2022年高考数学一轮复习考点热身训练：第八章平面解析几何.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年高考一轮复习考点热身训练：第八章 平面解析几何（单元总结与测试）一、挑选题 本大题共 10 小题,每道题 5 分,共 50 分.在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的 1.直线 xsin -y+1=0的倾斜角的变化范畴是 A0,2 B0, 3C4 , 4 D0,44 , 2.已知 b>0,直线 b2+1x+ay+2=0与直线 x-b2y-1=0 相互垂直,就 ab 的最小值等于 （A）1 （B）2 （C）2 2（D）2 33.已知直线 l1 与圆 x2+y2+2y=0相切,且与直线 l2：3x+4y-6=0 平行,就直线 l1的方程是 A3x+4y-1=0 B3x+4y+1=0或 3x+4y-9=0 C3x+4y+9=0 D3x+4y-1=0或 3x+4y+9=0 413· 厦门模拟 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C的对称轴垂直 .l 与 C交于 A,B两点, |AB| 12,P 为 C的准线上一点,就ABP的面积为 A18 B24 C36 D48 2 2x y2 2513· 福州模拟 如双曲线 a b =1a>b>0的左、右焦点分别为 F1、F2,线段F1F2被抛物线 y2=2bx的焦点分成 75 的两段,就此双曲线的离心率为 9 6 37 3 2 3 10A 8 B 37 C 4 D 10126.已知双曲线 16y -m2x2=1m>0的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5 ,就m= A1 B2 C3 D4 7如 PQ是圆 x2+y2=16的弦,PQ的中点是 M（1,3）,就直线 PQ的方程是 （A）x+3y-4=0 （B）x+3y-10=0 （C）3x-y+4=0 （D）3x-y=0 8.已知圆 C 与直线 x-y=0及 x-y-4=0都相切 ,圆心在直线 x+y=0 上,就圆 C 的方程为 （B）x-12+y+12=2 （A）x+12+y-12=2 （C）x-12+y-12=2 （D）x+12+y+12=2 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2y22 29.已知抛物线 y2=2pxp>1的焦点 F恰为双曲线 a-b =1a>0,b>0的右焦点,且两曲线的交点连线过点 F,就双曲线的离心率为 （A）2（B）2 1（C）2 （D）2 22 2 2x y a2 210.（易错题）设 F1,F2分别是椭圆 a + b =1ab0的左、右焦点 ,如直线 x= c2 2c= a b 上存在点 P 使线段 PF1的中垂线过点 F2,就椭圆离心率的取值范畴是 2 3 2 3（A）0, 2 （B）3 ,1 （C）2 ,1 （D）0, 3 二、填空题 本大题共 5 小题,每道题 4 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上 11（13· 广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的 _. 2 倍,就椭圆的离心率等于12如 kR,直线 y=kx+1与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,就实数 范畴是 _a 的取值13已知直线 l1：a-2x+3y+a=0与 l2：ax+a-2y-1=0相互垂直,就 a=_. 14抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0的距离的最小值等于 _. 15.13· 南平模拟 如点 P 在直线 l1:x+y+3=0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C：x-52+y2=16只有一个公共点 M,就 |PM| 的最小值为 _. 三、解答题 本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤 16（13 分）设直线 l 的方程为（ a+1）x+y-2-a=0（aR）. 1如直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程；（2）如 a>-1,直线 l 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点, O 为坐标原点,求OMN 面积取最小值时,直线 l 对应的方程 . 17（13 分）已知动点 C到点 A（-1,0）的距离是它到点 B（1,0）的距离的 2倍. （1）试求点 C的轨迹方程；（2）已知直线 l 经过点 P（0,1）且与点 C的轨迹相切,试求直线 l 的方程 . 2 2 x y 2 2 1813 分探究题 已知椭圆 a + b =1a>b>0,过点 A（a,0）,B0,b的直线倾斜角5 3为 6 ,原点到该直线的距离为 2 . （1）求椭圆的方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）是否存在实数 k,使直线 y=kx+2交椭圆于 P、Q 两点,以 PQ为直径的圆过 点 D（1,0）？如存在,求出 k 的值；如不存在,请说明理由 . 1913 分13· 三明模拟 在平面直角坐标系xOy中,已知点 A0,-1,点 B 在直线y=-3 上, M 点满意MBOA,MB BAMA AB,M 点的轨迹为曲线 C. 1求 C的方程；2如 P 为 C上的动点, l 为 C在 P 处的切线,求 O 到 l 距离的最小值 . 20.（14 分）（猜测题）已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线 x2= 4 2 y 的焦点是它的一个焦点,又点 A1, 2）在该椭圆上 . （1）求椭圆 E 的方程 ; （2）如斜率为 2 的直线 l 与椭圆 E交于不同的两点 B、C,当 ABC的面积最大时,求直线 l 的方程 . 21.（14 分）（13· 南平模拟）已知直线l1:y=2x+mm<0与抛物线C1:y=ax2a>0和圆 C2:x2+y+12=5都相切, F 是 C1的焦点 . （1）求 m 与 a 的值；（2）设 A 是 C1上的一动点,以 A 为切点作抛物线 C1 的切线 l,直线 l 交 y 轴于点 B,以 FA、FB为邻边作平行四边形FAMB,证明：点 M 在一条定直线上；（3）在（ 2）的条件下,记点 M 所在定直线为 l2,直线 l2 与 y 轴交点为 N,连接 MF 交抛物线 C1于 P、Q 两点,求 NPQ的面积 S的取值范畴 . 答案解析1.【解析】选 D.直线 xsin -y+1=0的斜率是 k=sin . 又 -1sin 1,-1k1. 当 0k1 时,倾斜角的范畴是 0,4; 3当-1k<0 时,倾斜角的范畴是4 , . 2 2 2 2b 1 1 b 1 b 1 b 12 2 22.【解析】选 B.由题意知 a·b =-1,解得 a= b .所以 ab= b· b= b1 1 1b b= b ;又由于 b>0,故 b 2,当且仅当 b= b ,即 b=1 时取等号 . 3.【解析】选 D.由于 l1 与 l2 平行,所以可设直线 l1 的方程为： 3x+4y+c=0,又因为 l1 与 圆 x2+y2+2y=0 相 切 , 且 圆 心 坐 标 为 （ 0 , -1）, 半 径 为 1,所 以|3 0 4 1 c |2 23 4 =1,解得 c=9 或 c=-1,因此 l1 的方程为 3x+4y+9=0或 3x+4y-1=0. 4【解析】选 C.设抛物线方程为 y2=2pxp>0,就|AB|=12=2p, p=6. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 P 到直线 l 的距离 d=p, 1S ABP= 2 .2p.p=p2=36. b5【解析】选 C.设双曲线焦点坐标为F1-c,0,F2c,0,y2=2bx的焦点 F2 ,0, cb7c3b2 bc5y2x22就c22 a2 b ,解得a2 2b , c3b3 2e=a2 2b4. 6【解析】选 C.双曲线的方程可化为1111116 -m2=1,所以 a=4 ,b=m ,取顶点（0,4 ）,一条渐近线为 mx-4y=0. 1| 4 |1 425 = m 16 ,即 m2+16=25,m=3. 3 07【解析】选 B.圆心为 O（0,0）,故直线 OM 斜率 k= 1 0 =3,由于弦 PQ所在1 1直线与直线 OM 垂直,所以 kPQ= 3 ,其方程为 y-3= 3 x-1,整理,得 x+3y-10=0. 8【解题指南】由于圆与两平行线都相切 ,故两平行线间距离即为直径 ,只要再求得圆心坐标即可得解 . 【解析】选 B.由于两条直线 x-y=0 与 x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直4径,所以 2R= 2 ,所以 R= 2 .设圆心坐标为 Pa,-a,就点 P 到两条切线的距离都等2 a 2a 4于半径 ,所以 2 = 2 , 2 = 2 ,解得 a=1,故圆心为 1,-1,所以圆的标准方程为x-12+y+12=2. p名师归纳总结 9【解析】选 B.由题意知,2 =c,即 p=2c 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y22px由x2y21 得 b2x2-4ca2x-a2b2=0 * a 2b 2由题意知 x=c是方程 * 的一个根,就有b2c2-4a2c2-a2b2=0 即 c4-6a2c2+a4=0 e4-6e2+1=0 又 e>1 e2=3+2 2 ,e= 2 +1. 2a10.【解题指南】依据 |F1F2|=|PF2| 转化为点 F2 到直线 x= c 的距离小于或等于|F1F2| 来查找 a,b,c 之间的关系 ,从而求解 . 【解析】选 B.依据题目条件可知 : 2a2 2如直线 x= c c= a b 上存在点 P使线段 PF1的中垂线过点 F2,就|F1F2|=|PF2|,2 2 2a a c2可转化为点 F2 到直线 x= c 的距离小于或等于 |F1F2| ,亦即 c -c2c,解得 a 1 33 ,所以 e3 ,1）. 11【解析】设 2a、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长,依题设有 4b=2a,即 a=2b,c 32 2所以 c= a b = 3 b,所以离心率为 e= a = 2 . 3答案：212【解析】由于直线 y=kx+1 恒过定点（ 0,1）,题设条件等价于点（ 0,1）在圆内或圆上,就 02+12-2a· 0+a2-2a-40 且 2a+4>0,解得-1a3. 答案： -1a3 13【解析】由于 l1：a-2x+3y+a=0与 l2:ax+a-2y-1=0相互垂直所以, aa-2+3a-2=0,解得 a=2或 a=-3. 答案： 2 或-3 14【解析】由抛物线的方程,可设抛物线上的点的坐标为 的距离公式,得x,-x2,依据点到直线名师归纳总结 d=4x32 x 8=3x22424第 5 页,共 11 页422 3533 ,所以当 x=3 时, d 取得最小值3 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4答案：315.【解析】设曲线 C表示的圆心为 C5,0, 由题意可知PMC是直角三角形, |CM|=4, 当且仅当斜边 |CP| 最短时,|PM| 最小. 5 0 34 2当 CPl1 时,|CP|min 2 , 2 2此时 |PM| 最小且 |PM| CP CM 32 16 =4. 答案： 4 16【解析】（1）当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为 0,此时 a+2=0,解得 a=-2,此时直线 l 的方程为 -x+y=0,即 x-y=0；当直线 l 不经过坐标原点,即 2 aa -2 且 a -1 时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得a1 =2+a,解得 a=0,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 所以直线 l 的方程为 x-y=0或 x+y-2=0. （2）由直线方程可得M2aa1 ,0,N0,2+a, 又由于 a>-1. 故 S OMN=112a2a=1 a1 1122a12a=1a1a12212a1112=2, 2a1当且仅当 a+1=a1 ,即 a=0 时等号成立 .此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 17【解题指南】（1）利用直接法列出方程,化简即可 类争论,依据切线的性质求斜率,进而求出方程 . .（2）对斜率是否存在分【解析】（1）设点 C（x,y）,就 |CA|=（x12）y2,|CB|=x122 y . 由题意,得（x12）y2=2x122 y . 两边平方,得 x+12+y2=2× x-12+y2. 整理,得（ x-3）2+y2=8. 故点 C的轨迹是一个圆,其方程为（x-3）2+y2=8. （2）由（ 1）,得圆心为 M （3,0）,半径 r=2 2 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如直线 l 的斜率不存在,就方程为x=0,圆心到直线的距离d=32 2 ,故该直线与圆不相切；如直线 l 的斜率存在,设为 k,就直线 l 的方程为 y=kx+1. 由直线和圆相切, 得 d=3k1=2 2 ,整理,得 k2+6k-7=0,解得 k=1,或 k=-7.故所1 k2求直线的方程为 y=x+1,或 y=-7x+1,即 x-y+1=0或 7x+y-1=0. b31132 a2 b ,得 a= 3 ,b=1,所以椭圆方3 ·18【解析】（1）由a =3 ,2 a· b=2 ·x2程是3 +y2=1. x2（2）将 y=kx+2代入3 +y2=1, 得3k2+1x2+12kx+9=0* 记Px1,y1,Qx2,y2,以 PQ 为 直 径 的 圆 过D（ 1, 0 ）, 就PD QD, 即x1-1,y1· x2-1,y2=x1-1x2-1+y1y2=0,又 y1=kx1+2,y2=kx2+2,得（k2+1）x1x2+2k-1x1+x2+5=0 又 x1x2=3k91,x1+x2=12k1 ,代入解得k=723k26 ,此时（ * ）方程 >0,存7在 k= 6 ,满意题设条件 . 19【解析】 1设 Mx,y,Bx,-3, MB =0,-3-y,BA =-x,2, MA =-x,-1-y,AB =x,-2, MB BA MA AB ,x2-4y-8=0, 1曲线 C的方程为： y= 4 x2-2. 1 12设 Px0,y0,y= 2 x,k= 2 x0. 1名师归纳总结 又 Px0,y0在曲线 C上, y0=4 x02-2, 第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1l 切： y-y0= 2 x0x-x0, 即:x0x-2y+2y0-x02=0, 2y0x2|x024x02|402d=x024 xx0241 x 2024214402x02=x24012 × 2×4 =2, 4x44 ,即 x0=0 时等号成立,当且仅当：x0220此时 O 到 l 距离的最小值为 2. 20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为 （0,2 ,故设椭圆方程为y2ax22=12 a +2（a>2）. 将点 A1, 2 代入方程得2a212 =1,2 a +整理得 a4-5a2+4=0,得 a2=4或 a2=1（舍） , 故所求椭圆方程为y2x24 +2 =1. （2）设直线 BC的方程为 y= 2 x+m,设 Bx1,y1,Cx2,y2, 代入椭圆方程并化简得 4x2+2 2 mx+m2-4=0, 由 =8m2-16m2-4=88-m2>0, 名师归纳总结 可得 0m2<8. m* , 2. 第 8 页,共 11 页由 x1+x2=2 m 2,x1x2=2443162m故|BC|=3 |x1-x2|=2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - m又点 A 到 BC的距离为 d=3 , l 的方程为12 m 162 2m 故 S ABC= 2 |BC| · d=412m2162 2m 4 2 ·2=2 , 当且仅当2m2=16-2m2,即 m=± 2 时取等号（满意 * 式）,此时直线y=2x2 . 【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以显现在挑选题、填空题中 ,也可以显现在解答题中 ,依据待求量的特点 ,常用以下两种思想方法 : 1数形结合思想 :当待求量有几何意义时 ,一般利用其几何性质 ,数形结合求解 . 2函数思想 :当待求量与其他变量有关时 ,一般引入该变量构造函数 ,然后求最值 ,但要留意待求量的取值范畴 . 2 2x y 62 2【变式备选】已知椭圆 a + b =1a>b>0的离心率为 3 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 ,直线 l：y=kx+m交椭圆于不同的两点 A,B,（1）求椭圆的方程,3（2）如坐标原点 O 到直线 l 的距离为2 ,求 AOB面积的最大值 . c 6a 3【解析】（1）设椭圆的半焦距为c,依题意a3 ,解得 c= 2 . 由 a2=b2+c2,得 b=1. 所求椭圆方程为2x233 +y2=1. m32由已知得1k=2 ,可得 m2=4 k2+1. 将 y=kx+m代入椭圆方程,整理得 1+3k2x2+6kmx+3m2-3=0. =6km2-41+3k23m2-3>0 * 名师归纳总结 x1+x2= 16km3m23. 第 9 页,共 11 页2 3k ,x1· x2=13k2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |AB|2= （1+k2）x2-x12 2 36k m212m21=12k213k212 m =3k219k213k22 13k213k22 13k212=1+k2=3+9k412k221=39k212632126=4k 0 136kk213当且仅当 9k2=2 k ,即 k=3 时等号成立 . 3 经检验, k= 3 满意（ *）式 . 当 k=0 时, |AB|= 3 . 综上可知 |AB|max=2. 12335 .由题5 ,解得当 |AB| 最大时, AOB的面积取最大值 Smax= 22 =2 . 21.【解析】（1）由已知,圆 C2:x2+y+12=5的圆心为 C20,-1,半径 r=1m1m设圆心到直线l1:y=2x+m 的距 离 d=2212,即2212=m=-6m=4 舍去 . 设 l1 与抛物线的切点为A0x0,y0,又 y=2ax,得 2ax0=2. x0=11a ,y0=a . 121代入直线方程得：a =a -6,a=6 ,1名师归纳总结 所以 m=-6,a=6 . 1x1xx11x12.第 10 页,共 11 页13（2）由（ 1）知抛物线 C1方程为 y=6 x2,焦点 F（0,2 ）. 设 A（x1,1 x 62 1）,由（ 1）知以 A 为切点的切线 l 的方程为 y=36令 x=0,得切线 l 交 y 轴的 B 点坐标为（ 0,1 x 62）1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以FA=（x1, 1 x 62-31 x 623112 ）, FB =0, 2 , 四边形 FAMB是以 FA、FB为邻边的平行四边形,FM =FA +FB=（x1,-3）,3由于 F 是定点,所以点 M 在定直线 y=2 上. -kx-3（3）设直线 MF：y=kx+31 x 62得1 x 622 ,代入 y=2 =0,设 P、Q 两点横坐标分别为 x1,x2, 得 x1+x2=6k,x1·x2=-9,1S NPQ=2 |NF|x 1-x2| 21x1x 24x x=2 × 3×=9 1k2, k 0,S PQN>9,即 NPQ的面积 S范畴是（ 9,+） . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页