2ab |=10 , 就| b |=_.142022 年高考湖南文 如图 4, 在平行四边形为 P,AP3且 AP AC = _. DAP B C8 ABCD中 ,AP BD,垂足名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 152022 年高考湖北文 已知向量a1,0,b1,1, 就 与 2ab 同向的单位向量的坐标表示为_; _. 向量b3 a 与向量 a 夹角的余弦值为16 2022 年高考北京文 已知正方形ABCD的边长为 1, 点 E 是 AB边上的动点 , 就 DE CB 的值为 _. 17 2022 年高考安徽文 设向量a1,2m bm1,1, c2,m ,假设 ac b , 就 a_.9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页