2022年高二数学《空间向量与立体几何》教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 空间向量解立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示优秀教案a e|a| cosa eaba b0|a2 |a a 6、运算律abba；ab ba；a bcabac空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ,设i, , j k （单位正交基底）为坐标向量, 就存在唯独的有序实数组a a 2,a 3,使aai a j ak3,z四、直线的方向向量及平面的法向量有序实数组a 1,a 2,a3叫作向量 a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐Ax,y,z1、直线的方向向量：我们把直线l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线l 的方向向量标,记作aa a a 3在空间直角坐标系Oxyz 中,对空间任一2、平面的法向量：假如表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面 ,就称这个向量垂直于平面 ,点 A ,存在唯独的有序实数组 , , x y z,使OAxiyjzk ,有序k记作 n,假如 n,那么向量 n 叫做平面 的法向量；实数组 , , x y z 叫作向量 A 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标, 记作iOjy注：如 l,就称直线 l 为平面的法线；A x y z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标x平面的法向量就是法线的方向向量；给定平面的法向量及平面上一点的坐标,可以确定一个平面；二、空间向量的直角坐标运算律ab,3、在空间求平面的法向量的方法：B CD使（1）如a a a a 3,bb b b 3,（1）直接法：找一条与平面垂直的直线,求该直线的方向向量；就aba 1b a 2b a 3b 3,（2）待定系数法：建立空间直接坐标系aba 1b a 2b a 3b 3,aa 1,a 2,a 3R ,设平面的法向量为n , , a/ba 1b a 2b a 3b 3R ,在平面内找两个不共线的向量ax y z 1和bx 2,y 2,z 2A （2）如A x 1,y z 1,B x2,y2,z 2,就ABx 2x y2y z 2z 1建立方程组：n a0E n b0一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标；b 1a 1解方程组,取其中的一组解即可；C D （3）a/bbab 2a2Rb 3a 3五、证明三、空间向量直角坐标的数量积1、证明两直线平行1、设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a|b|cosa ,b叫作向量a,b的数量积,记作已知两直线 a 和 b , A,Ba,C,Db,就a /b存在唯独的实数使 AB即ab|a|b|cosa,b规定：零向量与任一向量的数量积为0；2、证明直线和平面平行,2、模长公式（1）已知直线a,A ,Ba ,C,D,E且三点不共线,就a 存在有序实数对|a|a ax 12x22x32第 1 页,共 7 页ABCDCE（2）已知直线a,A,Ba,和平面的法向量 n ,就 a ABn3、两点间的距离公式：如A x 1,y z 1,B x 2,y2,z 2,3、证明两个平面平行就|AB|AB2x2x 12y 2y 12z 2z 12,已知两个不重合平面,法向量分别为m,n,就m /n或dA Bx 2x 12y2y 12z 2z 124、证明两直线垂直4、夹角： cosa b|a b 注：aba b0 , a b 是两个非零向量） ；已知直线a,b；A,Ba,C,Db,就abABCD0a| | |5、证明直线和平面垂直|a2 |a a2 a ；已知直线a和平面,且 A、Ba ,面的法向量为m,就aAB/ /m5、 空间向量数量积的性质：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 6、证明两个平面垂直优秀教案BD（0 ,a 1,）,已知两个平面,两个平面的法向量分别为m,n ,就mn 点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G,六、运算角与距离 1、求两异面直线所成的角 GE平面 ABD ,GEBD0,解得a2；GE（1,1,2）,3BA 1（2,2 ,2）,已知两异面直线a,b,A Ba C Db ,就异面直线所成的角为：cosABCD33AB CD GE平面 ABD , GE 为平面 ABD 的一个法向量；例 1.（ 2022 安徽文）如图,在四棱锥 OABCD中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,ABC4, 4由cosGE,BA 1|GEBA 1|6332GE|BA 13OA底面ABCD, OA2, M 为 OA 的中点；求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；2解： 作 APCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO所在直线为x y z轴建立坐标系3得GE,BA 12 a r c c o s3,A0,0,0,B1,0,0,P0,2,0,D2,2,0,O0,0, 2,M0, 0,1, 222设 AB 与 MD 所成的角为zA1B与平面 ABD 所成的角为2arccos2,即arccos7；, AB1,0,0,MD2,2 2, 1xBOMCPD332A评析： 因规定直线与平面所成角 ,2,两向量所成角 ,所以用此法向量求c o sAB MD13, 出的线面角应满意 | |；2一般地, 设 n 是平面 M 的法向量, AB 是平面 M 的一条斜线, A 为斜足, 就 AB 与平面 M 所ABMD2 AB 与 MD 所成角的大小为3y成的角为：2arccosAB narcsinAB n；2、求直线和平面所成的角ABnABn3、求二面角已知 A,B 为直线 a 上任意两点,n 为平面的法向量,就a 和平面所成的角为: （1）已知二面角l,且A,B,C,D且ABl,CDl,就二面角的平面角（ 1）当ABn0,2时2ABn的大小为：AB CD（2）已知二面角l,m,n分别为面,的法向量,就二面角的平面角的大小与两个（ 2）当ABn2,时ABn2法向量所成的角相等或互补；即m n或m n例 2.如图 3,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中,底面是等腰直角三角形,ACB90,侧棱 AA 1=2 ,注:如何判定二面角的平面角和法向量所成的角的关系；D,E 分别是 CC 1 与 A 1B 的中点,点E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G；求 A 1B 与平面1通过观看二面角锐角仍是钝角,再由法向量的成的角求之；ABD 所成角的大小；z2通过观看法向量的方向,判定法向量所成的角与二面角的平面角相等仍是互补；解：以 C 为坐标原点, CA 所在直线为x 轴, CB 所在直线C1例 3（ 04 高考四川卷） 如图,直三棱柱 ABC A1B 1C 1 中,ACB =90 ° ,AC=1,CB =2 ,侧棱 AA 1=1,为 y 轴,CC 所在直线为,z 轴,建立直角坐标系,1,0）A1EDB10）,A（1a,0 ,2）,D（,0侧面 AA 1B1B 的两条对角线交点为D,B 1C1 的中点为 M；求证：设CACBa,就A（a ,00）,B（0 aCAA'E（a,a1,）,G（a,a,1）,3GE（a,a,2）,xAGBy（1）CD 平面BDM ；D2233663图 3 CC'名师归纳总结 - - - - - - -BB'M第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编（ 2） 求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小；优秀教案 , ,1 2,2,000,xxy00, , ,1 2 2,2 2, 2y2 2分析： 要证 CD 平面BDM ,只需证明直线CD 与平面 BDM 内的两条相交直线垂直即可；要求二面角,需找出二面角 的平面角或转化为两直线的夹角；考虑几何法或向量法求解；解： 以 C 为原点建立坐标系；就x2,n2,2,1y2异面直线 BD 和 SC之间的距离为：dOC n2,2,0 2,2,122B2,0,0 ,B 12,1,0 ,A 10,1,1 ,D2 1 1, ,2 2 2,M2,1,0n2,2,12CD2 1 1, ,2 2 2,A B2,1, 1 ,DM0,1,1,11021225522222就CD A B 10, CD DM0,CDA B CD 1DM ,5、求点到面的距离A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线, CD 平面 BDM ；（ 2）设 BD 的中点为 G,连结 B1G ,就已知平面和点 A,B 且A,B, m为平面的法向量 , 就点 A 到平面的距离dABmG3 2 1 1, ,4 4 4,BD2 1 1, ,2 2 2,B G2,3 1 ,4 2,m4例 5. 如图 5,已知ABCA B C 是各条棱长均等于a 的正三棱柱,D 是侧棱CC 的中点点C 到平BD BG 10,BDBG 1. 又CDBD,CD 与BG 1的夹角等于所求二面角的平面角；面AB D 的距离（）cosCD B G3,所求二面角的大小为arccos3；A2aB2aC342aD2a482CD B G334、求两条异面直线的距离答案选 A；解析：ABB A 为正方形,ABAB ,又平面AB D平面ABB A ,A B面AB D ,A B 是平面AB D 的一个法向量,A 1 B1 C1 已知两条异面直线a,b, m 是与两直线都垂直的向量,Aa ,Bb,设点 C 到平面AB D 的距离为 d ,就就两条异面直线的距离dABmdACA B 1=ACA AAB=ACA A2ACABD mA B2aa例 4正四棱锥SABCD 的高SO2,底边长AB2,就异面直线BD 和 SC之间的距离（）=0aa2cos6002aA C A15B5C 255D5a45510B图 5答案选 C；解析：建立如图4 所示的直角坐标系,就z七、训练题A2,2,0,B2,2,0,S 1、如图,已知直三棱柱ABCA B C 中,ACB90 ,BAC30 ,BC =1,AA 16,M 是CC12222C2,2,0,D2,2,0,S0,0,2的中点；求证：AB 1A MA 1, B 1,C 1；建立以C 为坐标AB2222证明：说明上图中,上底面字母为DB2,2,0,CS2 2,2,2n DB0,A D O BC 原点的空间直角坐标系以CA 为 Y 轴, CB 为 X 轴,CC 为 ZC2y令向量n , ,1,且nDB nCS ,就x图 4 轴,就6 M（ ,2）A（ , , ）A（ , ,）B（, ,6）,Mn CS0ABC名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就AB （,13, ）,AM 1（0,3,6）F11名师精编优秀教案C1 （1）A1D 与 EF 所成角的大小；2C1 （2）A1F 与平面 B1EB 所成角的大小；就AB 1A M =0,命题得证；（3）二面角CD1B 1B的大小；2 、 在 正 方 体ABCDA 1B 1C 1D1中 ,E1, F1分 别 在A1B1,C1D1上 , 且解：设正方体棱长为1,以DA,DC,DD1为单位正交基底,E1B1=1 A1B1,D1F1= 41 D1C1,4A1 z 建立如下列图坐标系D-xyz D1 （1）A 1D,1 0,1EF1,1, 0HE1B1 求 BE1与 DF1所成的角的大小；22解：设正方体棱长为4,以DA,DC,DD1为正交基底,cosA 1D,EF|A 1D|EF|1A1D与 EF 所成角是600C 建立如下列图空间坐标系DxyzD 2A 1DEFBE 10,14 ,DF10,1, 4,BE 1DF 15 y （2）A 1F,11,1 ,AB0,1,0 cosA 1F,AB|A 1F|AB|1A1 D 1 cosBE1,DF1|BE1|DF1|15A GB 2A 1FAB3x B1 BE1DF117（3）AC11,1,1,AC,1 ,1 0,cosAC 1,AC|AC1|AC|63、在正方体ABCDA 1B 1C 1D1中, F 分别是 BC 的中点,点E 在 D1C1上,且D1E1 D1C1,试求直线 4AC1AC3E 二面角CD1B 1B的正弦值为62AB4,D E1F 与平面 D1AC所成角的大小z E 13C 6、如图,正四棱柱ABCDA B C D 中,AA 1A z 解：设正方体棱长为1,以DA,DC,DD1为单位正交基底,D1 C1 B 点 E 在CC 上且C 1E3EC建立如下列图坐标系D-xyz A1 B1 B1 DEB 的大小 D 1 C1 （）证明：AC平面 BED ；（）求二面角1AA1 B1 DB 为 D1AC平面的法向量,DB 1 1,1,1解：以 D 为坐标原点,射线DA 为 x 轴的正半轴,C E 1F1,3,1cosDB1,E1F87D 建立如下列图直角坐标系Dxyz E 2487Fy 依题设,B2 2 0,C0 2 0,E0 2 1,A 12 0 4, 所以直线 E1F 与平面 D1AC所成角的正弦值为87A B DE0 21,DB2 2 0, ,AC 2 2,4,DA 12 0 4, D x B C y 874 、在正方体ABCDA 1B 1C1D1中,求二面角A 1BDC1的大小；（）由于AC DB0,AC DE0,D ,所以ACx 平面 DBE A C1 解：设正方体棱长为1,以DA,DC,DD1为单位z 故A CBD ,A CDE 又 DBDED1 正交基底,（）设向量nx, ,z 是平面DA E 的法向量,就nDE,14 42建立如下列图坐标系D-xyz A1 nDA 1故 2yz0, 2x4z0令y1,就z2,x4,（法一）EA 11,11,EC 11,11,D n4 1,2n,1AC等于二面角A 1DEB 的平面角,cosn ,A 1CnA 1 C2222B C nA 1CcosEA 1EC 11BD与平面C1BD的法向量A Ey 3所以二面角A 1DEB 的大小为arccos141 的菱形,zO（法二）求出平面x A142n 1 ,11,1 ,n21,1,1cosn 1,n2|n1|n2|1z 7 、如图,在四棱锥OABCD 中,底面ABCD 四边长为n 1n23D1 C1 中点ABC4, OA底面ABCD, OA2, M 为 OA的中点, N 为 BC 的M5 、已知 E,F 分别是正方体ABCDA 1B 1C1D1的棱 BC 和 CD 的A1 B1 中点,求：FC （）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；DD Ay E名师归纳总结 A B xBNCP第 4 页,共 7 页 y- - - - - - -x 精选学习资料 - - - - - - - - - （）求点 B 到平面 OCD 的距离；, 名师精编优秀教案结论条件线线垂直线面垂直面面垂直平行关系解：作 APCD 于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO所在直线为 , , x y z轴建立坐标系线线垂直二垂线定理及逆假如 a ,b假如三个平面两假如a b,aA0,0,0,B1,0,0,P0,2,0,D2,2,0, 两垂直,那么它定理 ,那么 ab c,那么 bc 222们交线两两垂直O0,0, 2,M0,0,1,N12,2,0线面垂直假如ab,a假如 ,假如 a ,b44c , b , c（）设AB与 MD 所成的角为,AB1,0,0,MD2,2, 1 =b,a ,a ,bc=P,那a,那么 b22b,那么 a么 ac o sAB MD13, AB 与 MD 所成角的大小为3ABMD面面垂直定义（二面角等假如 a ,a2于 900） ,那么 （）设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,就 d 为 OB 在向量n0,4,2上的投影的肯定值由OB1,0, 2, 得dOB n2.所以点 B 到平面 OCD 的距离为2 32、空间元素位置关系的度量n3（1）角：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角；异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归,详细途径有：中位线、补形法等；直线、平面、简洁多面体直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到；二面角：化归为平面角的度量,化归途径有：定义法,三垂线定理法,棱的垂面法及面积射影法；1、 空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结；如下图：垂直关系注：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、 向量的夹角的范畴 依次是 0,2,结论条件线线平行线面平行面面平行假如 a ,b0,2,0, 0, 直 线 的 倾 斜 角 、1l到2l的 角 、1l与2l的 夹 角 的 范 围 依 次 是线线平行假如a b,b假如 a ,a假如 , , =b, =a, 0,0,0,2c,那么 a c ,那么 a b 那么 a b =b,那么 a b （2）距离：异面直线的距离,点面距离,线面距离及面面距离；异面直线的距离：除求公垂线段长度外,通常化归为线面距离线面平行假如a b,a假如 ,a ,b ,那么和面面距离； ,那么 假如 a ,a线面距离,面面距离常化归为点面距离；a 面面平行假如 a ,b假如 a ,b假如 ,2、两个重要运算公式 ,c ,d（1）cos =cos1·cos2 ,a b=P,a ,a c,b d, ,那么 其中 1为斜线 PA与平面 所成角,即为PAO,2为 PA射 ,b ,那么 ,那么 ab=P,那么 影 AO与 内直线 AB所成的角, 为 PAB； 明显, >1, >2 名师归纳总结 注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）异面直线上两点间距离公式名师精编优秀教案公式S42 R .设异面直线a,b 所成角为 ,就 EF 2=m 2+n 2+d 2± 2mncos排列组合、二项式定理以及概率4、棱柱、棱锥是常见的多面体；在正棱柱中特殊要运用侧面与底面垂直的性质解题,在正棱锥中,要熟记由高PO,斜高 PM,侧棱 PA,底1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心面外接圆半径OA,底面内切圆半径OM,底面正多边形半边长OM,构2、排列数与组合数都是运算完成大事方法个数的公式,排列数是讨论排列（既取又排）个数成的三棱锥,该三棱锥四个面均为直角三角形；的公式,组合数是讨论组合（只取不排）个数的公式,是否有序是它们之间的本质区分；5、直棱柱、正棱柱、 平行六面体、长方体、正方体、 正四周体、棱锥、正棱锥关于侧棱、排列数公式：Am nn n1 n2 nm1 nn.,当 m=n时,Am nnn121.n,m侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质其中 m,nN+,mn,规定 0.=1 如长方体中：对角线长la2b22 c ,棱长总和为4abc ,全（表）面积为组合数公式：Cm nAm nn n1 n2nm1 m .nm.Am mm .n2abbcca ,（结合abc2a2b2c22 ab2 bc2 ca 可得关于他们的等量组合数性质：Cm nCn nm,Cm nCm n1Cn1m,规定C0 n1,其中 m,nN+,mn 关系,结合基本不等式仍可建立关于他们的不等关系式）,2 coscos2cos221 ；3、处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法,间接法（2）两种途径：元素分析法,位置分析法（3）对排列组合的混合题,一般先选再排,即先组合再排列；弄清要完成什么样的大事是前提（4）基此题型及方法：捆绑法,插空法,错位法,分组安排法,匀称分组法,逆向摸索法等 4、二项式定理如三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）顶点在底上射影为底面外心,侧棱两两垂直（两对对棱垂直）顶点在底上射影为底面垂心,斜高长相等（侧面与底面所成相等）且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心如正四周体和正方体中：1 arccos36 3 aV2 12a3 abnC0 nanC1 nan1bCr nanrbrCn nbn,通项公式Tr1Cr nan1br,r=0 ,1,2, , n 3 arccos 33 3 aa3 6 a其中各系数就是组合数r C ,它叫做第r+1 项的二项式系数；绽开式共有n+1 项,其中第r +l项T r1r C a nnrr b 某项 “ 加数 b ” 的指数该项的 “ 项数减去 1 的差 ” ,也可看成组合数的上标6、多面体是由如干个多边形围成的几何体棱柱和棱锥是特殊的多面体其中,二项式绽开式中二项式系数（组合数）的性质：正多面体的每个面都是相同边数的正多边形,以每个顶点为其一端都有相同数目的棱. （1）对称性,在绽开式中,与首末两端“ 等距离” 的两个二项式系数相等,即C0 nCn n,7、球是一种常见的简洁几何体球的位置由球心确定,球的大小仅取决于半径的大小球包C1 nCn n1,C2 nCn n2,Cr nCn nr；括球面及球面围成的空间区域内的全部的点球面是到球心的距离等于定长（半径） 的点的集合 球（2）增减性与最大值：在二项式绽开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值,当n的截面是圆面,其中过球心的截面叫做大圆面球面上两点间的距离,是过这两点的大圆在这两点nn1n1是偶数时,中间一项C2 n最大；当 n 是奇数时,中间两项Cn2,Cn2相等,且为最大值；间的劣弧长,运算球面距离的关键是“依据已知经纬度等条件,先寻求球面上两点间的弦长”,由于（3）C0 nC1 nC2 nCn n2n,C0 nC2 nC4 nC1 nC3 nC5 n此弦长既是球面上两点间的弦长,又是大圆上两点间的弦长（4）应用 “ 赋值法 ” 同样可得相关性质或寻求二项式绽开式中“ 奇次（数）项 ” “偶次（数）项 ”的注： “经度是 小小半径所成角 ,纬度是 大小半径的夹角”球体积公式V43 R ,球表面积3第 6 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 系数和如f0 C nC2C41 C n3 C nC52n1,奇（偶）次项系数和1 2 f1名师精编优秀教案f 1nnn（1 2 f1 1）5、概率（1）概率是频率的近似值,两者是不同概念（2）等可能大事中概率P Am,PA 0 ,1 n-k,其中 P 为大事 A第 7 页,共 7 页n（3）互斥大事A, B中有一个发生的概率：加法公式PA+B=PA+PB 特例：BA时,P AP A1,即对立大事的概率和为1 从而得到 对立 大事的概率运算公式：P（ A ）=1P（A）；（4）相互独立大事A,B 同时发生的概率PA·B=PA ·PB （5）大事 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率