2022年高中三角函数习题ABC.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载三角函数题解阿1.（2003 上海春, 15）把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线方程是（）A.（1y）sinx+2y3=0 B.（y1）sinx+2y3=0 C.（ y+1）sinx+2y+1=0 D.y+1sinx+2y+1=0 1.答案： C 解析：将原方程整理为：y=21,由于要将原曲线向右、向下分别移动2个单位cosx和 1 个单位,因此可得y=1x21 为所求方程 .整理得（ y+1）sinx+2y+1=0. cos2评述：此题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.假如对平移有深刻理解,可直接化为： （y+1）cos（ x2）+2（y+1） 1=0,即得 C 选项 . ）2.（2002 春北京、 安徽,5）如角 满意条件 sin2 0,cos sin 0,就 在（A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限2.答案： B 解析： sin2 2sin cos 0 sin cos 0 即 sin 与 cos 异号, 在二、四象限,又 cos sin 0 cos sin由图 45,满意题意的角 应在其次象限 图 45 3.（2002 上海春, 14）在 ABC中,如 2cosBsinA sinC,就 ABC的外形肯定是 （）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形3.答案： C 解析： 2sinAcosBsin（AB） sin（ AB）又 2sinAcosBsinC,sin（AB） 0, A B4.（ 2002 京皖春文, 9）函数 y=2 sinx的单调增区间是（）A.2k 2,2k 2（kZ）B.2k 2,2k 3（kZ）2C. 2k ,2k （kZ）D.2k ,2k （kZ）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.答案： A 学习好资料欢迎下载y=sinx 的单调增y=2 x 为增函数,因此求函数y=2 sinx 的单调增区间即求函数解析：函数区间 . 5.（2002 全国文 5,理 4）在（ 0,2 ）内,使 sinxcosx 成立的 x 取值范畴为（）A.（4,2）（ ,5）4B.（4, ）C.（4,5）4D.（ 4, ）（5,3）425.答案： C 解法一：作出在（0,2 ）区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标4和5,4由图 4 6 可得 C 答案 . 图 46 图 47 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C.（如图 47）6.（ 2002 北京, 11）已知 f（x）是定义在（ 0, 3）上的函数, f（x）的图象如图 41所示,那么不等式 f（x）cosx0 的解集是（）A.（ 0,1）（ 2,3）B.（1, 2）（2,3）图 41 C.（ 0,1）（ 2,3）D.（0,1）（ 1,3）6.答案： C 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料fx0欢迎下载0fx解析：解不等式f（x）cosx0cosx0 或cosx02, ）上为0x30x31x3或0x10x1 或2x3 2x0x17.（2002 北京理, 3）以下四个函数中,以 为最小正周期,且在区间（减函数的是（）A.y=cos 2xB.y 2|sin x| C.y1 cosxD.y= cotx37.答案： B 解析： A 项： y=cos 2x=1cos2x ,x= ,但在区间（2, ）图 48 2上为增函数 . , ）上B 项：作其图象48,由图象可得T= 且在区间（2为减函数 . 在（C 项：函数 y=cosx 在2, 区间上为减函数,数 y=（1 ）3x为减函数 .因此 y=（1 ）3cosx2, ）区间上为增函数. D 项：函数 y cotx 在区间（2, ）上为增函数 . 8.（ 2002 上海, 15）函数 y=x+sin| x| ,x , 的大致图象是（）8.答案： C 名师归纳总结 解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin| x| ,x , 为非奇非偶函数. 第 3 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载选项 A、D 为奇函数, B 为偶函数, C为非奇非偶函数 . 9.（ 2001 春季北京、安徽,8）如 A、B 是锐角ABC的两个内角,就点P（cosBsinA,sinBcosA）在（）D.第四象限A.第一象限B.其次象限C.第三象限9.答案： B 解析： A、B 是锐角三角形的两个内角,A B90° ,B90° A, cosBsinA,sinBcosA,应选 B. 10.（2001 全国文, 1）tan300° +cot405° 的值是（）A.13 B.13 C.13 D.1310.答案： B 解析： tan300 ° cot405 ° tan360 ° 60 ° cot360 ° 45° tan60 ° cot45 ° 13 . 11.（2000 全国, 4）已知 sin sin ,那么以下命题成立的是（）A.如 、 是第一象限角,就 cos cosB.如 、 是其次象限角,就 tan tanC.如 、 是第三象限角,就 cos cosD.如 、 是第四象限角,就 tan tan11.答案： D 解析：由于在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反,所以可排除 A、C,在其次象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反,所以排除 B.只有在第四象限内,正弦函数与正切函数的增减性相同 . 12.（2000 全国, 5）函数 y xcosx 的部分图象是（）12.答案： D 解析：由于函数 y xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当x（ 0, 2）时, y xcosx0. 13.（1999 全国, 4）函数 f（x）=M sin（ x）（ 0）,在区间 a,b上是增函名师归纳总结 数,且 f（ a）=M,f（ b）=M ,就函数 g（ x）=M cos（ x）在 a,b上（）第 4 页,共 17 页A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值D.可以取得最小值m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载13.答案： C 解法一：由已知得M 0,22k x22k （ kZ）,故有g（x）在a,b上不是增函数,也不是减函数,且当 x2k 时 g（x）可取到最大值M,答案为 C. 解法二：由题意知,可令 1,0,区间 a,b为,M1,就2 2g（x）为 cosx,由基本余弦函数的性质得答案为 C. 评述：此题主要考查函数 y=Asin（ x）的性质,兼考分析思维才能 .要求对基本函数的性质能娴熟运用（正用逆用）；解法二取特别值可降低难度,简化命题 . 14.（1999 全国, 11）如 sin tan cot （ ,就 （）2 2A.（,）B.（,0）2 4 4C.（ 0,）D.（,）4 4 214.答案： B 解法一：取 ±3,±6代入求出 sin 、 tan 、cot 之值,易知 6适合,又只有6（4,0）,故答案为B. 4,0）解法二： 先由 sin tan 得： （2,0）,再由 tan cot 得: （评述：此题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系,题型,运用特别值法求解较好 . 1995 年、 1997 年曾显现此类15.（1999 全国文、理, 5）如 f（x）sinx 是周期为 的奇函数,就f（x）可以是（）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x15.答案： B 名师归纳总结 解析：取 f（x）=cosx,就 f（x）· sinx=1sin2x 为奇函数,且T= . 0,2 内第 5 页,共 17 页2评述：此题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.（1998 全国, 6）已知点 P（sin cos ,tan ）在第一象限,就在 的取值范畴是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.（2,3学习好资料欢迎下载）（ ,5）44B.（4,2）（ ,5 4）C.（ 2,3）（5 4,3 24D.（ 4,2）（3 4, ）16.答案： B 解法一： P（sin cos ,tan ）在第一象限,有 tan 0,A、C、D 中都存在使 tan 0 的 ,故答案为 B. 解法二： 取 （,）,验证知 P 在第一象限, 排除 A、C,取 5（3,3 4 2 6 4 ）,就 P点不在第一象限,排除 D,选 B. 解法三： 画出单位圆如图 410 使 sin cos 0 是图中阴影部分,又 tan 0 可得或 5,应选 B. 4 2 4评述：此题主要考查三角函数基础学问的敏捷运用,挑选,采纳排除法不失为一个好方法 . 突出考查了转化思想和转化方法的17.（1997 全国, 3）函数 y=tan（1 x 21 ）在一个周期内的图象是（）317.答案： A 解析： y tan（1 x 21 ）tan1 （x22）,明显函数周期为T2 ,且 x2333时, y=0,应选 A. 名师归纳总结 评述：此题主要考查正切函数性质及图象变换,抓住周期和特值点是快速解题的关键. 第 6 页,共 17 页18.（1996 全国）如 sin 2x>cos 2x,就 x 的取值范畴是（）A.x|2 k 3 <x<2k +4,k Z 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B.x|2 k +4<x<2k +学习好资料欢迎下载5 4 ,kZ C.x| k <x<k +,kZ 4 43D.x| k + 4 <x<k + 4 ,kZ 18.答案： D 3解析一：由已知可得 cos2x=cos 2xsin 2x<0,所以 2k + <2x<2k + ,kZ.解得 k2 23 + <x<k + ,kZ（注：此题也可用降幂公式转化为 cos2x<0） . 4 4解析二： 由 sin 2x>cos 2x 得 sin 2x>1sin 2x,sin 2x> 12 .因此有 sinx> 2 2或 sinx<2 2.由正3 5 7弦函数的图象（或单位圆）得 2k +4 <x<2k + 4 或 2k +4 <x<2k +4 （kZ）,5 7 32k + <x<2k + 可写作（ 2k+1） + <x<（2k+1） +,2k 为偶数, 2k+1 为奇4 4 4 43数,不等式的解可以写作 n + <x<n +,nZ. 4 4评述：此题考查三角函数的图象和基本性质,应留意三角公式的逆向使用 . 19.（1995 全国文, 7）使 sinx cosx 成立的 x 的一个变化区间是（）A.3,B.,4 4 2 23C. 4,4D.0, 19.答案： Ass 解法一：由已知得：2sin（x4） 0,所以2k x42k 2 , 2k5x2k 9,令 k=1 得3x4,选 A. 444图 411 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二： 取 x2学习好资料,cos2欢迎下载3,有 sin3,有 sin231 2,排除 C、D,取 x33233 , cos 1,排除 B,应选 A. 2 3 2解法三：设 ysinx,ycosx.在同一坐标系中作出两函数图象如图 411,观看知答案为 A. 解法四：画出单位圆,如图 中阴影部分,故应选 A. 412,如 sinxcosx,明显应是图评述： 此题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象,属基本）求范畴题,入手简单,方法较敏捷,排除、数形结合皆可运用. 图 412 20.（1995 全国, 3）函数 y4sin（3x4） 3cos（3x4）的最小正周期是（A.6B.22 C. 3D. 320.答案： C 解析： y 4sin（3x4）3cos（3x4） 54sin（3x4）3cos（3x4）555sin（3x4）（其中 tan3 ）44）的最小正周期是T2 3. 所以函数 ysin（ 3x4） 3cos（3x故应选 C. cos评述：此题考查了asin bcos a2b2sin（ ）,其中 sina2bb2,a2ab2,及正弦函数的周期性. ）5 21.（1995 全国,9）已知 是第三象限角, 如 sin 4 cos 4 9,那么 sin2 等于（A.232B.232C.2D.23321.答案： A 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法一：将原式配方得（学习好资料欢迎下载5sin 2 cos 2 ）22sin2 cos 2 9于是 11sin22 5 ,sin 922 8 ,由已知, 在第三象限,92故 2k 2k 3 2从而 4k 2 2 4k 32 2故 2 在第一、二象限,所以 sin2 ,故应选 A. 3解法二：由 2k 2k 3,有 4k 2 4k 3 （kZ）,知 sin220,应排除 B、D,验证 A、C,由 sin2 2 2,得 2sin 2 cos 2 4 ,并与 sin 4 cos 43 9 5相加得（ sin 2 cos 2 ）21 成立,应选 A. 9评述：此题考查了同学应用正余弦的平方关系配方的才能及正弦函数值在各象限的符号的判别 . 22.（1994 全国文, 14）假如函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8对称,那么a等于（）A.2 B.2 C.1 D.1 22.答案： D 解析：函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8对称,说明：当x=8时,函数取得最大值a21,或取得最小值a21,所以有 sin（ 4）+a· cos（4）2=a2+1,解得 a=1. 名师归纳总结 评述：此题主要考查函数y=asinx+bcosx 的图象的对称性及其最值公式. 第 9 页,共 17 页23.（1994 全国, 4）设 是其次象限角,就必有（）A.tan2>cot2B.tan2<cot2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C.sin2>cos2D.sin2学习好资料欢迎下载 cos223.答案： A 解法一：由于 为其次象限角,就 2k 2k （ kZ）,即 为第一象2 2限角或第三象限角,从单位圆看是靠近轴的部分如图 413,所以 tancot . 2 2解法二：由已知得：2k 2k ,k 2 4 2k ,k 为奇数时, 2n 52n 3（n Z）；2 4 2 2图 413 k 为偶数时, 2n 422n 2（nZ）,都有 tan2cot 2,选 A. 评述：此题主要考查象限角的概念和三角函数概念,高于课本 . 24.（2002 上海春, 9）如 f（x）=2sin x（0 1 在区间0,上的最大值是 2 ,3就 . 名师归纳总结 24.答案：3 4第 10 页,共 17 页解析： 0 1 T22 f（ x）在 0,3区间上为单调递增函数f（x） maxf（3）即 2sin32又 0 1 3解得 42 25.（2002 北京文, 13）sin 56 , cos57 ,tan 5 从小到大的次序是. 6 25.答案： cos 5 sin2tan755解析： cos60, tan7 tan2 0x2时, tanxx sinx 0 555- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tan2sin20 学习好资料2欢迎下载tan7sincos6 5555526.（1997 全国, 18）sin7cos 15sin8的值为 _. cos 8cos7sin15sin826.答案： 23解析：sin7cos 15sin8sin158cos 15sin8sin15cos7sin15sin8cos 158sin15sin8cos 15cos8tan151cos3023. . sin30评述：此题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个学问点27.（1996 全国, 18）tan20° +tan40 ° +3 tan20 ° ·tan40 ° 的值是 _. 27.答案：33 tan20 ° tan40° ,解析： tan60° =tan20tan40, tan20 ° +tan40° =3 1tan20tan40tan20 ° +tan40 ° +3 tan20° tan40 ° =3 . 28.（1995 全国理, 18）函数 ysin（x6）cosx 的最小值是 . 名师归纳总结 28.答案：3 4）1 2第 11 页,共 17 页解析： y sin（x6）cosx1 sin（2x26） sin61 sin（2x26当 sin（ 2x6） 1 时,函数有最小值,y 最小1 （ 121 ）23. . 4评述：此题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 29.（1995 上海, 17）函数 ysinx cos 2x 在（ 2 ,2 ）内的递增区间是 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 29.答案：3,2学习好资料欢迎下载2解析： ysinx cos 2x 22 sin（x4）,当2k 2x 242k 2（k2Z）时,函数递增, 此时 4k 3x4k 2（ kZ）,只有 k 0 时,3,222（ 2 ,2 ）. 1 30.（1994 全国, 18）已知 sin cos 53 30.答案： 4, （ 0, ）,就 cot 的值是 . 名师归纳总结 解法一：设法求出sin 和 cos ,cot 便可求了,为此先求出sin cos 的值 . 第 12 页,共 17 页将已知等式两边平方得12sin cos 125变形得 12sin cos 21 ,25即（ sin cos ）24925又 sin cos 1 , （ 0, ）5图 414 就2 3,如图 414 4所以 sin cos 7,于是5sin 5 4 ,cos 3 ,cot 53. 4解法二：将已知等式平方变形得sin ·cos 12 ,又 （ 0, ）,有 cos 0 25sin ,且 cos 、sin 是二次方程x 21x12 0 的两个根,故有 25cos 3 ,55- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin 4,得 cot 3学习好资料欢迎下载. 54评述：此题通过考查三角函数的求值考查思维才能和运算才能,方法较敏捷. . 31.（2000 全国理, 17）已知函数y1cos 2x3sinxcosx1,xR. 22（1）当函数 y 取得最大值时,求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到1 31.解：（1） y 23 cos 2x 2sinxcosx1 1 （2cos 4 2x1） 4 1 3（2sinxcosx） 1 41cos2x3sin2x54441（cos2x·sin6sin2x·cos6）5241sin（ 2x 6）524y 取得最大值必需且只需2x622k ,kZ,即 x6k ,kZ. 所以当函数y 取得最大值时,自变量x 的集合为 x| x6k ,k Z. （2）将函数 ysinx 依次进行如下变换：把函数 ysinx 的图象向左平移6,得到函数y sin（x6）的图象；把得到的图象上各点横坐标缩短到原先的ysin（2x 6）的图象；1 倍（纵坐标不变） ,得到函数 2名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载把得到的图象上各点纵坐标缩短到原先的y1sin（2x6）的图象；21 倍（横坐标不变） ,得到函数 2把得到的图象向上平移5个单位长度,得到函数y1sin（2x 6）5的图象；424综上得到函数y13 cos 2x 2sinxcosx 1 的图象 . 2评述：此题主要考查三角函数的图象和性质,及运算才能 . 考查利用三角公式进行恒等变形的技能以32.（2000 全国文, 17）已知函数 y3 sinxcosx,xR. （1）当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合；（2）该函数的图象可由 y sinx（ xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 . 32.解：（1） y3 sinxcosx 2（sinxcoscosxsin） 2sin（x）,xR6 6 6y 取得最大值必需且只需 x 622k , kZ,即 x2k ,kZ. 3所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为 x| x2k , kZ3（2）变换的步骤是：把函数 ysinx 的图象向左平移6,得到函数y sin（x6）的图象；令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原先的2 倍,得到函数y2sin（x 6）的图象；经过这样的变换就得到函数y3 sinxcosx 的图象 . 评述：此题主要考查三角函数的图象和性质,才能 . 利用三角公式进行恒等变形的技能及运算名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载33.（1995 全国理, 22）求 sin 220° cos 250° sin20° cos50° 的值 . 33.解：原式1 （1cos40° ）1 （1cos100° ）1 （sin70° sin30° ）2 2 211 （cos100° cos40° ）2 12 sin70° 4 13sin70° sin30° 1sin70°4 231sin70° 1sin70° 3. 4 2 2 4评述：此题考查三角恒等式和运算才能 . 34.（1994 上海, 21）已知 sin 3 , （, ）,tan（ ）1 ,5 2 2求 tan（ 2 ）的值 . 名师归纳总结 34.解：由题设3 sin 5, （2, ）,2）,且 x1第 15 页,共 17 页可知 cos 4 , tan 534又因 tan（ ）1 ,tan 21 ,所以 tan2 212tan42 tan334tan（ 2 ）tantan241371tantan224135.（1994 全国理, 22）已知函数f（x）=tanx,x（ 0,2）,如 x1、x2（ 0, x2,证明1 f（x1） f（x2） f（2x 12x2）. 35.证明： tanx1tanx2sinx 1sinx2sinx 1cosx 2cosx 1sinx2cosx 1cosx2cosx 1cosx 2sinx 1x22sinx 1x 2cosx 1cosx 2cosx 1x2cosx 1x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 x1,x2（ 0,2学习好资料欢迎下载）,x1 x2,所以 2sin（x1x2） 0,cosx1cosx20,且 0cos（x1x2） 1,从而有 0cos（x1x2） cos（ x1 x2） 1cos（x1x2）,由此得 tanx1tanx22sinx 1x2,1cosx 1x2所以1 （tanx1tanx2） tan 2x 12x22）. 即1 f（x1） f（x2） f（2x 12x36.已知函数f x log sinxcos 2求它的定义域和值域；求它的单调区间；判定它的奇偶性；判定它的周期性 . 解（ 1）x 必需满意 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2 k x 2 k 5,kZ4 4函 数 定 义 域 为 2 k , 2 k 5 , k Z sin x cos x 2sin x 当 x 4 4 42 k , 2 k 5 时, 0 sin x 1 0 sin x cos x2y log 1 2 1 函数值域4 4 4 2 2为 1 ,）2（3）f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ,f x 不具备奇偶性（4） fx+2 =fx 函数 fx最小正周期为 2注；利用单位圆中的三角函数线可知,以、象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的符号；以、象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号137. 求函数 f x= log 1 cos x 的单调递增区间2 3 4名师归纳总结 解： f x=log cos1x4令t1 x 34, y=log1cost1 ,t 是 x 的增函数 ,又 0< 2<1,当第 16 页,共 17 页322y=log1cost为单调递增时,cost 为单调递减且cost>0, 2k t<2k +2kZ, 2k21 x