2022年随机过程习题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 随机过程复习一、 回答：1、什么是宽平稳随机过程？2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3、窄带随机过程的相位听从什么分布？包络听从什么分布？4、什么是白噪声？性质？二、运算：1、随机过程 X t A cos t + Bsin t,其中 是常数, A、B 是相互独立统计的高斯变量, 并且 EA=EB=0 ,E A =E B = 2 ；求：X t 的数学期望和自相关函数？2、判定随机过程XtAcost是否平稳？其中是常数,A、 分别为匀称分布和瑞利分布的随机变量,且相互独立；af 10 2；f A a a2 e 22a 023、求随机相位正弦函数 X t A cos 0t 的功率谱密度, 其中 A、0是常数,为0,2 内匀称分布的随机变量；4、求用 X t 自相关函数及功率谱表示的 Y t X t cos 0t 的自相关函数及谱密度； 其中,为0,2 内匀称分布的随机变量,X t 是与相互独立的随机过程；5、设随机过程XtAcos0tY,t,其中0 是常数, A与 Y是相互独立的随机变量, Y 听从区间,02上的匀称分布, A听从瑞利分布,其概率密度为名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - fAxxex22x022试证明Xt0x0为宽平稳过程；解：（ 1）mX t E A cos 0 t Y E A E cos 0 t Y 0 x 22 e 2 x 22dx 0 2cos 0 t y dy 0 与 t 无关（2）2X t E X 2 t E A cos 0 t Y 2E A 2 E cos 2 0 t Y E A 2 3 x 2 tE A 2 0 x2 e 2 2dx2 12 0 t2 e 2 2dt,t t tte 22| 0 0 e 22dt 2 2e 22| 0 2 22 2所以 X t E X t （3）RX t 1 , t 2 E A cos 0 t 1 Y A cos 0 t 2 Y 2E A E cos 0 t 1 Y cos 0 t 2 Y 2 2 1 12 0 2 cos 0 t 1 0 t 2 y cos 0 t 2 t 1 2 dy2cos 0 t 2 t 1 只与时间间隔有关,所以 X t 为宽平稳过程；6、 设随机过程 X t R t C,t 0 , , C 为常数, R 听从 0 , 1 区间上的匀称分布；（1）求Xt的一维概率密度和一维分布函数；Xt的均值函数、相关函数和协方差函数；（2）求【理论基础】名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）Fxxftdt,就ft为密度函数；（2）Xt为a,b上的匀称分布,概率密度函数fxb1a 0,axb,其他分布函数Fx x,0 xa, aa,1 xab,Exa2b,Dxba 2；e,x,x00,分布函xb12b（3）参数为的指数分布,概率密度函数fx0x数Fx1ex,x0,Ex21,Dx1；,0x02（ 4 ）Ex,Dxx的 正 态 分 布 , 概 率 密 度 函 数1ex2,分布函数fx22,x2t2Fx ,如0 ,1时,其为标准正态分布；1xe22dt,2【解答】名师归纳总结 （1）因 R为0,1 上的匀称分布, C 为常数,故Xt亦为匀称分布；由第 3 页,共 7 页R的取值范畴可知,Xt为C,Ct上的匀称分布, 因此其一维概率密度fx1,C0 ,xCt,一维分布函数FxxtC0 ,xCtCt；,CXt其他,1xC（2）依据相关定义,均值函数mXtEXttC；2相关函数RXs ,tEXs Xt1stCstC2；32协方差函数BXs ,tE Xs mXsXtm Xtst（当st时为方差12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数）7设随机过程X t Xcos2 , t tt,X 是标准正态分布的随机变量；E Xt,方差D X试求数学期望,相关函数R Xt t2,协方差CXt t2；解 ：由于X t Xcos2 , t t,XN0,1,E X0,D XE X21,（1）所以E XtE Xcos2 cos2tE X0,（2）D XtD Xcos2 2 cos 2 tD X2 cos 2 ,（2）R Xt t2E X t X t2E Xcos2 tXcos2 2 cos 2 ,（2）CXt t2R xt t2E t E t R t t22 cos 2 .（2）名师归纳总结 8、有随机过程 t ,-< t <和t ,-< t <,设t = A sin均第 4 页,共 7 页t +,t= B sint+ ,其中 A,B, , 为实常数,匀分布于 0 ,2 ,试求 Rs,t 1. 解：f1 ,0 220,其它Rs tEst2AsinsBsint1 g2d01AB2costscosts2d401ABcosts,s t2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9、随机过程t = Acost +,-< t <+,其中 A, ,是相互统计独立的随机变量, EA=2, DA=4, 是在-5, 5 上匀称分布的随机变量,是在 -, 上匀称分布的随机变量；试分析 t 的平稳性和各态历经性；2、解：mttEtEAcostEEAEcostdtR,t215dcostdtAcos2050defm,tAcostEttEA2Ecostcostt85dcoscos2054cos2tR2d85dcos405sin5def85cosd2055所以具有平稳性；tT lim1TAcostdtT limAsinTcos0m2 TTT故均值具有各态历经性；ttlim T1 2 TTAcosttAcostdtdtTT limA2Tcoscost2 TTRtA2cos2故相关函数不具有各态历经性；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、分析求证1、已知随机过程 X t A cos t , 为0,2 内匀称分布的随机变量,A 可能是常数、时间函数或随机变量；A 满意什么条件时,X t 是各态历经过程？2、某商店顾客的到来听从强度为4 人每小时的 Poisson过程,已知商店 9：00 开门,试求：（1）在开门半小时中,无顾客到来的概率；（2）如已知开门半小时中无顾客到来,那么在将来半小时中,仍无顾客到来的概率；3、解：设顾客到来过程为Nt, t>=0 ,依题意Nt 是参数为的Poisson 过程；（1）在开门半小时中,无顾客到来的概率为：P N10e41e2N10,在将来半小22（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为2时仍无顾客到来可表示为N1N10,从而所求概率为：2PN1N10 |N1022PN1N10 |N1N0022PN1N10e411e2223、某商场为调查顾客到来的客源情形,考察了男女顾客来商场的人名师归纳总结 数；假设男女顾客来商场的人数分别独立地听从每分钟2 人与每分钟第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 人的泊松过程；（1） 试求到某时刻 t 时到达商场的总人数的分布；（2） 在已知 t时刻以有 50 人到达的条件下, 试求其中恰有 30 位妇 女的概率,平均有多少个女性顾客？解：设N t ,N1 ,N2 t 分别为（ 0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数；（1） 由已知,N1 t 为强度12 的泊松过程,N2 t 为强度23的泊松过程；名师归纳总结 故,N t 为强度125 的泊松过程；于是,第 7 页,共 7 页P N t k5 ke5tk0,1,2,L（5 分）k.（2）P N2 30N t 50P N2 30,N t 50P N t 50P N2 30P N1 203 30e3 t/ 30. 2 20e2t/ 20.P N t 505 50e5t/50.3 30e3 t/ 30. 2 20e2t/ 20.C303 5302 520（5 分）5 50e5t/50.50一般地,P N2tk|Nt50 k C 503k250k,k0 ,1, 2 , 5055故平均有女性顾客E N2t|Nt50 50330人5- - - - - - -
