2022年高中数学解题方法之构造法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 十、构造法解数学问题时, 常规的摸索方法是由条件到结论的定向摸索,方式来寻求解题途径却比较困难,甚至无从着手；在这种情形下 向,换一个角度去摸索从而找到一条绕过障碍的新途径；但有些问题用常规的思维 ,常常要求我们转变思维方历史上有不少闻名的数学家,如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人,都曾经用“ 构造法” 胜利地解决过数学上的难题；数学是一门制造性的艺术,包蕴着丰富的美 ,而敏捷、奇妙的构造令人拍手叫绝,能为数学问题的解决增加颜色,更具讨论和观赏价值；近几年来,构造法极其应用又逐步为数学训练界所重视,在数学竞赛中有着肯定的位置；构造需要以足够的学问体会为基础,较强的观看才能、 综合运用才能和制造才能为前提,依据题目的特点,对问题进行深化分析,找出“ 已知” 与“ 所求所证” 之间的联系纽带,使解题另辟蹊径、水到渠成；用构造法解题时, 被构造的对象是多种多样的,按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等,从下面的例子可以看出这些想法的实现是特别敏捷的,没有固定的程序和模式,不行生搬硬套； 但可以尝试从中总结规律： 在运用构造法时,一要明确构造的目的,即为什么目的而构造；二要弄清晰问题的特点,以便依据特点确定方案,实现构造；再现性题组1、求证：yx221010构造函数21y1225构造函数x932、假设 x > 0, y > 0, x + y = 1 ,就xxy43、已知 0a1, 0b1,求证：a1 b1222a2b2 a12b2a2 b1构造图形、复数4、求证：7x2 9x29,并指出等号成立的条件；构造向量acc2当且仅5、已知： a>0、b>0、c>0 , 求证：a2abb2b2bcc2a2当111时取等号；构造图形bac6、求函数yx1x 的最大值构造三角函数再现性题组简解：1、解：设tx2f9 t3 就ftt2yt 1t2t1,用定义法可证：f t 在3 ,0上单就ft 1f21t221 t1t2t1t21调递增,令： 3 1t2t 1t2t 1t2yx2210 3 33110x9337 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、解：左边xyxy12xy1令 t = xy,就0tx2y21,yxxyxy4f t t 1在 0 , 1 上单调递减f t f 1 17t 4 4 43、解：构造单位正方形,O是正方形内一点,O到 AD, AB的距离为 a, b,就 | AO| + | BO| + | CO| + | DO| | AC| + | BD| , 其中 | AO | a 2 b 2,| BO | a 1 2 b 2| CO | a 1 2 b 1 22 2| DO | a b 1又：| AC | | BD | 2a 2b 2 a 1 2b 2a 2 b 1 2 a 1 2 b 1 2 2 2另解：从不等式左边的结构特点简洁联想到复数的模,将左边看成复数 Z1=x+y i , Z 2 = x + 1 y i , Z3 = 1 x + y i ,Z 4 = 1 x +1 yi 模的和,又留意到 Z1 Z2 Z 3 Z4 2 2 i, 于 是 由 1z z 23zz 4z 1 z 2 z 3 z 4 可 得2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y x 1 y 1 x y 1 x 1 y 2 2 2 224、解：不等式左边可看成 7 与 x 和 2 与 9 x 两两乘积的和,从而联想到数量积的坐标表示,将左边看成向量 a = 7 , 2 与 b = x, 9 x 2的数量积,又 a b | a | b ,所以 7 x 2 9 x 2 7 2 2 2·x 2 9 x 2 9 当且仅当 b = a >0 2时等号成立,故由 x 9 x 0 得： x= 7 , =1,即 x = 7 时,等号成立；7 25、解：从三个根式的结构特点简洁联想到余弦定理,于是可构造如以下图形：作 OA a,OBb,OCc, AOB= BOC=60°2如图 1a2acc2就 AOC 120°, AB=a2abb2,BC=bbcc2,AC=由几何学问可知：ABBCACc2a2abb2+b2bcc2a2ac当且仅当 A 、B、C 三点共线时等号成立,此时有1absin601bcsin601acsin120,即 ab+bc=ac2228 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故当且仅当111时取等号；bac6、解：由根号下的式子看出x+1x=1且 0x1即21时,y max2故可联想到三角函数关系式并构造xsin204所以ysinxcosx2 sin, 当4x2示范性题组一、构造函数懂得和把握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个熟悉上的飞跃；很多数学命题繁冗复杂,难寻入口,假设奇妙运用函数思想,能使解答独树一帜,耐人寻味；【例 1】、已知 x,y,z0,1,求证： x1-y+y1-z+z1-x 1 第 15 届俄罗斯数学竞赛题分析：此题条件、结论均具有肯定的对称性,然而难以直接证明,不妨用构造法一试；证 ： 构 造 函 数 fx=y+z-1x+yz-y-z+1 y,z 0,1, f0=yz-y-z+1=y-1z-1 0 ,f1=y+z-1+yz-y-z+1=yz0,而 fx 是一次函数,其图象是直线,由 x 0,1恒有fx 0,即 y+z-1x+yz-y-z+1 0,整理可得 x1-y+y1-z+z1-x 1 二、构造方程：方程是解数学题的一个重要工具,很多数学问题, 依据其数量关系,在已知和未知之间搭上桥梁,构造出方程,使解答简洁、合理；【例 2】、已知 a,b,c 为互不相等的实数,试证：xbc a-ba-c +ac b-ab-c +ab c-ac-b =1 1 证：构造方程x-bx-c a-ba-c +x-ax-c b-ab-c +xab=1 2 cacb 明显 a,b,c 为方程的三个互不相等的实根；从而对任意实数 特殊地,令 x=0,即得 1式；x 均满意 2式；【例 3】、设 x,y 为实数,且满意关系式：x3 11997 x11y3 11997y11就 x+y= .1997 年全国高中数学联赛试题x+y 就既繁又难,三次方程究竟不熟分析：此题用常规方法,分别求出x 和 y 的值后再求悉；假设将两方程联立构造出方程x3 11997x11y319971y1,利用函数 ft=t3+1997t 的单调性,易得x11y ,自然、简洁；三、构造复数复数是实数的延长,一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题,虽然数的结构会变复杂,但常使问题简明化,正所谓“ 退一步海阔一空”；【例 4】、a,b,x,y 正实数 , 且 x2+y2=1,求证：a2x2+b2y2+ a2y2+b2x2=a+b 证：设 z1=ax+byi , z2=bx+ayi ,就 a 2x 2+b 2y 2 + a 2y 2+b 2x 2 = Z1 + Z2 Z1+Z2 =2 2 a+bx+a+byi =a+b x y =a+b,不等式得证：9 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、构造代数式代数式是数学的重要组成要素之一,有很多性质值得我们去发觉和应用；【例 5】、当xx31时,求y13 x3 xx2x1的值 . 1x 3x 2x12解：由条件得x31所以x13,构造x1的因式 y=2=1 23 x22 x=1 x x22=1 3 2x3x2=1 222 1五、构造数列相当多的数学问题,特殊是证明不等式,尝试一下“ 构造数列” 能产生意想不到的成效；【例 6】证明 :11n1n11n1n=1,2,3 1 n ,xn+1=1 n分析此命题假设直接证明,颇具难度,倘假设构造数列x 1=x 2= =xn=1+利用平均值不等式x1+x 2+ +x n+1n+1 x 1x 2 x n+1 ,顿使命题明朗化；n+1六、构造向量新教材的一个重要特点是引入向量 一工具来解决 . ,代数、几何、三角中的很多问题都可以利用向量这【例 7】已知 a,b,c 为正数 ,求函数 y=x2a2 cx2b2的最小值 . 解: 构造向量 a =x,a, b =c-x,b, 就原函数就可化为:y= a + b a +b xcx2ab 2c2ab 2,ymin=c2ab 2七、构造几何图形一般来讲, 代数问题较为抽象,假设能通过构造将之合理转化为几何问题,利用“ 数形结合” 这一重要思想方法,往往可增强问题的直观性,使解答事半功倍或独具匠心；【例 8】、见【例 1】证：构造边长为 1 的正 ABC ,D,E,F 为边上三点,并设 BD=x ,CE=y , AF=z ,如图 1 明显有 S BDE +S CEF+S ADF <334即3x1-y+ 3y1-z+ 3z1-x 4444这道竞赛题能如此简洁、直观地证明,真是妙不行言；【例 9】、求证：449x22x21333简析：49 x2的结构特点,使我们联想到椭圆方程及数形结合思想；9x2 y0 ,解：令y410 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就其图象是椭圆x 2y21的上半部分,设y2x= m,于是只需证4m213, 44339因 m 为直线 y=2xm 在 y 轴上的截距,由图可知：当直线y = 2 x m 过点2 ,0时, m 有最小值为 3m=4 3；x22x213当直线 y =2xm 与椭圆上半部分相切时,m 有最大值；由y22x2m4得： 13x 2 + 4mx + m2 4 = 09xy舍令 = 452 9m2=0 得：m213或m21333即 m 的最大值为213,故4m213,即44933333八、构造模型数学和其它学科一样,要学以致用,“ 建模” 思想就把数学这门高度抽象的基础学科与实际生活紧密地联系在一起,在实际中渗透数学思想,把数学中的理论作为工作,充分发挥其作用,因而很多问题可通过构造模型来处理【例 10】哥尼斯堡七桥问题18 世纪 ,东普鲁士首府,布勒尔河穿城而过,河中间有两个小岛,如图；当地的居民常到这漫步, “ 如何能不重复地一次走遍这七座桥而返回动身地呢？”B 很多人均未胜利,这便产生了数学史上闻名的“ 七桥问题”；1735 年 欧拉对该问题进行抽象,构造出图论中的“ 一笔画”模型才知该问题无解,这一模型的构造充分展现出欧拉超人的聪明；近年来,构造模型的方法越来越被重视,并成为高考中的一道特殊的风景线；九、构造情境有一些问题看似简洁,但真正处理起来非难就繁,如能合理、 奇妙地构造一些情境,不但易使问题“ 柳暗花明”,而且其新奇特殊的解题模式让人深刻感受到数学思想维的精妙；【例 11】如图 4 摆放的 24 张牌,全部反面朝上, 以任意一张牌为起点翻牌,一张挨一张翻,只能横着或竖着翻,不能斜着或跳着翻,问能否将每一张牌全部翻过来？11 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 由于每翻一张牌,翻下一张牌又有假设干不同的情形,于是情形尤为复杂,难以一一尝试, 我们可以用一特殊的方法来解决此题；构造如下情境： 假设各张牌如图5 染上白色或黑色, 使得黑白相间；这样,每张牌的下一张牌就是不同色的；而由翻牌的规章可知翻完所 有的牌时两色牌至多相差一张,但由图 5 知白色牌比黑色牌多 2 张,明显不行办得到；从以上各例不难看出,构造法是一种极富技巧性和制造性的解题方法,表达了数学中发 现、类比、化归的思想,也渗透着猜想、探究、特殊化等重要的数学方法；运用构造法解数 学题可从中观赏数学之美,感受解题乐趣,更重要的是可开拓思维空间,启发聪明,并对培 养多元化思维和创新精神大有裨益；构造法表达了数学发觉的思维特点,“ 构造” 不是“ 胡思乱想”,不是凭空“ 臆造”,而是要以所把握的学问为背景,以具备的才能为基础,以观看为先导,以分析为武器,通过仔 细地观看、分析、去发觉问题的各个环节以及其中的联系,从而为寻求解法制造条件；稳固性题组1、已知 x > 0 ,求证：x1*x1a25构造函数k11构造函数x12x2、假设0a1k2 ,kN,且ab ,就bk3、记fx 1x2,ab0,就 |f a f b |ab 构造图形4、求证：（1y 2xy3 2 2xy6 21构造向量65、正数a b 满意a3b32,求证：ab2巧用均值不等式12 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、求证：假如x2 x1yy211,那么xy0构造函数7、已知数列 a , an2a n1n1,a 11, 求a 构造数列8、求证：n11n12.111其中 nN+构造数列3 n9、求函数f x x24x132 x10 x26的值域构造图形10、 求函数ysinx3的最值构造图形cosx13 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 构造法稳固性题组答案1、解：构造函数 f x x 1 x 0 就 x 1 2, 设 2 <x x由 f f 1 1 1 1 1 2< > 0, 1 > 0, > 0 上式 > 0 f x 在 2 , 上单调递增,左边 f 2 522、解：令 f a a a 2,又 0 a 1 1,f a 在 ,0 1 上单调递增k 2 2b a a 2 f 1k 1k k 12 kk 2 1k k2 11 k 113、解：构造矩形 ABCD, F 在 CD上,使| AB| = a, | DF| = b, | AD| = 1, 就 | AC | | AF | | CF |注：此题也可用分析法4、解：不等式左边的特点,使我们简洁联想到空间向量模的坐标表示,将左边看成a =1 y , x+y3 , 2 x+y6模的平方,又a b|a|b|,为使 a b 为常数,依据待定系数3 22 xy6 2·6法又可构造b1,2, 1于是 |a| |b = 1y2xya b 1（ y 1 xy3 22xy6（1）=11所以 1y2xy322xy6 2·6即（1y2xy322xy62165、分析：条件式中次数是 又结论式是不等式,当且仅当3 次,而结论式中是 1 次,所以需要降幂；a b 1 时成立；于是考虑构造均值不等式；解：由均值不等式a3b3c33 abc 得：a33 13 13a 1Bb2同理b33 13 13b 2由 1+2变形整理得：a6、证明：构造函数f x lgxx21xR 1易证f x 在 R 上是奇函数且单调递增xx21y2 y11f x f y lgx2 x1+lgyy21=lgx2 x1yy21=lg1 = 0 f x f 即：f x fy又f x 是增函数xy 即xy07、分析：我们期望an2 an1n1,a 11化为a nAnb2a n1A n即a nAnB2a n12An2A2B14 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - a n2a n1An2ABA12A +B=1 B3解：由已知 a n n 3 2 a n 1 n 1 3 设 b n a n n 3就 b n 2 b n 1 即 b 是公比为 2 的等比数列且 b 1 a 1 1 3 1 1 3 5b n 5 2n 1就 a n 5 2 n 1n 3 n N *对于某些关于自然数的不等式问题,与数列有着亲密的联系,这时也可构造有关的数列模型,利用其单调性解决8、分析：构造数列模型 na 1 1 . 1 1,n 1 n 2 3 n 1就有 a n 1 a n 1 1 1 1 1 1 23 n 4 3 n 3 3 n 2 n 1 3 n 4 3 n 2 3 n 32 0,所以数列 a n 为递增数列3 n 23 n 33 n 4又因 a 1 1 1 1 1 1 0,故 a n 0 其中 n N+,即原不等式得证2 3 4 12评 注 欲 证 含 有 与 自 然 数 n 有 关 的 和 的 不 等 式 fn>gn , 可 以 构 造 数 列 模 型a n f n g n ,只需证明数列 a n 是单调递增,且 a 1 0另外,此题也可以用数学归纳法证明,但用构造数列模型证明简洁2 2 2 29、解：f x x 2 0 3 x 5 0 1其几何意义是平面内动点 P x ,0到两定点M 2,3和 N 5,-1的距离之和如图 1为求其值域只要求其最值即可,易知当 M ,N,P 三点共线即 P 在线段 MN 上时,2 2f x 取得最小值,f x min | MN | 2 5 3 1 5,无最大值,故得函数的值域为 5, 10、分析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点 Pcos ,sin x 与定点 Q3,0连线的斜率,为此构造一个单位圆；探究单位圆上动点P 与定点 Q3,0直线的斜率问题；如图 2,由于动点在单位圆上运动时处于极端状态,即为切点时直线斜率分别为最大最小,设切点分别为R、M ,2,2kPQ2易知：k OR2 2,k OM2 2,k QR2,kMQ4444即：ysinx3最小值为2,最大值为2. cosx4415 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页