2022年高考数学专题应用问题的题型与方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第 3 讲 应用问题的题型与方法数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道挑选填空题. 解答这类问题的要害是能阅读、懂得陈述的材料,深刻懂得题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,能结合应用所学数学学问、思想方法解决问 题,包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确的 加以表述 . 考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的才能上 . 实际问题转化为数学问 题,关键是提高阅读才能即数学审题才能,审出函数、方程、不等式、等式,要求我们读懂材料,辨析文字表达所反应的实际背景,领会从背景中概括出来的数学实质,抽象其中的数量关系,将文字语言表达转译成数学式符号语言,建立对应的数学模型解答. 可以说,解答一个应用题重点要过三关：一是事理关,即读懂题意,需要肯定的阅读懂得才能；二是文理关,即把文字语言转化 为数学的符号语言；三是数理关,即构建相应的数学模型,构建之后仍需要扎实的基础学问和较强的数理才能 . 由于数学问题的广泛性,实际问题的复杂性,干扰因素的多元性,更由于实际问题的专一性,这些都给同学能读懂题目供应的条件和要求,在生疏的情形中找出本质的内容,转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题 . 一、学问整合1“ 考试大纲” 对于“ 解决实际问题的才能” 的界定是：能阅读、懂得对问题进行陈述的材 料；能综合应用所学数学学问、思想和方法解决问题,包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述. 并且指出：对数学应用问题,要把握好提出问题所涉及的数学学问和方法的深度和广度,切合中学数学教学实际. 2应用问题的“ 考试要求” 是考查考生的应用意识和运用数学学问与方法来分析问题解决问 题的才能,这个要求分解为三个要点：（1）、要求考生关怀国家大事,明白信息社会,讲究联系实际,重视数学在生产、生活及科学中的应用,明确“ 数学有用,要用数学”,并积存处理实际问题的体会. （2）、考查懂得语言的才能,要求考生能够从一般语言中捕获信息,将一般语言转化为数学语言,以数学语言为工具进行数学思维与沟通. 所规定的数学学问和方法来求解. （3）、考查建立数学模型的初步才能,并能运用 “ 考试大纲”3求解应用题的一般步骤是（四步法）：（1）、读题：读懂和深刻懂得,译为数学语言,找出主要关系；（2）、建模：把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题；（3）、求解：化归为常规问题,挑选合适的数学方法求解；（4）、评判：对结果进行验证或评估,对错误加以调剂,最终将结果应用于现实,作出说明或 验证 . 4在近几年高考中,常常涉及的数学模型,有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式 模型、三角模型、排列组合模型等等 . 函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最优化问 题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数 学问和方法去解决 . 依据题意,娴熟地建立函数模型；名师归纳总结 运用函数性质、不等式等学问处理所得的函数模型. 第 1 页,共 10 页几何模型诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及肯定图形属性的应用问题,常常需- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载要应用几何图形的性质,或用方程、不等式或用三角函数学问来求解 . 数列模型 在经济活动中,诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决 . 在解应用题时,是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合肯定的规律,可先从特殊的情形入手,再查找一般的规律 . 二、例题分析例 1（1996 年全国高考题） 某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现有增加 22,人均粮食产量比现在提高 10,假如人口年增长率为 1,那么耕地每年至多只能削减多少公顷（精确到 1 公顷）？总产量 总产量（粮食单产；人均粮食产量）耕地面积 总人口数分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,给出两组数据,要求考生从两条线索抽象数列模型,然后进行比较与决策 . 解： 1. 读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率,其中粮食单产× 耕地面积人均粮食占有量 P总人口数,主要关系是： P 实际 P规划 . 2. 建模： 设耕地面积平均每年至多削减 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨公顷, 现在人口数为 m,就现在占有量为 a× 10 4,10 年后粮食单产为 a1 0.22 ,人口数为 m10.01 10 ,耕地面积为m（10 4 10x）. 4 4a 1 022 1010 10 x a× 10（1 0.1 ）m 1 0 01 m即 1.22 （10 4 10x） 1.1 × 10 4 × （ 1 0.01 ）103. 求解： x 10 3 11× 10 3 × （ 10.01 ）10122（10.01 ）10 1C10 1 × 0.01 C10 2 × 0.01 2C10 3 × 0.01 3 1.1046 x 10 3 995.9 4（公顷）4. 评判：答案 x 4 公顷符合掌握耕地削减的国情,又验算无误,故可作答 . （答略）另解： 1. 读题：粮食总产量单产× 耕地面积；而主要关系是：粮食总产量粮食总占有量粮食总占有量人均占有量× 总人口数；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 建模： 设耕地面积平均每年至多削减 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨公顷, 现在人口数为 m,就现在占有量为 a× 10 4,10 年后粮食单产为 a1 0.22 ,人口数为 m10.01 10 ,耕地面积为m（10 4 10x）. a1 0.22 × 1O 4 10x a× 10 4× 1 0.1 × m10.01 10m3. 求解： x 10 3 11× 10 3 × （ 10.01 ）10122（10.01 ）10 1C10 1 × 0.01 C10 2 × 0.01 2C10 3 × 0.01 3 1.1046 x 10 3 995.9 4（公顷）4. 评判：答案 x 4 公顷符合掌握耕地削减的国情,又验算无误,故可作答 . （答略）说明：此题主要是抓住各量之间的关系,留意3 个百分率 . 其中耕地面积为等差数列,总人口数为等比数列模型,问题用不等式模型求解 . 此题两种解法,虽都是建立不等式模型,但建立时所用的意义不同,这要求敏捷把握,仍要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似运算等学问娴熟 . 此种解法可以解决有关统筹支配、正确决策、最优化等问题 . 此种题型属于不等式模型,也可以把它作为数列模型,相比之下,主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式 . 在解答应用问题时,我们强调“ 评判” 这一步不行少！它是解题者的自我调剂,比如此题求名师归纳总结 - - - - - - -解过程中如令1.0110 1,算得结果为x98 公顷,自然会问：耕地削减这么多,符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控,检查发觉是错在1.0110 的近似运算上 . 例 2（1991 年上海高考题）已知某市1990 年底人口为100 万,人均住房面积为5m 2 ,假如该市每年人口平均增长率为2,每年 A 平均新建住房面积为10 万 m 2 ,试求到 2000 年底该市人均住房面 M C D B 积（精确到0.01 ）？分析：城市每年人口数成等比数列,每年住房总面积成等比数列,分别写出2000 年后的人口数、住房总面积,从而运算人均住房面积. 解： 1. 读题：主要关系：人均住房面积总住房面积 总人口数2. 建模： 2000 年底人均住房面积为1001045101041010100104 123. 求解：化简上式610,102第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 1.02 10 1 C10 1 × 0.02 C10 2 × 0.02 2 C10 3 × 0.02 3 1.219 6 人均住房面积为 104.92 1024. 评判：答案 4.92 符合城市实际情形,验算正确,所以到 2000 年底该市人均住房面积为4.92m 2. 说明：一般地,涉及到利率、产量、降价、繁衍等与增长率有关的实际问题,可通过观看、分析、归纳出数据成等差数列仍是等比数列,然后用两个基础数列的学问进行解答 . 此种题型属于应用问题中的数列模型 . 例 3如图,一载着重危病人的火车从 O地动身,沿射线 OA行驶,其中tg 1 , 在距离 O地 5a（a 为正数）公里北偏东 角的 N处住有一位医学专家,其中3sin = 3 现有 110 指挥部紧急征调离 O 地正东 p 公里的 B 处的抢救车赶往 N处载上医学专家全5速追逐乘有重危病人的火车,并在 C处相遇,经测算当两车行驶的路线与 OB围成的三角形 OBC面积 S 最小时,抢救最准时 . （ 1）求 S 关于 p 的函数关系；（ 2）当 p 为何值时,抢救最准时. 2a t25 a210a40a2,当且仅解：（1）以 O为原点,正北方向为y 轴建立直角坐标系,就l OA:y3 x设 N（x0,y0）,x 05 sin3ay 05 cos4aN3 ,4 又 B（p, 0）,直线 BC的方程为：y4 apxp3 a由y3 xpxp 得 C的纵坐标y4 a3 ayc12apap5a,S1|OB|y c|36ap2,p5a3p532p5 a3（ 2）由（ 1）得S36ap2a2ap2,令tp5at0 S9t33p5p5 3a3当t25a2,即t5 a,此时p10a时,上式取等号,当p10a公里时,抢救最准时. 9 t333例 4（1997 年全国高考题）甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c 千米时,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v （千米时）的平方成正比,比例系数为 b；固定部分为 a 元. 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米时）的函数,并指出函数的定义域； 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联,抽象出其中的函数关系,并求函数的最小值 . 解：（读题）由主要关系：运输总成本每小时运输成本× 时间,（建模）有ya bv2 S vac 时,行驶（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数关系式是：ySa vbv ,其中函数的定义域是v0 ,c . 整理函数有ySa vbv Sv a ,bv由函数 yxk x k>0的单调性而得：当a<c 时,就 va时, y 取最小值；bb当ac 时,就 v c 时, y 取最小值 . b综上所述,为使全程成本y 最小,当a<c 时,行驶速度应为va；当bbb速度应为vc. 说明： 1. 对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值,其中要特殊留意蕴涵的制约关系,如此题中速度 v 的范畴,一旦忽视,将显现解答不完整 . 此种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式模型 . 2. 二次函数、指数函数以及函数 y ax b（a0, b0）的性质要娴熟把握 . x3. 要能娴熟地处理分段函数问题 . 例 5（20XX年一般高等学校招生全国统一考试 理工农医类 20 ）在某海边城市邻近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南2 arccos 方向 300km的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45° 方向移动 . 台风侵10袭的范畴为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大 . 问几小时后该城市开头受到台风的侵袭？名师归纳总结 解：如图建立坐标系以O为原点,正东方向为x 轴正向 . 第 5 页,共 10 页在时刻：（1）台风中心P（x,y）的坐标为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x3002202t,学习必备欢迎下载1027 2 2y 300 20 t .10 2此时台风侵袭的区域是 x x 2 y y r t 2 ,其中 r t 10 t 60 , 如在 t 时刻城市 O受到台风的侵袭,就有名师归纳总结 - - - - - - -0x20y 210t602.即 3002202t230072202t2102102 10t602,即t236 t2880,解得12t24答： 12 小时后该城市开头受到台风的侵袭. 例 6已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B 含量及成本如下表,如用甲、乙、丙三种食物各x千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物, 并使混合食物内至少含有56000 单位维生素A和 63000单位维生素B. 甲乙丙维生素 A（单位 / 千克）600 700 400 维生素 B（单位 / 千克）800 400 500 成本（元 / 千克）11 9 4 （1）用 x,y 表示混合食物成本c 元；（2）确定 x,y, z 的值,使成本最低. 解: （1）依题意得c11 x9y4z ,又xyz100c4007x5y. （2）由600 800x x700 400y y400 500z z63000 56000 ,及z100xy, 得4 3x x6 yy320 130,7x5y450.c4007x5y400450850,当且仅当4 x3 x6 yy320 130,即x y50 20时等号成立 . ,当 x=50 千克, y=20 千克, z=30 千克时,混合物成本最低为850 元 . 说明：线性规划是高中数学的新增内容,涉及此类问题的求解仍可利用图解法. 例 7（20XX年一般高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类19）有三个新兴城镇,分别位于A,B,C 三点处,且AB=AC=13km,BC=10km.今方案合建一个中心医院,为同时便利三镇,预备建在BC的垂直平分线上的P点处,（建立坐标系如图）（）如期望点P 到三镇距离的平方和为最小,第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点 P 应位于何处？（）如期望点 P 到三镇的最远距离为最小,点 P 应位于何处？分析：本小题主要考查函数,不等式等基本学问,考查运用数学学问分析问题和解决问题的才能 . P的坐标为（ 0, y ）,就 P 至三（）解：设 镇距离的平方和为fy225y2 12y23y42146.,y*上所以,当y4时,函数f y取得最小值 . 答: 点 P 的坐标是04, .（）解法一：P 至三镇的最远距离为gx|25y2,当25yy2|12yy|,12y|, 当25212.|由25y2|12y|解得y119,记y*119,于是2424gx|25yy2,当yyy*,由于25y2在*y,上是增函数, 而|12y|在-12|,当y*.是减函数 . 所以yy*时,函数g y 取得最小值 . 答: 点 P 的坐标是0 ,119;24解法二： P 至三镇的最远距离为gx|25y2,当25yy2|12yy|,12y|,当25212.|b.由25y2|12y|解得y119,记y*119,于是2424gx |25y2,当yyy*,12y|,当y*.函数xg y的图象如图a ,因此,当y*y时,函数g y取得最小值 . 答: 点 P 的坐标是0,119;24解法三：由于在ABC中, AB=AC=13,且,AC2OC2125OC,ACB4,如图所以 ABC的外心 M在线段 AO上,其坐标为0 ,119,24且 AM=BM=CM. 当 P在射线 MA上,记 P 为 P1；当 P 在射线MA的反向延长线上,记P为 P2,这时 P到 A、B、C三点的最远距离为 P1C和 P2A,且 P1CMC, P2AMA,所以点 P 与外心 M 名师归纳总结 重合时, P到三镇的最远距离最小. 第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载20）答 : 点 P的坐标是0 ,119;24例 7（20XX年一般高等学校招生全国统一考试（天津卷理工农医类A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1,A2,A3,B 队队员是 B1,B2,B3,按以往多次竞赛的统计,对阵队员之间胜败概率如下：对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率 、A1对 B1 2133A2对 B2 2355A3对 B3 2355现按表中对阵方式出场,每场胜队得1 分,负队得 0 分,设 A队、B队最终所得总分分别为（ 1）求 、 的概率分布；（ 2）求 E , E . 分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率学问解决实际问题的才能 . 解：（1） 、 的可能取值分别为 3,2, 1,0. P 3 2 2 2 83 5 5 752 2 3 1 2 2 2 3 2 28P 2 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75P 1 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2,3 5 5 3 5 5 3 5 5 51 3 3 3P 0 3 5 5 25依据题意知 + =3,所以 P =0=P =3= 8 , P =1=P =2= 2875 75P =2=P =1= 2 , P =3=P =0= 3 . 5 25（ 2）E 3 82 281 20 3 22； 由于 + =3,所以 E 3 E 23.75 75 5 25 15 15例 8（ 20XX年湖北卷）某突发大事,在不实行任何预防措施的情形下发生的概率为 0.3,一旦发生,将造成 400 万元的缺失 . 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采纳 . 单独采纳甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元,采纳相应预防措施后此突发大事不发生的概率为0.9 和 0.85. 如预防方案答应甲、乙两种预防措施单独采纳、联合采纳或不采纳,请确定预防方案使总费用最少 .（总费用=实行预防措施的费用+发生突发大事缺失的期望值.）解：不实行预防措施时,总费用即缺失期望为 如单独实行措施甲,就预防措施费用为400× 0.3=120（万元）；45 万元,发生突发大事的概率为名师归纳总结 10.9=0.1,缺失期望值为400× 0.1=40（万元）,所以总费用为45+40=85（万元）10.85=0.15,如单独实行预防措施乙,就预防措施费用为30 万元, 发生突发大事的概率为第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载缺失期望值为 400× 0.15=60 （万元）,所以总费用为 30+60=90 （万元）；如联合实行甲、乙两种预防措施,就预防措施费用为 45+30=75（万元）,发生突发大事的概率为（ 10.9）（10.85）=0.015,缺失期望值为 400× 0.015=6（万元）,所以总费用为 75+6=81（万元） . 综合、,比较其总费用可知,应挑选联合实行甲、乙两种预防措施,可使总费用最少 .名师归纳总结 - - - - - - -例 9某城市 20XX年末汽车保有量为30 万辆,估计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同. 为爱护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆. 解：设 20XX年末汽车保有量为b 万辆,以后各年末汽车保有量依次为b 万辆,b 万辆, ,每年新增汽车x 万辆,就1b30,bn10.94b nx所以,当n2时,bn0 .94bn1x,两式相减得：bn1b n0.94b nbn1（ 1）明显,如b2b 10,就bn1bnbnbn10,即bn1b30,此时x3030.0941 8. .（2）如b 2b 10,就数列bn1b n为以b2b 1x0 .06b 1x18.为首项,以.094为公比的等比数列,所以,bn1b n0. 94nx1.8. （i ）如b 2b 10,就对于任意正整数n ,均有bn1bn0,所以,bn1b nb 130,此时,x30300 . 94.1 .8（ ii ）当x18.万时,b 2b 10,就对于任意正整数n ,均有b n1bn0,所以,b n1bnb 130,由bn1bn0. 94nx1.8,得bnbnb n1b n1b n2b2b 1b 1b2b 110. 94n13010 .94x1.810. 94n130,0. 06要使对于任意正整数n ,均有bn60恒成立,即x1.810. 94n130600. 06第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -学习必备欢迎下载对于任意正整数n 恒成立,解这个关于x 的一元一次不等式, 得x118.n1 .8,0 .94上 式 恒 成 立 的 条 件 为 ：x11 .8n18.在n, 由 于 关 于 n 的 函 数.094N 上 的 最 小 值fn11.8n1 .8单调递减,所以,x.3 6. 0.94说明：此题是20XX年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题,其分别变量后又转化为函数的最值问题. 例 10（ 20XX 年重庆卷）某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格 p（元 /吨）之间的关系式为：p2420012 x ,且生产 x 吨的成本为R50000200 x（元）.5问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入 成本）解：每月生产x 吨时的利润为fx242001x2x50000200x51x324000x50000x0 5由fx3x2240000 解得x 1200,x2200舍去.5因fx在0 , 内只有一个点x200使fx 0, 故 它 就 是 最 大 值 点 , 且 最 大 值 为 ：f2001200324000200500003150000元5答：每月生产200 吨产品时利润达到最大,最大利润为315 万元 . 第 10 页,共 10 页