2022年高中数学专题二次函数综合问题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数综合问题例谈1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形一般式、顶点式、零点式等，所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式yax2bxc(c1 )0)中有三个参数a ,b ,c. 解题的关键在于：通过三个独立条件“ 确定” 这三个参数2 且 2f ( ). 4，求 f (2 的取值例 1 已知 f x ( )ax2bx，满足 1f (范围 . 分析：此题中，所给条件并不足以确定参数 a, b 的值，但应该注意到：所要求的结论不是 f 2 确实定值， 而是与条件相对应的“ 取值范围”，因此， 我们可以把 1 f ( 1 ) 2 和2 f ( )1 4 当成两个独立条件，先用 f 1 和 f 1 来表示 a, b . 解：由 f 1 a b，f 1 a b 可解得：a 1 ( f 1( ) f ( 1 ), b 1 ( f 1( ) f ( 1 )*2 2将以上二式代入 f ( ) ax 2 bx，并整理得2 2f x f 1 x x f ( )1 x x, 2 2f 2 f 1 3 f 1 . 又2 f ( ) 4，1 f ( 1 ) 2 , 5 f 2 10 . 例 2 设 f x ax 2 bx c a 0 ，假设 f 0 1， f 1 1 ， f 1 1 , 试5证明：对于任意 1 x 1，有 f x . 4分析：同上题，可以用 f 0 , f 1 , f 1 来表示 a , b , c . 解：f 1 a b c , f 1 a b c , f 0 c , a 1 ( f 1 f 1 2 f 0 ), b 1 ( f 1( ) f ( 1 ), c f 0 , 2 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxf1x22xf1x22xf01x2. 足 0 当1x0时，fxf1x22xf1x22xf01x2x22xx22x1x2x22xx22x1(x2)x2x1(x1)255.244当0x1 时，fxf1x22xf1x22xf012 xx22xx22x1x2x22xx2x( 12 x)2x2x1(x1)255.244综上，问题获证. 1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式yaxx 1xx2.例设二次函数fxax2bxc a0 ，方程 f xx0 的两个根 x1,x2满x 1x21. 当 x0 ,x 1时，证明 xf xx1. a精选学习资料 - - - - - - - - - a(xx1)(xx2)0, 当 x0 ,x 1时，f(x)xx. xx1(xx 1)(ax2ax21 ), 又f(x)x 1a(xx 1)(x2)xx10,且axax211ax 220, b,对称轴、最值、判别式显合f(x)x 1综上可知，所给问题获证. b4 ac1.3紧扣二次函数的顶点式yax2 a4a力例 4 已知函数f(x)2za。yg(x)，求函数yg(x)的2x1将yf(x)的图象向右平移两个单位，得到函数解析式；2函数yh(x)与函数yg(x )的图象关于直线y1对称， 求函数yh(x)的解析式；3设F(x )1f(x)h (x )，已知F( x)的最小值是m且m27，求实数a的a取值范围。解： (1)gxfx22x2a2;的对称点为Qx,2y，2x(2) 设yhx的图像上一点Px ,y，点Px,y关于y1由点 Q在ygx的图像上，所以2x22a222y，x于是y2x2a,22x即hx22x22a2;x3F(x)1f(x)h(x )112x(4 ax1 )2. aa42设tx 2 ，则F(x)4at4a12 . 4 at3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 问题转化为：4 at 4 a 1 2 2 7 对 t 0 恒成立 . 即4 a t4 at 2 7 t 4 a 1 0 对 t 0 恒成立 . *4 a故 必 有 4 a 0 . 否 则 ， 假 设 4 a 0， 则 关 于 t 的 二 次 函 数4 a 4 au ( t ) 4 a t 27 t 4 a 1 开口向下， 当 t 充分大时， 必有 u t 0；而当 4 a 0 时，4 a 4 a显然不能保证* 成立 . ，此时，由于二次函数 u ( t ) 4 a t 2 7 t 4 a 1 的对称轴4 at470，所以，问题等价于t0，即4a404a10，取得. ，4 aaa748a4 a解之得：1a2. 2此时，44a,04a10，故F(x)4at4a12在t4 a(4aa)14a4at最小值m244a4a12满足条件 .a2. 数形结合二次函数f(x)ax2bxca0的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易形象直观 . 2.1 二次函数的图像关于直线 x b对称，特别关系 x 1 x 2 b 也反映了二次2 a a函数的一种对称性 . 例 5 设二次函数 f x ax 2 bx c a 0 ，方程 f x x 0 的两个根 x 1 , x 2 满足0 x 1 x 2 1. 且函数 f x 的图像关于直线 x x0 对称，证明：x 0 x 1. a 2解：由题意 f x x ax 2 ( b 1 ) x c . 1由方程 f x x 0 的两个根 x 1 , x 2 满足 0 x 1 x 2 , 可得a0 x 1 b 1 x 2 1 , 且 b 1 x 1 x 2 b 1 , 2 a a 2 a 2 ab 1 x 1 x 2 b 1 1 b 1，2 a 2 a a 2 a4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即bx 1，故x0x 1. 2a实数2.2 二次函数f(x)的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根0. 所以存在m,n使得mf(m )f(n)0在区间m,n上，必存在f(x)的唯一的实数n且根. 例 6 已知二次函数 f ( x ) ax 2bx 1 ( a , b R , a 0 )，设方程 f ( x ) x 的两个实数根为 x 和 x . 1如果 x 1 2 x 2 4，设函数 f (x ) 的对称轴为 x x 0，求证：0x 1；2如果 x 1 2，x 2 x 1 2，求 b 的取值范围 . 分析：条件 x 1 2 x 2 4 实际上给出了 f ( x ) x 的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化 . 解：设 g ( x ) f ( x ) x ax 2 ( b 1 ) x 1，则 g (x ) 0 的二根为 1x 和 x . g ( 2 ) 0 4 a 2 b 1 01由 a 0 及 x 1 2 x 2 4，可得，即，即g ( 4 ) 0 16 a 4 b 3 0b 33 3 0 ,2 a 4 a4 2 b 3 0 ,2 a 4 a两式相加得 b 1，所以，x 0 1 ; 2a2由 ( x 1 x 2 ) 2( b 1 ) 2 4, 可得 2 a 1 ( b )1 21 . a a又 x 1 x 2 1 0，所以 x 1, x 2 同号 . a0 x 1 2 x 2 x 2 2 x 1 01x 2，x 2 x 1 2 等价于 2 或2 , 2 a 1 ( b )1 1 2 a 1 ( b 1 ) 1g ( 2 ) 0 g ( 2 ) 0即 g ( 0 ) 0 或 g ( 0 ) 02 22 a 1 ( b )1 1 2 a 1 ( b )1 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解之得b1或b7. x )fax2bxca0在 区 间(,b和 区 间442.3 因 为 二 次 函 数f(2ab,)上分别单调，所以函数x在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点2a处取得；函数 f ( x ) 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得 . 例 7 已知二次函数 f x ( ) ax 2 bx c，当 1 x 1 时，有 1 f ( ) 1，求证：当 2 x 2 时，有 7 f ( ) 7 . 分析：研究 f (x ) 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数 a , b , c . 确定三个参数，只需三个独立条件，此题可以考虑 f ( 1 )，f ( 1 )，f ( 0 )，这样做的好处有两个：一是 a , b , c 的表达较为简洁，二是由于 1和 0 正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来到达控制二次函数范围的目的 . 要考虑 f x 在区间 7 , 7 上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑 f x在区间端点和顶点处的函数值 . 解：由题意知：f ( 1 ) a b c , f ( 0 ) c , f ( 1 ) a b c，a 1 ( f ( )1 f ( )1 2 f ( 0 ), b 1 ( f )1( f ( 1 ), c f ( 0 )，2 22 2f ( ) ax 2 bx c f ( )1 x x f ( )1 x x f ( 0 ) 1 x 2. 2 2由 1 x 1 时，有 1 f ( ) 1，可得 f 1( ) ,1 f 1 1 , f 0 1 . f ( 2 ) 3 f 1 f 1 3 f 0 3 f 1 f ( 1 ) 3 f ( 0 ) 7 , f ( 2 ) f 1 3 f 1 3 f 0 f 1 3 f ( )1 3 f ( 0 ) 7 . 1假设 b 2 , 2，则 f x 在 2 2, 上单调，故当 x 2 , 2 时，2af ( x ) max max( f ( 2 ,) f ( 2 ) )此时问题获证 . 2假设 b 2 , 2，则当 x 2 , 2 时，2abf ( x ) max max( f ( 2 ) , f ( 2 ) , f )2 a6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又fbcb2cbbf0bf( )14f(1 )1214127，2 a4 a2 a22 a7. 此时问题获证 . 72时，有f x ( )综上可知：当2x7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
